Electricidad/Campo eléctrico/Campo eléctrico generado por una distribución continua superficial de carga

El concepto de campo electrostático facilita la descripción, en términos físicos, de la influencia que una o más cargas eléctricas ejercen sobre el espacio que les rodea. Para una distribución superficial continua de carga puede ser calculado cómo se indica.

Véase también: Campo electrostático

Caso general

Campo eléctrico producido por un elemento dS de una distribución superficial continua de carga.

Si se dispone de una distribución superficial continua de carga, el campo producido en un punto cualquiera puede calcularse dividiendo la carga en elementos infinitesimales dq. Entonces, se calcula el campo dE que produce cada elemento en el punto en cuestión, tratándolos como si fueran cargas.

La magnitud de dE está dada por:

$d{\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {dq}{r^{2}}}{\vec {u_{r}}}$

El campo resultante en el punto se encuentra, entonces, sumando; esto es, integrando; las contribuciones debidas a todos los elementos de carga, o sea,

${\vec {E}}=\int \,d{\vec {E}}$

Si la distribución continua de carga que se considera tiene una densidad superficial de carga $\sigma ={\frac {dq}{dS}}\,\!$ , entonces $dq=\sigma dS\,\!$ .

Por lo tanto,

{\vec {E}}=\int _{S}\,d{\vec {E}}=\int _{S}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {dq}{r^{2}}}{\vec {u_{r}}}=\int _{S}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\sigma dS}{r^{2}}}{\vec {u_{r}}}

Campo eléctrico generado por un plano infinito de densidad de carga uniforme

La figura muestra una porción de un plano infinito cuya densidad superficial de carga (esto es, la carga por unidad de superficie) tiene valor constante $\sigma \,\!$ . Sea dS un elemento diferencial de superficie. La carga contenida en este elemento será $dq=\sigma dS\,\!$ y la magnitud del campo $dE\,\!$ debida al elemento de carga $dq\,\!$ será:

$dE={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {dq}{R^{2}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\sigma dS}{r^{2}+z^{2}}}$

siendo $r\,\!$ y $z\,\!$ las proyecciones del radio vector R sobre el plano XY y el eje Z respectivamente.

Ahora bien, al estar utilizando coordenadas cilíndricas para el cálculo, se puede observar que cada elemento diferencial de superficie dS, por simetría, posee una contraparte diametralmente opuesta. Esto hace que las componentes radiales de dE se anulen. Así, las componentes sobre Z son las únicas que contribuyen al resultado final.

Siendo $dS=(dr)(rd\phi )\,\!$ y $\cos \theta ={\frac {z}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}$ se obtiene:

$dE_{z}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\sigma (dr)(rd\phi )}{r^{2}+z^{2}}}{\frac {z}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}$

Con lo cual:

$E_{z}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{+\infty }{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\sigma zrdrd\phi }{{(r^{2}+z^{2})}^{\frac {3}{2}}}}={\frac {z\sigma }{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{+\infty }{\frac {rdrd\phi }{{(r^{2}+z^{2})}^{\frac {3}{2}}}}={\frac {z\sigma }{4\pi \epsilon _{0}}}(2\pi )\int _{0}^{+\infty }{\frac {rdr}{{(r^{2}+z^{2})}^{\frac {3}{2}}}}=$ $={\frac {z\sigma }{2\epsilon _{0}}}\int _{0}^{+\infty }r{(r^{2}+z^{2})}^{-{\frac {3}{2}}}dr={\frac {z\sigma }{2\epsilon _{0}}}\left({\frac {-1}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\right)_{0}^{+\infty }={\frac {\sigma }{2{\epsilon }_{0}}}$

En consecuencia:

$E_{z}=E={\frac {\sigma }{2{\epsilon }_{0}}}$

El anterior, es un resultado físico muy notable, ya que, como se ve, la magnitud del campo es independiente de la distancia. Obteniendo así un campo uniforme y continuo paralelo al eje z

Campo eléctrico generado por dos placas infinitas y paralelas

Campo eléctrico en el exterior de las placas

El campo eléctrico generado en el exterior de las placas es nulo en cualquier punto. Como las placas son infinitas, los campos eléctricos que crean no dependen de la distancia que hay entre la placa y el punto en el cual se mide el valor del campo eléctrico; además, como las placas están cargadas de forma contraria (una es positiva y otra negativa), los campos se restan anulándose entre sí.

$E={\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}-{\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}=0$

Campo eléctrico entre las dos placas

En el interior de las placas, se suman los campos eléctricos siendo E = σ/2Eo + σ/2Eo = 2σ/2Eo=σ/Eo

Campo eléctrico generado por un disco cargado de grosor despreciable en su eje

La figura muestra un disco cargado cuya densidad superficial de carga (esto es, la carga por unidad de superficie) tiene un valor constante $\sigma \,\!$ .

Sea dS un elemento diferencial de superficie en forma de anillo. La carga contenida en este elemento será $dq=\sigma dS\,\!$ y, sabiendo que el campo eléctrico generado por un anillo cargado sobre puntos de su eje está dado por

E={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {qx}{{(a^{2}+x^{2})}^{\frac {3}{2}}}}

siendo $a\,\!$ el radio del anillo y $x\,\!$ la distancia entre el centro del anillo y el punto considerado, la magnitud del campo $dE\,\!$ debida al elemento de carga $dq\,\!$ será:

$dE={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\sigma dSz}{{(R'^{2}+z^{2})}^{\frac {3}{2}}}}$

Ahora bien, $dS=2\pi R'dR'\,\!$ y, en consecuencia se cumplirá:

$dE={\frac {\sigma z}{2\epsilon _{0}}}{\frac {R'dR'}{{(R'^{2}+z^{2})}^{\frac {3}{2}}}}$

Con lo cual:

$E={\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}\int _{0}^{R}{\frac {zR'dR'}{{(R'^{2}+z^{2})}^{\frac {3}{2}}}}={\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}\left(1-{\frac {z}{\sqrt {z^{2}+R^{2}}}}\right)$

O sea:

$E={\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}\left(1-{\frac {z}{\sqrt {z^{2}+R^{2}}}}\right)$

Esta expresión también puede ser deducida, utilizando coordenadas cilíndricas, mediante un razonamiento similar al utilizado en la sección Campo eléctrico generado por un plano infinito de densidad de carga uniforme. La única diferencia es que en lugar de integrar entre $0\,\!$ y $+\infty \,\!$ , se integra entre $0\,\!$ y $R\,\!$ , con lo cual se llega a la misma expresión.

Campo eléctrico generado por una esfera hueca y de espesor despreciable

Véase también: Ley de Gauss

Campo eléctrico en el exterior de la corteza esférica

Para calcular el campo en el exterior a la esfera se considera que toda la carga $Q$ distribuida en la superficie (que coincide, en este caso, con la carga total) se encuentra comprimida en el centro de la esfera, conclusión a la que se llega tras aplicar la ley de Gauss, de modo que el campo creado es equivalente al generado por una única carga puntual ubicada en el centro de la esfera:

$E={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{2}}}$

donde r es la distancia desde el centro de la esfera hasta el punto donde se está calculando el campo eléctrico.

Campo eléctrico en el interior de la esfera

El campo eléctrico en el interior de una esfera hueca es siempre nulo, siempre y cuando la esfera sea conductora, conclusión a la que se llega tras aplicar la ley de Gauss:

$E={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{2}}}=0$

Véase también