Física/Lo que aprendí leyendo a Feynman - Electromagnetismo/Energía electrostática

La energía electrostática de cargas. Esfera uniforme.

En nuestros primeros cursos de fisica nos empiezan a presentar la mecanica,uno de los mas importantes estudios en la fisica,de la cual newton se hizo fama,por obvias razones,gracias a el entendemos sistemas que son apreciables a nuestros ojos,tuvimos conocimieto de algo llamado "conservacion de energia. Pero también una buena contribucion y porque no decirlo,mas que contribucion fue el descubrimiento de otro mundo,hablo de cargas,donde nos podremos ir a dimensiones de menor tamaño, donde también existe la conservacion de enegia.En este caso hablaremos de la electrostatica,podra sonar aburrido algo estatico, pero veremos que no,así como lo dije,"es otro mundo, mas conocimiento" chamba para los fisicos,algo mas en lo que podemos pasar noches buscando respuestas.

Recordemosnos la energía de interacción.Que tenemos dos cargas $q_{1}$ y $q_{2}$ a una distancia $r_{12}$ Hay una cierta energía en el sistema porque se necesitó cierta cantidad de trabajo para juntar las cargas. Es

${\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{12}}}$

(1)

Asi también ya sabemos el principio de supeposicion;"cuando tenemos muchas muchas cargas la fuerza total sobre cualquiera de estas muchas cargas,la fuerza total sobre cualquier de estas muchas cargas es la suma de las fuerzas debido a las otras cargas". entonces la energia electrostatica es entonce la suma de todos los pares posibles de cargas, como interaccioan entre cada una de ellas,matematicamente podemos verlo de la siguiente manera:

${\overrightarrow {F_{i}}}=\sum _{j\neq i}{\frac {q_{i}q_{j}}{4\pi \epsilon _{0}r_{ij}}}$

Ya no ocupamos calcular el trabajo que nos costaría traer partícula por partícula, sino que nos hemos dado cuenta que solo basta saber la interacción que hay entre cada una de ellas. Pero, ¿para qué queremos saber la energía o el trabajo total de sus interacciones de muchas muchas cargas? Recordemos nuestra esfera de carga uniforme, ¿Cómo garantizar su uniformidad? Pues para esto traemos desde el infinito cargas y las vamos acomodando en diferenciales de capas de tal forma para hacer una esfera del radio que queramos. Ahora viendo lo dicho antes de cómo formar nuestra esfera lo podemos ver en la siguiente manera:

$\mathbf {dU} ={\frac {Q_{r}dQ}{4\pi \epsilon _{0}r_{}}}$

(1)

Así también no hay que olvidar que teniendo el conjunto de cargas formando nuestra esfera tenemos que hablar ya de una densidad ρ, y que para la esfera empezamos con un radio r=0 hasta llegar a r= a, así que tenemos que integrar nuestra ecuación para que finalmente nos quede :

$\mathbf {U} ={\frac {3}{5}}{\frac {Q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}a_{}}}$

(1)

La energía electrostática en los núcleos

Como les había mencionado, la electrostática ha sido tan importante como la mecánica de newton en su momento igual lo fue. veamos ahora un ejemplo de muchos varios que podremos encontrar, vallamos a la física atómica, ¿que es la física atómica?,con su misma definición nos daremos cuenta porque está dentro de los ejemplos de la electrostática , es la energía eléctrica presente en los núcleos atómicos. Ya visto un poco en el capítulo 1, estamos un poco familiarizados con conceptos núcleo y esas cosas, de lo platicado acerca de la energía liberada por una bomba, que nos es más que energía eléctrica pura. Pues resulta que las cosas no son lo que parecen ya hablando a un nivel más pequeñito, como del tamaño de un neutrón y protón, resulta ser que con el descubrimiento de los núcleo y como consecuencia de estas dos partículas, pues se trato de explicar el comportamiento entre estas dos partículas porque se tenía conocimiento de una cierta intensidad mas no de que tipo, que como ya sabemos es eléctrica. Se empozo a estudiar algo llamado dispersión de protones como el inicio de explicar la ley de fuerza entre las partículas en el núcleo, pero después de treinta años resulta ser que no se encuentra nada aun. Solo se pudo tener la noción de que la fuerza es tan complicada como podría ser, ¿tan complicada como puede?, ¿que queremos decir con esto?, para entenderlo enumeremos las complicaciones que se encontró al tratar de explicar la fuerza entre estas partículas:

1.- Resúltese ser que la ley de nuestro amigo Coulomb no fusiona para estas partículas, la fuerza no estaba en función de las distancia entre 2 protones, nuestra función distancia es más complicada, actualmente aun lo es .

2.-Hay un problema con los spines de los protones, cuando los espines de 2 protones son paralelos o anti paralelos, su fuerza era diferente, el problema no radica meramente en lo diferente sino que la diferencia de fuerza es muy grande.

3.-Asi también nos salieron los protones con la sorpresa que la fuerza dependía de otros factores además de la velocidad, de algo llamado “spin-orbita” de la fuerza.

Y esto no es solamente con proton-proton, sino también todas las demás permutaciones posibles, protón-neutro, neutro-neutron,etc. No hay manera simple de poder comprender esto. :s Solo algo nos salva un poco un evento, la fuerza nuclear, fíjate que la fuerza nuclear entre un proton-neutron, dos protones, nos neutrones , es igual ! :o. el conocimiento de esto nos ayuda a extender conocimiento entre las interacciones de otras partículas, las partículas “extrañas”. Y pues también, no hay conocimiento claro que nos explique porque los calculos esta vez si funcionan, hablando de fuerza nuclear. Veamos un ejemplo de esto de lo que hablo. Pongamos en tela de juicio al Boro11 (B11), este consta de protones y neutrones, que interaccionan entre ellos, hay”nivel de energía” posible, el de energía más baja se le llama “estado fundamental”. Ahora bien si se nos acurre darle un golpecito a un protón tendremos como resultado interaciones, mejor llamadas como excitaciones las cuales generaran energía. Ahora si hacemos una serie de excitaciones sucesivas será cada vez de mayor energía al estado fundamental, la física nuclear es la encargada de explicar esto. Claro otra vez a lo mismo no hay teoría sustentable que explique estas cosas aun. La cosa comienza a ponerse más rara cuando nos ponemos a cambiar un neutrón por un protón del B11, con esto formamos un isótopo de carbono (C11), al checar los niveles de energía del C11 nos damos cuenta que no hay muchas diferencias, no hay cambio considerable, de que hay diferencias las hay pero son pequeñísimas. Estamos consientes solo de que sus fuerzas completas no son exactamente iguales, hay una fuerza eléctrica que hace variar el resultado, debido a los protones, mientras que en los neutrones no la hay. La cosa esta en preguntarnos si la diferencia entre eB11 y C11 se debe a la acción eléctrica de los protones, pero recordemos que la fuerza nuclear es más intensa que la eléctrica, entonces el efecto eléctrico tiene solo un efecto muy pequeño comparación de la nuclear.

Qué tal si hacemos un poco de cálculos para ver que pasa matemáticamente, veamos si realmente las matemáticas no mienten:

Calculemos la energía electrostática de los nucleos, tomando a los núcleos como si fueran una esfera, la esfera tendrá un radio r, densidad de carga uniforme, y con un Z número de protones, que son los interesantes, veamos cómo nos quedaría la ecuación:

$\mathbf {U} ={\frac {3}{5}}{\frac {(Zq_{e})^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{}}}$

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Si en a la ecuación anterior tomamos en cuenta que para un número pequeño de protones no tendría sentido, tenemos que remplazar Z2 por Z (Z-1) para calcular la energía, usando esta determinamos el radio, mi tendremos que tomar en cuenta también que al cambiar un neutrón por un protón la masa cambia, al considerar todo eso y hacer unos cálculos os encontramos que el radio del B11 o C11 es:

$\mathbf {r} =3.12x10^{-}13cm$

Y ahora haciendo otros cálculos casi similares, pero ahora considerado, la densidad y que sus volúmenes son proporcionales al número de partículas contenidas en el núcleo encontramos (disculpen al no mostrarles los cálculos, pero nos resulta más útil en este caso solo comparar) el siguiente radio:

$\mathbf {r_{2}} =1.2x10^{-}13cm$

Nos damos cuenta así que la diferencia de energía es electrostática con un margen de error del 15%, es muy bueno. Ahora, ¿qué nos dice ese margen de error?....pues el feyman nos dice que esto se debe a que el B11 con 5 neutrones y 5 protones, si le agregamos una partícula mas esta dará vueltas formando un nuevo núcleo esférico, y aquí está el error, ya que debimos de haber tomado una energía electrostática diferente para el protón que estaba de mas.

Recapitulando este disparate entre que si le quito o que le pongo un protón al B11, llegamos a la conclusión siguiente, bueno 2 conclusiones:

1.- La que seguramente pudimos intuir al principio, que posiblemente las leyes eléctricas funcionan a dimensiones tan pequeñas como aprox. 10^-13.

2.-Pues confirmar la coincidencia de que las fuerzas entre proton-proton, neutrón-neutron, neutrón-proton….etc. Son iguales