Cálculo Diferencial de Funciones de Varias Variables/Introducción

Dado un sistema rectangular de coordenadas cartesianas en el plano o el espacio tridimensional y dados $x$ y $y$ que pertenezcan a cualquiera de estos dos donde $x=(x_{1},x_{2})$ y $y=(y_{1},y_{2})$ si estan en el plano y $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ y $y=(y_{1},y_{2},y_{3})$ en el espacio tridimensional se define:

En el plano: ${\rho }_{(x,y)}={\sqrt {{(x_{1}-y_{1})^{2}}+{(x_{2}-y_{2})^{2}}}}$

En el espacio tridimensional: ${\rho }_{(x,y)}={\sqrt {{(x_{1}-y_{1})^{2}}+{(x_{2}-y_{2})^{2}}+{(x_{3}-y_{3})^{2}}}}$

Donde ${\rho }_{(x,y)}$ es la distancia entre $x$ y $y$.

Definido el concepto de distancia en el plano y en el espacio tridimensional, ahora se va a definir la idea de distancia en un espacio de dimensión $n$, pero primero se ha de definir que es un espacio n-dimensional.

Definición 1 (Espacio n-dimensional)

Un espacio n-dimensional es aquel donde cualquier punto $x$ perteneciente a éste se puede expresar como un conjunto ordenado $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ es decir

$x=(x_{1},x_{2},...,x_{3})$

Donde $x_{i}$, $i=1,2,...,n$; es una componente de $x$.

Este espacio n-dimensional se puede representar, en este caso, como ${\mathbb {R} }^{n}$

Definición 2 (Distancia en un espacio n-dimensional)

Dados $x,y\in {\mathbb {R} }^{n}$ se define la distancia entre $x$ y $y$ de la siguiente manera:

${\rho }_{(x,y)}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$

Definición 3

El espacio n-dimensional donde para cada par de puntos $x,y\in {\mathbb {R} }^{n}$ está definido ${\rho }_{(x,y)}$ se le llama espacio euclídeo n-dimensional.

Propiedades de la distancia entre dos puntos en el espacio n-dimensional

De la definición expuesta anteriormente se coligen las siguientes propiedades de la definición de distancia de dos punto en un espacio n-dimensional.

Dados $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ se tiene

Propiedad 1

$\rho _{(x,y)}\geq 0$

Esto se deduce inmediatamente ya que por definición $\rho _{(x,y)}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$.

Propiedad 2

Para $\rho _{(x,y)}=0$ es necesario y suficiente que $x=y$

Demostración de suficiencia

Si $x=y$ entonces se tiene que $x_{i}=y_{i}$ para $i=1,2,...,n$ y de alli

$\rho _{(x,y)}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}0^{2}}}$

$\rho _{(x,y)}=0$

Demostración de necesidad

Puesto que $\rho _{(x,y)}=0$ es decir ${\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}=0$ se obtine que

$(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+...+(x_{n}-y_{n})^{2}=0$

Haciendo $\alpha _{i}=x_{i}-y_{i}$ para $i=1,2,...,n$ entonces

${\alpha _{1}}^{2}+{\alpha _{2}}^{2}+...+{\alpha _{n}}^{2}=0$

Como resultado se tiene que $\alpha _{i}=0$ para $i=1,2,..,n$ ya que si al menos un $\alpha _{k}\neq 0$ para $1\leq k\leq n(k\in \mathbb {N} )$ se tendría

$0<{{\alpha _{1}}^{2}+{\alpha _{2}}^{2}+...+{\alpha _{n}}^{2}}=0$

Lo cual sería una contradicción, por lo tanto $x_{i}=y_{i}$ para $i=1,2,...,n$ y esto implica $x=y$.

Propiedad 3

$\rho _{(x,y)}=\rho _{(y,x)}$

Es obvio ya que ${\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-x_{i})^{2}}}$

Propiedad 4

$\rho _{(x,y)}\leq \rho _{(x,z)}+\rho _{(z,y)}$ para cualquier $z\in \mathbb {R} ^{n}$