Tablas estadísticas/Distribución chi-cuadrado

La Distribución chi-cuadrado, tiene por función de densidad

$\chi _{k}^{2}(x)={\frac {x^{k/2-1}\;e^{-x/2}}{2^{k/2}\;\Gamma (k/2)}}$

Donde el parámetro k de $\chi _{k}^{2}$, se denomina grados de libertad de la distribución.

La Distribución chi-cuadrado no tiene sentido para valores negativos de x, como se puede ver en la figura.

Téngase en cuenta que para k = 1 y k = 2 la función de densidad para x = 0, se hace infinito:

$\chi _{1}^{2}(0)=\infty$

$\chi _{2}^{2}(0)=\infty$

Para el resto de los valores de k, para x = 0, la función vale 0.

La Distribución de probabilidad de esta función para valores menores de un x dado, que representamos por $(\chi _{k}^{2}<x)$

$P(\chi _{k}^{2}<x)=\int _{0}^{x}\chi _{k}^{2}\,du$

donde:

$\int _{0}^{x}\chi _{k}^{2}\,du=\int _{0}^{x}{\frac {u^{k/2-1}\;e^{-u/2}}{2^{k/2}\;\Gamma (k/2)}}\,du$

Esta integral no tiene una solución conocida, y solo se conocen métodos numéricos para calcular sus valores, hay distintos tipos de tablas y algoritmos para ordenador con los que se pueden calcular sus soluciones, veamos una tabla distribución chi-cuadrado y su modo de utilización.

La Tabla

Esta tabla presenta la distribución de probabilidad de chi-cuadrado para distintos valores de k(de 1 a 10) y de x(de 0 a 20 de 0,2 de incremento), presentándolo con seis cifras decimales, separadas de tres en tres por un espacio en blanco para facilitar la lectura, en la fila superior están los valores de k, y en la columna de la izquierda los de x, donde se cruzan la columna de la k buscada y la fila de la x, se encuentra el valor de la probabilidad acumulada desde 0 a la x buscada.

Tabla distribución chi-cuadrado

x \ k

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,2	0,345 279	0,095 163	0,022 411	0,004 679	0,000 886	0,000 155	0,000 025	0,000 004	0,000 001	0,000 000
0,4	0,472 911	0,181 269	0,059 758	0,017 523	0,004 670	0,001 148	0,000 263	0,000 057	0,000 012	0,000 002
0,6	0,561 422	0,259 182	0,103 568	0,036 936	0,011 997	0,003 599	0,001 008	0,000 266	0,000 066	0,000 016
0,8	0,628 907	0,329 680	0,150 533	0,061 552	0,022 967	0,007 926	0,002 556	0,000 776	0,000 223	0,000 061
1,0	0,682 689	0,393 469	0,198 748	0,090 204	0,037 434	0,014 388	0,005 171	0,001 752	0,000 562	0,000 172
1,2	0,726 678	0,451 188	0,246 996	0,121 901	0,055 123	0,023 115	0,009 073	0,003 358	0,001 179	0,000 394
1,4	0,763 276	0,503 415	0,294 465	0,155 805	0,075 687	0,034 142	0,014 429	0,005 753	0,002 177	0,000 786
1,6	0,794 097	0,550 671	0,340 610	0,191 208	0,098 751	0,047 423	0,021 356	0,009 080	0,003 665	0,001 411
1,8	0,820 287	0,593 430	0,385 065	0,227 518	0,123 932	0,062 857	0,029 924	0,013 459	0,005 750	0,002 344
2,0	0,842 701	0,632 121	0,427 593	0,264 241	0,150 855	0,080 301	0,040 160	0,018 988	0,008 532	0,003 660
2,2	0,861 989	0,667 129	0,468 052	0,300 971	0,179 164	0,099 584	0,052 053	0,025 742	0,012 104	0,005 435
2,4	0,878 665	0,698 806	0,506 365	0,337 373	0,208 526	0,120 513	0,065 563	0,033 769	0,016 547	0,007 746
2,6	0,893 136	0,727 468	0,542 510	0,373 177	0,238 635	0,142 888	0,080 619	0,043 095	0,021 928	0,010 663
2,8	0,905 736	0,753 403	0,576 500	0,408 167	0,269 214	0,166 502	0,097 133	0,053 725	0,028 301	0,014 253
3,0	0,916 735	0,776 870	0,608 375	0,442 175	0,300 014	0,191 153	0,114 998	0,065 642	0,035 705	0,018 576
3,2	0,926 362	0,798 103	0,638 195	0,475 069	0,330 817	0,216 642	0,134 095	0,078 813	0,044 165	0,023 682
3,4	0,934 804	0,817 316	0,666 035	0,506 754	0,361 430	0,242 777	0,154 299	0,093 189	0,053 692	0,029 615
3,6	0,942 220	0,834 701	0,691 978	0,537 163	0,391 687	0,269 379	0,175 477	0,108 708	0,064 284	0,036 407
3,8	0,948 747	0,850 431	0,716 114	0,566 251	0,421 445	0,296 280	0,197 496	0,125 298	0,075 924	0,044 081
4,0	0,954 500	0,864 665	0,738 536	0,593 994	0,450 584	0,323 324	0,220 223	0,142 877	0,088 587	0,052 653
4,2	0,959 576	0,877 544	0,759 338	0,620 385	0,479 005	0,350 369	0,243 525	0,161 357	0,102 237	0,062 126
4,4	0,964 061	0,889 197	0,778 615	0,645 430	0,506 626	0,377 286	0,267 277	0,180 648	0,116 829	0,072 496
4,6	0,968 028	0,899 741	0,796 458	0,669 146	0,533 384	0,403 961	0,291 355	0,200 653	0,132 308	0,083 751
4,8	0,971 540	0,909 282	0,812 958	0,691 559	0,559 227	0,430 291	0,315 645	0,221 277	0,148 617	0,095 869
5,0	0,974 653	0,917 915	0,828 203	0,712 703	0,584 120	0,456 187	0,340 037	0,242 424	0,165 692	0,108 822
5,2	0,977 413	0,925 726	0,842 276	0,732 615	0,608 037	0,481 570	0,364 429	0,263 998	0,183 463	0,122 577
5,4	0,979 863	0,932 794	0,855 256	0,751 340	0,630 964	0,506 375	0,388 728	0,285 908	0,201 861	0,137 092
5,6	0,982 040	0,939 190	0,867 222	0,768 922	0,652 895	0,530 546	0,412 849	0,308 063	0,220 812	0,152 324
5,8	0,983 974	0,944 977	0,878 243	0,785 409	0,673 831	0,554 037	0,436 713	0,330 377	0,240 244	0,168 223
6,0	0,985 694	0,950 213	0,888 390	0,800 852	0,693 781	0,576 810	0,460 251	0,352 768	0,260 082	0,184 737
6,2	0,987 225	0,954 951	0,897 725	0,815 298	0,712 758	0,598 837	0,483 400	0,375 160	0,280 253	0,201 811
6,4	0,988 588	0,959 238	0,906 309	0,828 799	0,730 781	0,620 096	0,506 105	0,397 480	0,300 687	0,219 387
6,6	0,989 802	0,963 117	0,914 199	0,841 402	0,747 872	0,640 574	0,528 320	0,419 662	0,321 314	0,237 410
6,8	0,990 884	0,966 627	0,921 447	0,853 158	0,764 055	0,660 260	0,550 003	0,441 643	0,342 067	0,255 818
7,0	0,991 849	0,969 803	0,928 102	0,864 112	0,779 360	0,679 153	0,571 120	0,463 367	0,362 881	0,274 555
7,2	0,992 710	0,972 676	0,934 211	0,874 311	0,793 814	0,697 253	0,591 643	0,484 784	0,383 695	0,293 562
7,4	0,993 478	0,975 276	0,939 816	0,883 799	0,807 450	0,714 567	0,611 548	0,505 847	0,404 451	0,312 781
7,6	0,994 163	0,977 629	0,944 956	0,892 620	0,820 298	0,731 103	0,630 818	0,526 515	0,425 097	0,332 156
7,8	0,994 775	0,979 758	0,949 669	0,900 815	0,832 392	0,746 875	0,649 440	0,546 753	0,445 580	0,351 635
8,0	0,995 322	0,981 684	0,953 988	0,908 422	0,843 764	0,761 897	0,667 406	0,566 530	0,465 854	0,371 163
8,2	0,995 811	0,983 427	0,957 946	0,915 479	0,854 448	0,776 186	0,684 711	0,585 818	0,485 876	0,390 692
8,4	0,996 248	0,985 004	0,961 571	0,922 023	0,864 475	0,789 762	0,701 354	0,604 597	0,505 608	0,410 173
8,6	0,996 638	0,986 431	0,964 890	0,928 087	0,873 878	0,802 645	0,717 336	0,622 846	0,525 014	0,429 562
8,8	0,996 988	0,987 723	0,967 928	0,933 702	0,882 688	0,814 858	0,732 664	0,640 552	0,544 063	0,448 816
9,0	0,997 300	0,988 891	0,970 709	0,938 901	0,890 936	0,826 422	0,747 344	0,657 704	0,562 726	0,467 896
9,2	0,997 580	0,989 948	0,973 253	0,943 710	0,898 652	0,837 361	0,761 386	0,674 294	0,580 979	0,486 766
9,4	0,997 830	0,990 905	0,975 581	0,948 157	0,905 866	0,847 700	0,774 801	0,690 316	0,598 801	0,505 391
9,6	0,998 054	0,991 770	0,977 709	0,952 267	0,912 604	0,857 461	0,787 603	0,705 770	0,616 173	0,523 741
9,8	0,998 255	0,992 553	0,979 655	0,956 065	0,918 895	0,866 669	0,799 807	0,720 655	0,633 082	0,541 788
10,0	0,998 435	0,993 262	0,981 434	0,959 572	0,924 765	0,875 348	0,811 427	0,734 974	0,649 515	0,559 507
10,2	0,998 596	0,993 903	0,983 060	0,962 810	0,930 237	0,883 522	0,822 480	0,748 732	0,665 462	0,576 875
10,4	0,998 740	0,994 483	0,984 545	0,965 797	0,935 337	0,891 213	0,832 984	0,761 935	0,680 916	0,593 872
10,6	0,998 869	0,995 008	0,985 902	0,968 553	0,940 086	0,898 446	0,842 957	0,774 590	0,695 874	0,610 482
10,8	0,998 985	0,995 483	0,987 142	0,971 094	0,944 507	0,905 242	0,852 416	0,786 709	0,710 333	0,626 689
11,0	0,999 089	0,995 913	0,988 274	0,973 436	0,948 620	0,911 624	0,861 381	0,798 301	0,724 291	0,642 482
11,2	0,999 182	0,996 302	0,989 308	0,975 594	0,952 444	0,917 612	0,869 870	0,809 378	0,737 751	0,657 850
11,4	0,999 266	0,996 654	0,990 252	0,977 582	0,955 999	0,923 227	0,877 902	0,819 952	0,750 716	0,672 785
11,6	0,999 340	0,996 972	0,991 113	0,979 413	0,959 301	0,928 489	0,885 496	0,830 037	0,763 190	0,687 282
11,8	0,999 408	0,997 261	0,991 899	0,981 098	0,962 367	0,933 418	0,892 669	0,839 647	0,775 179	0,701 335
12,0	0,999 468	0,997 521	0,992 617	0,982 649	0,965 212	0,938 031	0,899 441	0,848 796	0,786 691	0,714 943
12,2	0,999 522	0,997 757	0,993 271	0,984 076	0,967 852	0,942 347	0,905 829	0,857 499	0,797 732	0,728 106
12,4	0,999 571	0,997 971	0,993 869	0,985 388	0,970 301	0,946 382	0,911 852	0,865 771	0,808 313	0,740 823
12,6	0,999 614	0,998 164	0,994 413	0,986 595	0,972 570	0,950 154	0,917 525	0,873 626	0,818 443	0,753 096
12,8	0,999 653	0,998 338	0,994 910	0,987 704	0,974 673	0,953 676	0,922 866	0,881 081	0,828 133	0,764 930
13,0	0,999 689	0,998 497	0,995 363	0,988 724	0,976 621	0,956 964	0,927 892	0,888 150	0,837 394	0,776 328
13,2	0,999 720	0,998 640	0,995 777	0,989 661	0,978 425	0,960 032	0,932 617	0,894 849	0,846 237	0,787 296
13,4	0,999 748	0,998 769	0,996 153	0,990 522	0,980 095	0,962 894	0,937 058	0,901 192	0,854 674	0,797 841
13,6	0,999 774	0,998 886	0,996 497	0,991 313	0,981 640	0,965 562	0,941 229	0,907 194	0,862 718	0,807 969
13,8	0,999 797	0,998 992	0,996 810	0,992 038	0,983 069	0,968 048	0,945 145	0,912 870	0,870 380	0,817 689
14,0	0,999 817	0,999 088	0,997 095	0,992 705	0,984 391	0,970 364	0,948 819	0,918 235	0,877 675	0,827 008
14,2	0,999 836	0,999 175	0,997 355	0,993 317	0,985 612	0,972 520	0,952 264	0,923 301	0,884 613	0,835 937
14,4	0,999 852	0,999 253	0,997 592	0,993 878	0,986 741	0,974 526	0,955 493	0,928 083	0,891 209	0,844 484
14,6	0,999 867	0,999 324	0,997 808	0,994 393	0,987 785	0,976 393	0,958 517	0,932 594	0,897 474	0,852 660
14,8	0,999 880	0,999 389	0,998 004	0,994 865	0,988 748	0,978 129	0,961 350	0,936 847	0,903 422	0,860 475
15,0	0,999 892	0,999 447	0,998 183	0,995 299	0,989 638	0,979 743	0,964 001	0,940 855	0,909 064	0,867 938
15,2	0,999 903	0,999 500	0,998 347	0,995 696	0,990 459	0,981 243	0,966 481	0,944 629	0,914 413	0,875 061
15,4	0,999 913	0,999 547	0,998 495	0,996 060	0,991 217	0,982 636	0,968 800	0,948 181	0,919 481	0,881 855
15,6	0,999 922	0,999 590	0,998 631	0,996 394	0,991 916	0,983 930	0,970 967	0,951 523	0,924 281	0,888 330
15,8	0,999 930	0,999 629	0,998 754	0,996 700	0,992 561	0,985 131	0,972 992	0,954 666	0,928 823	0,894 497
16,0	0,999 937	0,999 665	0,998 866	0,996 981	0,993 156	0,986 246	0,974 884	0,957 620	0,933 118	0,900 368
16,2	0,999 943	0,999 696	0,998 968	0,997 238	0,993 704	0,987 280	0,976 649	0,960 395	0,937 179	0,905 951
16,4	0,999 949	0,999 725	0,999 061	0,997 473	0,994 210	0,988 239	0,978 297	0,963 000	0,941 016	0,911 260
16,6	0,999 954	0,999 751	0,999 146	0,997 689	0,994 676	0,989 129	0,979 834	0,965 446	0,944 639	0,916 303
16,8	0,999 958	0,999 775	0,999 223	0,997 886	0,995 105	0,989 953	0,981 268	0,967 740	0,948 058	0,921 092
17,0	0,999 963	0,999 797	0,999 293	0,998 067	0,995 500	0,990 717	0,982 604	0,969 891	0,951 284	0,925 636
17,2	0,999 966	0,999 816	0,999 357	0,998 233	0,995 864	0,991 424	0,983 849	0,971 907	0,954 325	0,929 946
17,4	0,999 970	0,999 833	0,999 415	0,998 384	0,996 200	0,992 080	0,985 009	0,973 797	0,957 192	0,934 032
17,6	0,999 973	0,999 849	0,999 468	0,998 523	0,996 508	0,992 686	0,986 089	0,975 566	0,959 892	0,937 902
17,8	0,999 975	0,999 864	0,999 516	0,998 650	0,996 792	0,993 248	0,987 094	0,977 223	0,962 434	0,941 567
18,0	0,999 978	0,999 877	0,999 560	0,998 766	0,997 054	0,993 768	0,988 030	0,978 774	0,964 826	0,945 036
18,2	0,999 980	0,999 888	0,999 600	0,998 872	0,997 294	0,994 249	0,988 900	0,980 224	0,967 077	0,948 318
18,4	0,999 982	0,999 899	0,999 636	0,998 969	0,997 515	0,994 693	0,989 710	0,981 580	0,969 194	0,951 420
18,6	0,999 984	0,999 909	0,999 669	0,999 058	0,997 719	0,995 105	0,990 463	0,982 848	0,971 183	0,954 353
18,8	0,999 985	0,999 917	0,999 699	0,999 140	0,997 906	0,995 485	0,991 163	0,984 033	0,973 052	0,957 122
19,0	0,999 987	0,999 925	0,999 727	0,999 214	0,998 078	0,995 836	0,991 813	0,985 140	0,974 807	0,959 737
19,2	0,999 988	0,999 932	0,999 751	0,999 282	0,998 236	0,996 161	0,992 417	0,986 174	0,976 455	0,962 205
19,4	0,999 989	0,999 939	0,999 774	0,999 344	0,998 381	0,996 461	0,992 978	0,987 139	0,978 001	0,964 533
19,6	0,999 990	0,999 945	0,999 795	0,999 401	0,998 515	0,996 738	0,993 498	0,988 040	0,979 452	0,966 729
19,8	0,999 991	0,999 950	0,999 813	0,999 453	0,998 638	0,996 994	0,993 982	0,988 880	0,980 812	0,968 798
20,0	0,999 992	0,999 955	0,999 830	0,999 501	0,998 750	0,997 231	0,994 430	0,989 664	0,982 088	0,970 747

ejemplo:

Cual es la Distribución de probabilidad de chi-cuadrado de 4 grados de libertad de que x< 1,2

Buscando en la tabla la columna del 4 y la fila de 1,2, tenemos:

$P(\chi _{4}^{2}<1,2)=0,121901$

Para otros valores de x

En la tabla podemos encontrar directamente la probabilidad:$P(\chi _{k}^{2}<x)$, pero se pueden presentar otros casos, veamos algunos.

Para la variable mayor que x

Para calcular $P(\chi _{k}^{2}>x)$, partimos de la expresión:

$P(\chi _{k}^{2}<x)+P(\chi _{k}^{2}>x)=1$

La probabilidad de que la variable estadística sea menor que x más la probabilidad de que sea mayor que x es la certeza, de probabilidad 1.

Operando:

$P(\chi _{k}^{2}>x)=1-P(\chi _{k}^{2}<x)$

Ejemplo

Calcular la distribución de probabilidad de una variable estadística chi-cuadrado, de 6 grados de libertad sea mayor de 3,4.

$P(\chi _{6}^{2}>3,4)$

según lo anterior:

$P(\chi _{6}^{2}>3,4)=1-P(\chi _{6}^{2}<3,4)$

buscando en la tabla tenemos:

$P(\chi _{6}^{2}<3,4)=0,242777$

con lo que tenemos:

$P(\chi _{6}^{2}>3,4)=1-0,242777$

operando tenemos:

$P(\chi _{6}^{2}>3,4)=0,757223$

que es la respuesta a la pregunta.

Para la variable mayor que x1 y menor que x2

Para calcular la probabilidad de que:

$P(x_{1}<\chi _{k}^{2}<x_{2})$

siendo:

$x_{1}<x_{2}\,$

tenemos que:

$P(x_{1}<\chi _{k}^{2}<x_{2})=P(\chi _{k}^{2}<x_{2})-P(\chi _{k}^{2}<x_{1})$

Ejemplo

Cual es la probabilidad de que una variable chi-cuadrado de 8 grados de libertad este comprendida entre 3,4 y 5,6.

Esto es:

$P(3,4<\chi _{8}^{2}<5,6)$

según la tabla tenemos:

${\begin{cases}P(\chi _{8}^{2}<3,4)=0,093189\\P(\chi _{8}^{2}<5,6)=0,308063\end{cases}}$

según lo anterior, tenemos que:

$P(3,4<\chi _{8}^{2}<5,6)=P(\chi _{8}^{2}<5,6)-P(\chi _{8}^{2}<3,4)$

sustituyendo los valores:

$P(3,4<\chi _{8}^{2}<5,6)=0,308063-0,093189$

operando:

$P(3,4<\chi _{8}^{2}<5,6)=0,214874$

Con lo que tenemos la respuesta.

Interpolación lineal.

La función chi-cuadrado es continua para x mayor que cero, pero en la tabla solo se recogen algunos de sus valores, si bien la tabla podría hacerse más extensa el numero de valores recogidos siempre seria finito, para calcular los valores no recogidos en la tabla podemos emplear la interpolación lineal.

La interpolación lineal, parte de unos puntos conocidos de la función, y los valores intermedios los determina por la recta que une estos dos puntos, este método siempre añade un cierto error, al sustituir la función: y= f(x) por la recta que une dos puntos: y= r(x), que siempre será menor que tomar el valor conocido más próximo de la función, ver la figura, es importante que los puntos tomados estén lo más próximos entre sí, para que este error sea el mínimo posible.

La expresión:

$y={\frac {(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{1})}}\;(y_{2}-y_{1})+y_{1}$

determina el valor y de la función para un x dado, partiendo de dos puntos conocidos $(x_{1},y_{1})$ y $(x_{2},y_{2})$, siendo $x_{1}<x<x_{2}$.

Ejemplo

Cual es la probabilidad de una distribución chi-cuadrado de 5 grados de libertad, de que x sea menor que 1,75.

Esto es:

$P(\chi _{5}^{2}<1,75)$

el valor 1,75 no esta en la tabla, pero si tenemos que:

${\begin{cases}P(\chi _{5}^{2}<1,6)=0,098751\\P(\chi _{5}^{2}<1,8)=0,123932\end{cases}}$

sustituyendo en la expresión:

$y={\frac {(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{1})}}\;(y_{2}-y_{1})+y_{1}$

tenemos que:

$y={\frac {(1,75-1,6)}{(1,8-1,6)}}\;(0,123932-0,098751)+0,098751$

operando tenemos:

$y={\frac {(0,15)}{(0,2)}}\;(0,025181)+0,098751$

esto es:

$y=0,018886+0,098751\,$

que resulta:

$y=0,117637\,$

que es el resultado buscado:

$P(\chi _{5}^{2}<1,75)=0,117637$

Tabla inversa de distribución chi-cuadrado

Otra forma de tabla de distribución chi-cuadrado, en la cual los valores de búsqueda son los grados de libertad y la probabilidad acumulada, dada la expresión

$P(\chi _{k}^{2}<x)=p$

En este tipo de tablas se parte de los valoras conocidos k y p, y se obtiene x, de forma inversa a lo visto anteriormente, lo que resulta interesante para responder a la pregunta:

Para una distribución chi-cuadrado de k grados de libertad, cual es el valor de x que deja a su izquierda una probabilidad p.

Este tipo de problema en la practica, suele ser más usual, la tabla es más compacta y también nos permite calcular la probabilidad con la tabla directa.

En la tabla tenemos en la fila superior las probabilidades P, en la columna de la izquierda los grados de libertad k, donde se cruzan la fila y la columna correspondientes el valor de x que en una función chi-cuadrado de k grados de libertad, deja a su izquierda una probabilidad P.

Tabla distribución chi-cuadrado, inversa.

k \ P

0,01

0,05

0,10

0,20

0,25

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,75

0,80

0,90

0,95

0,99

1	0,000	0,004	0,016	0,064	0,102	0,148	0,275	0,455	0,708	1,074	1,323	1,642	2,706	3,841	6,635
2	0,020	0,103	0,211	0,446	0,575	0,713	1,022	1,386	1,833	2,408	2,773	3,219	4,605	5,991	9,210
3	0,115	0,352	0,584	1,005	1,213	1,424	1,869	2,366	2,946	3,665	4,108	4,642	6,251	7,815	11,34
4	0,297	0,711	1,064	1,649	1,923	2,195	2,753	3,357	4,045	4,878	5,385	5,989	7,779	9,488	13,28
5	0,554	1,145	1,610	2,343	2,675	3,000	3,656	4,351	5,132	6,064	6,626	7,289	9,236	11,07	15,09
6	0,872	1,635	2,204	3,070	3,455	3,828	4,570	5,348	6,211	7,231	7,841	8,558	10,64	12,59	16,81
7	1,239	2,167	2,833	3,822	4,255	4,671	5,493	6,346	7,283	8,383	9,037	9,803	12,02	14,07	18,48
8	1,647	2,733	3,490	4,594	5,071	5,527	6,423	7,344	8,351	9,524	10,22	11,03	13,36	15,51	20,09
9	2,088	3,325	4,168	5,380	5,899	6,393	7,357	8,343	9,414	10,66	11,39	12,24	14,68	16,92	21,67
10	2,558	3,940	4,865	6,179	6,737	7,267	8,295	9,342	10,47	11,78	12,55	13,44	15,99	18,31	23,21
11	3,053	4,575	5,578	6,989	7,584	8,148	9,237	10,34	11,53	12,90	13,70	14,63	17,28	19,68	24,73
12	3,571	5,226	6,304	7,807	8,438	9,034	10,18	11,34	12,58	14,01	14,85	15,81	18,55	21,03	26,22
13	4,107	5,892	7,041	8,634	9,299	9,926	11,13	12,34	13,64	15,12	15,98	16,98	19,81	22,36	27,69
14	4,660	6,571	7,790	9,467	10,17	10,82	12,08	13,34	14,69	16,22	17,12	18,15	21,06	23,68	29,14
15	5,229	7,261	8,547	10,31	11,04	11,72	13,03	14,34	15,73	17,32	18,25	19,31	22,31	25,00	30,58
16	5,812	7,962	9,312	11,15	11,91	12,62	13,98	15,34	16,78	18,42	19,37	20,47	23,54	26,30	32,00
17	6,408	8,672	10,09	12,00	12,79	13,53	14,94	16,34	17,82	19,51	20,49	21,61	24,77	27,59	33,41
18	7,015	9,390	10,86	12,86	13,68	14,44	15,89	17,34	18,87	20,60	21,60	22,76	25,99	28,87	34,81
19	7,633	10,12	11,65	13,72	14,56	15,35	16,85	18,34	19,91	21,69	22,72	23,90	27,20	30,14	36,19
20	8,260	10,85	12,44	14,58	15,45	16,27	17,81	19,34	20,95	22,77	23,83	25,04	28,41	31,41	37,57
21	8,897	11,59	13,24	15,44	16,34	17,18	18,77	20,34	21,99	23,86	24,93	26,17	29,62	32,67	38,93
22	9,542	12,34	14,04	16,31	17,24	18,10	19,73	21,34	23,03	24,94	26,04	27,30	30,81	33,92	40,29
23	10,20	13,09	14,85	17,19	18,14	19,02	20,69	22,34	24,07	26,02	27,14	28,43	32,01	35,17	41,64
24	10,86	13,85	15,66	18,06	19,04	19,94	21,65	23,34	25,11	27,10	28,24	29,55	33,20	36,42	42,98
25	11,52	14,61	16,47	18,94	19,94	20,87	22,62	24,34	26,14	28,17	29,34	30,68	34,38	37,65	44,31
26	12,20	15,38	17,29	19,82	20,84	21,79	23,58	25,34	27,18	29,25	30,43	31,79	35,56	38,89	45,64
27	12,88	16,15	18,11	20,70	21,75	22,72	24,54	26,34	28,21	30,32	31,53	32,91	36,74	40,11	46,96
28	13,56	16,93	18,94	21,59	22,66	23,65	25,51	27,34	29,25	31,39	32,62	34,03	37,92	41,34	48,28
29	14,26	17,71	19,77	22,48	23,57	24,58	26,48	28,34	30,28	32,46	33,71	35,14	39,09	42,56	49,59
30	14,95	18,49	20,60	23,36	24,48	25,51	27,44	29,34	31,32	33,53	34,80	36,25	40,26	43,77	50,89
31	15,66	19,28	21,43	24,26	25,39	26,44	28,41	30,34	32,35	34,60	35,89	37,36	41,42	44,99	52,19
32	16,36	20,07	22,27	25,15	26,30	27,37	29,38	31,34	33,38	35,66	36,97	38,47	42,58	46,19	53,49
33	17,07	20,87	23,11	26,04	27,22	28,31	30,34	32,34	34,41	36,73	38,06	39,57	43,75	47,40	54,78
34	17,79	21,66	23,95	26,94	28,14	29,24	31,31	33,34	35,44	37,80	39,14	40,68	44,90	48,60	56,06
35	18,51	22,47	24,80	27,84	29,05	30,18	32,28	34,34	36,47	38,86	40,22	41,78	46,06	49,80	57,34
36	19,23	23,27	25,64	28,73	29,97	31,12	33,25	35,34	37,50	39,92	41,30	42,88	47,21	51,00	58,62
37	19,96	24,07	26,49	29,64	30,89	32,05	34,22	36,34	38,53	40,98	42,38	43,98	48,36	52,19	59,89
38	20,69	24,88	27,34	30,54	31,81	32,99	35,19	37,34	39,56	42,05	43,46	45,08	49,51	53,38	61,16
39	21,43	25,70	28,20	31,44	32,74	33,93	36,16	38,34	40,59	43,11	44,54	46,17	50,66	54,57	62,43
40	22,16	26,51	29,05	32,34	33,66	34,87	37,13	39,34	41,62	44,16	45,62	47,27	51,81	55,76	63,69
41	22,91	27,33	29,91	33,25	34,58	35,81	38,11	40,34	42,65	45,22	46,69	48,36	52,95	56,94	64,95
42	23,65	28,14	30,77	34,16	35,51	36,75	39,08	41,34	43,68	46,28	47,77	49,46	54,09	58,12	66,21
43	24,40	28,96	31,63	35,07	36,44	37,70	40,05	42,34	44,71	47,34	48,84	50,55	55,23	59,30	67,46
44	25,15	29,79	32,49	35,97	37,36	38,64	41,02	43,34	45,73	48,40	49,91	51,64	56,37	60,48	68,71
45	25,90	30,61	33,35	36,88	38,29	39,58	42,00	44,34	46,76	49,45	50,98	52,73	57,51	61,66	69,96
46	26,66	31,44	34,22	37,80	39,22	40,53	42,97	45,34	47,79	50,51	52,06	53,82	58,64	62,83	71,20
47	27,42	32,27	35,08	38,71	40,15	41,47	43,94	46,34	48,81	51,56	53,13	54,91	59,77	64,00	72,44
48	28,18	33,10	35,95	39,62	41,08	42,42	44,92	47,34	49,84	52,62	54,20	55,99	60,91	65,17	73,68
49	28,94	33,93	36,82	40,53	42,01	43,37	45,89	48,33	50,87	53,67	55,27	57,08	62,04	66,34	74,92
50	29,71	34,76	37,69	41,45	42,94	44,31	46,86	49,33	51,89	54,72	56,33	58,16	63,17	67,50	76,15
51	30,48	35,60	38,56	42,36	43,87	45,26	47,84	50,33	52,92	55,78	57,40	59,25	64,30	68,67	77,39
52	31,25	36,44	39,43	43,28	44,81	46,21	48,81	51,33	53,94	56,83	58,47	60,33	65,42	69,83	78,62
53	32,02	37,28	40,31	44,20	45,74	47,16	49,79	52,33	54,97	57,88	59,53	61,41	66,55	70,99	79,84
54	32,79	38,12	41,18	45,12	46,68	48,11	50,76	53,33	55,99	58,93	60,60	62,50	67,67	72,15	81,07
55	33,57	38,96	42,06	46,04	47,61	49,06	51,74	54,33	57,02	59,98	61,67	63,58	68,80	73,31	82,29
56	34,35	39,80	42,94	46,96	48,55	50,01	52,71	55,33	58,04	61,03	62,73	64,66	69,92	74,47	83,51
57	35,13	40,65	43,82	47,88	49,48	50,96	53,69	56,33	59,06	62,08	63,79	65,74	71,04	75,62	84,73
58	35,91	41,49	44,70	48,80	50,42	51,91	54,67	57,33	60,09	63,13	64,86	66,82	72,16	76,78	85,95
59	36,70	42,34	45,58	49,72	51,36	52,86	55,64	58,33	61,11	64,18	65,92	67,89	73,28	77,93	87,17
60	37,48	43,19	46,46	50,64	52,29	53,81	56,62	59,33	62,13	65,23	66,98	68,97	74,40	79,08	88,38
70	45,44	51,74	55,33	59,90	61,70	63,35	66,40	69,33	72,36	75,69	77,58	79,71	85,53	90,53	100,4
80	53,54	60,39	64,28	69,21	71,14	72,92	76,19	79,33	82,57	86,12	88,13	90,41	96,58	101,9	112,3
90	61,75	69,13	73,29	78,56	80,62	82,51	85,99	89,33	92,76	96,52	98,65	101,1	107,6	113,1	124,1
100	70,06	77,93	82,36	87,95	90,13	92,13	95,81	99,33	102,9	106,9	109,1	111,7	118,5	124,3	135,8
110	78,46	86,79	91,47	97,36	99,67	101,8	105,6	109,3	113,1	117,3	119,6	122,2	129,4	135,5	147,4
120	86,92	95,70	100,6	106,8	109,2	111,4	115,5	119,3	123,3	127,6	130,1	132,8	140,2	146,6	159,0
130	95,45	104,7	109,8	116,3	118,8	121,1	125,3	129,3	133,4	137,9	140,5	143,3	151,0	157,6	170,4
140	104,0	113,7	119,0	125,8	128,4	130,8	135,1	139,3	143,6	148,3	150,9	153,9	161,8	168,6	181,8
150	112,7	122,7	128,3	135,3	138,0	140,5	145,0	149,3	153,8	158,6	161,3	164,3	172,6	179,6	193,2
160	121,3	131,8	137,5	144,8	147,6	150,2	154,9	159,3	163,9	168,9	171,7	174,8	183,3	190,5	204,5
170	130,1	140,8	146,8	154,3	157,2	159,9	164,7	169,3	174,0	179,2	182,0	185,3	194,0	201,4	215,8
180	138,8	150,0	156,2	163,9	166,9	169,6	174,6	179,3	184,2	189,4	192,4	195,7	204,7	212,3	227,1
190	147,6	159,1	165,5	173,4	176,5	179,3	184,4	189,3	194,3	199,7	202,8	206,2	215,4	223,2	238,3
200	156,4	168,3	174,8	183,0	186,2	189,0	194,3	199,3	204,4	210,0	213,1	216,6	226,0	234,0	249,4

ejemplo

Cual es el valor de x, de una distribución chi-cuadrado de 6 grados de libertad, que deja a su izquierda una probabilidad del 80%

$P(\chi _{6}^{2}<x)=0,80$

Consultando la tabla tenemos que:

$x=8,558\,$

Calculo de la probabilidad con la tabla inversa.

empleando esta tabla podemos realizar cálculos directos como en la anterior, normalmente será necesaria recurrir a la interpolación lineal para obtener los resultados

Ejemplo

¿Cuál es la distribución de probabilidad de chi-cuadrado de 4 grados de libertad de x < 1,2 ?

este es el mismo ejemplo que en la tabla directa, veamos como se haría en este caso:

la pregunta es:

$P(\chi _{4}^{2}<1,2)$

este valor no figura en la tabla pero si tenemos en la fila de k= 4, que:

${\begin{cases}P(\chi _{4}^{2}<1,064)=0,1\\P(\chi _{4}^{2}<1,649)=0,2\end{cases}}$

por la expresión de interpolación lineal:

$y={\frac {(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{1})}}\;(y_{2}-y_{1})+y_{1}$

sustituyendo los valores de este caso:

$y={\frac {(1,2-1,064)}{(1,649-1,064)}}\;(0,2-0,1)+0,1$

operando:

$y={\frac {(0,136)}{(0,585)}}\;(0,1)+0,1$

esto es:

$y=0,0232+0,1\,$

que da como resultado:

$y=0,1232\,$

esto es:

$P(\chi _{4}^{2}<1,2)=0,1232$

como se puede ver hay una diferencia del orden de la tercera cifra decimal, respecto a la búsqueda directa en la tabla, esta diferencia se produce por la interpolación lineal, al sustituir la función por la recta que une dos puntos conocidos, y a la relativamente gran diferencia entre x1 y x2, que es el 60% al valor de x1.

Para valores de k grandes

cuando el valor de k es suficientemente grande se tiene en cuenta que:

$\lim _{k\to \infty }\chi _{k}^{2}(x)=N_{(k,{\sqrt {2k}})}(x)$

Con lo que podemos aproximar la distribución Chi-cuadrado por la distribución normal, de media k y desviación típica raíz de 2k, empleando la tabla distribución normal tipificada para su calculo.