Estadística/Cálculo de probabilidades/Aleatoriedad y probabilidad/Independencia estocástica

Independencia Estocástica

Un frecuente objeto de estudio en la estadística es si los diferentes sucesos son dependientes o independientes uno del otro, es decir si favorece a la realización de un suceso a través de otro. Se analizan ejemplos en la investigación de mercados, si influyen el estatus y la educación de un consumidor la compra de un determinado periódico.

Ejemplo para conceptuar la independencia estocástica

Gráfico 1: Los sucesos: estudiantes que viven con sus padres - estudiantes que viven en otros lugares

Un extenso estudio de mercado sobre hábitos dentales de los consumidores ha encontrado que el 50% de los estudiantes de un pequeño instituto viven con sus padres. Por otro lado, el 50% de los estudiantes prefieren pasta dental con tiras rojas y el 50% de cualquier otro color.

Veamos el suceso aleatorio: una estudiante viene de un país y compra pasta dental. Se definen los sucesos:

E: La estudiante vive con sus padres.

R: La estudiante compra pasta dental con franjas rojas.

Pregunta: Tiene el lugar donde vive esa estudiante alguna influencia en el color que ella elija?

Probablemente no, los eventos E y R son estocásticamente independientes, es decir con respecto a la teoría de probabilidades son independientes.

Nos interesa ahora el lugar donde vive la estudiante. En el gráfico 1 esta dividido el conjunto solución del lugar donde vive.

Pregunta: Qué porcentaje de los estudiantes, que viven con sus padres, comprarían probablemente pasta dental con franjas rojas?

Aqui se distribuyen la independencia de los eventos en relación a su color preferido igualmente, viviendo el 50% de compradores de pasta roja con sus padres y el 50% en otros lugares. Es decir, 50% de 50% de los estudiantes viven con sus padres y prefieren pasta con franjas rojas. Es por lo tanto:

$P(R\cap E)=0{,}5\cdot 0{,}5=0{,}25.$

El gráfico 2 muestra, como se divide la independencia de variables de lugar y la preferencia de color con su probabilidad.

Es ahora ejemplificada el P(E) =40% y P(R) = 60%, se obtiene la independencia de la distribución como en el gráfico 3, donde tenemos que el 60% deben comprar pasta roja al igual que el 60% vive en otros lugares y no con sus padres.

Gráfico 2: Los sucesos vivienda (Wohnot) y color de la pasta dental (Zahnpasta) entrelazados

Gráfico 3: Los sucesos: Estudiantes mujeres con sus padres (bei den Eltern) - que no viven con sus padres (woanders)

Ejemplo para conceptuar la dependencia estocástica

Anteriormente contemplamos el caso que dos eventos sean independientes. En general se debe de ahi sacar que los sucesos que generalmente se analizan son dependientes.

En la rama del estudio del marketing se emplea datos de oficinas de salud en una ciudad muestra, en la que se preocupan de la salud de los dientes de los escolares. Se conoce de ese estudio que el 50% de los niños tienen caries y que el 50% de ellos se limpia regularmente los dientes.

Tenemos el suceso aleatorio: Se cuenta a un niño aleatoriamente.

Definimos el evento

Z: El niño de escuela se asea regularmente los dientes.

K: El niño de escuela tiene caries.

Gráfico 4: Distribucón de los que se limpian sus dientes (Zähneputzern) y los que tienen caries (Kariesfällen)

Ahora es

$P(Z\cap K)>P(Z\cap {\bar {K}})$

$o\quad P(Z\cap K)<P(Z\cap {\bar {K}})?$

Es también la probabilidad, de obtener a un niño que regularmente se cepille los dientes y tenga caries mas grande que la probabilidad de obtener un niño que regularmente se cepille los dientes y no tenga caries o es al contrario, o es tal vez la probabilidad igual?

Es probable

$P(Z\cap K)<P(Z\cap {\bar {K}}),$

pues el cepillarse los dientes y la caries se conoce que no es independiente entre ellos. También son los eventos estocásticos Z y K dependientes. Obtenemos una distribución de la probablidad total que se parece a la del gráfico 4. Particularmente grande es P(Z ∩ K) y P(Z ∩ K).

La probabilidad general no podría volverse correcta con nuestra información, ésta depende de la fuerza de la dependencia.

Los sucesos estocásticos dependientes se interesan frecuentemente en los comportamientos condicionales de un evento, p.e. para las probabilidades condicionales.

$P(K|{\bar {Z}}),$

que un niño escogido aleatoriamente tenga caries cuando se conoce que no se lava regularmente los dientes.