Electricidad/Campo eléctrico/Campo eléctrico generado por una distribución continua volumétrica de carga

El concepto de campo electrostático facilita la descripción, en términos físicos, de la influencia que una o más cargas eléctricas ejercen sobre el espacio que les rodea. Para una distribución continua volumétrica de carga el campo eléctrico puede ser calculado directamente tal cómo se desarrolla en este artículo, o bien puede calcularse indirectamente a través de la ecuación de Poisson.

Véase también: Campo electrostático

Caso general

Campo eléctrico producido por un elemento dV de una distribución volumétrica uniforme de carga.

Si se dispone de una distribución volumétrica continua de carga, el campo producido matemáticamente es una solución del problema de Poisson. Equivalentemente el campo puede calcularse en un punto cualquiera mediante el principio de superposición, dividiendo la carga en elementos infinitesimales dq. Entonces, se calcula el campo d E que produce cada elemento en el punto en cuestión, tratándolos como si fueran cargas "puntuales": La magnitud de d E está dada por: $d\mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {dq}{r^{2}}}\mathbf {u} _{r}$ El campo resultante en el punto se encuentra, entonces, sumando; esto es, integrando; las contribuciones debidas a todos los elementos de carga, o sea, $\mathbf {E} =\int \,d\mathbf {E}$ Esta solución es básicamente la solución del problema de Poisson obtenida mediante el método de la función de Green, en este caso la función de Green viene dada por: $G({\vec {\mathbf {r} }},\mathbf {r} )={\frac {1}{|{\vec {r}}-r|}}={\frac {1}{||{\vec {\mathbf {r} }}-\mathbf {r} ||}}$ Si la distribución continua de carga que se considera tiene una densidad volumétrica de carga $\rho ={\frac {dq}{dV}}\,\!$ , entonces $dq=\rho dV\,\!$ .

Por lo tanto, $\mathbf {E} =\int _{V}\,d\mathbf {E} =\int _{V}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {dq}{r^{2}}}\mathbf {u} _{r}=\int _{V}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\rho (r)dV}{r^{2}}}{\vec {u}}_{r}$

Campo eléctrico generado por una esfera maciza uniformemente cargada

Hay que destacar que si la esfera está uniformamente cargada, es porque se trata de una esfera maciza de material dieléctrico.

Campo eléctrico desde el punto A o en cualquier punto exterior a la corteza

En cualquier punto exterior a la esfera se observa que, por simetría, el campo tiene dirección radial con centro en el centro de la esfera. Se toma una superficie gaussiana de radio $r>R$ (donde $R$ es el radio de la esfera cargada). En la superficie de esta esfera el valor del campo eléctrico es constante en módulo y siempre paralelo al vector ${\vec {S}}$ . Entonces, por la Ley de Gauss se tiene que:

$\int _{S}\ {\vec {E}}d{\vec {S}}=\int _{V}\,{\frac {\rho dV}{\epsilon _{0}}}$ ; $E\int _{S}\ dS={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\int _{V}\ dV$ ; $E4\pi r^{2}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}{\frac {4}{3}}\pi R^{3}$

$E={\frac {\rho R^{3}}{3\epsilon _{0}r^{2}}}$	${\vec {E}}={\frac {\rho R^{3}}{3\epsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u_{n}}}$

Campo eléctrico en el punto B o en cualquier punto interior de la esfera

El campo eléctrico en el punto B es el creado por las cargas que se encuentran dentro del aro amarillo (en este caso sólo una, la cruz central), todas las cargas que se encuentran fuera de él no contribuyen al campo eléctrico porque la esfera está cargada uniformemente, es decir, todos los campos creados por las cargas exteriores al aro amarillo se anulan entre sí, porque las cargas están situadas simétricamente.

El campo eléctrico es equivalente al creado por una carga puntual situada en el centro de la esfera ( véase Ley de Gauss):

$E=K{\frac {Q}{r^{2}}}={\frac {\rho }{3\epsilon _{0}}}r$

donde $Q$ es la carga que se encuentra dentro del aro amarillo y $r$ es la distancia desde el centro de la esfera hasta el punto B.

Véase también