Un monomio es una expresión algebraica compuesta únicamente por un sólo término. La unión de varios monomios se denomina polinomio.

El grado de un monomio es la suma de los exponentes que forman dicho término. En el monomio $x^{5}$ , el grado de este monomio es 5, y en el monomio $x^{4}y^{2}z$ , el grado del monomio es 7 ( $4+2+1=7$ ).

Definición más formal

Llamamos monomios a una expresión de la forma $ax_{}^{n}$
donde $a$ es un número real que denominamos coeficiente,
$n$ es un número natural que denominamos Grado del monomio,
y $x$ la denominamos indeterminada o variable las variables también se denominan ""Parte Literal""

Definición avanzada

Antiguamente se tomaba por monomio lo que hoy es un término, ciertamente, pero hoy la definición correcta de monomio es la mencionada a continuación.
En términos precisos, un monomio es una aplicación

\mu :S\rightarrow \mathbb {N}

(1)

(donde $S$ es un conjunto cualquiera) y tal que el conjunto $\{s\in S\mid \mu (s)\neq 0\}$ es finito. Así, en términos intuitivos, un monomio es el producto de un número finito de variables elevadas a alguna potencia entera positiva. Cuando un monomio se multiplica por coeficientes en algún anillo (como puede ser $\mathbb {Z}$ ), entonces el resultado es un término.
Por supuesto, la definición formal no es del todo sencilla y puede parecer artificial, pero resulta indispensable a la hora de estudiar conceptos algebraicos más abstractos.

Operaciones con monomios

Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones con letras que intervienen son la multiplicación y las potencias de exponente natural.

Se pueden operar con los monomios, siempre que en la suma y la resta tengan las mismas variables, si no, formarían polinomios

Adición de monomios

Si nos dan dos monomios, $x^{3}$ y $3x^{3}$ su suma sería: $3x^{3}+x^{3}=4x^{3}$

Ya que $3x^{3}$ es lo mismo que $x^{3}+x^{3}+x^{3}$ o también, $3x^{3}$ En cambio,si nos dan $x^{4}+x^{3}$ la suma quedaría: $x^{4}+x^{3}=x^{4}+x^{3}$

ya que sus términos son de distinto grado, aun teniendo la misma variable (x). También, se puede dar el caso de que se den los monomios $xy$ y $3x^{2}$ En tal caso, la suma daría un polinomio $xy+3x^{2}$

Sustracción de monomios

Para restar monomios, se suma el minuendo con el sustraendo cambiado de signo y se da el mismo proceso de la suma.Por ejemplo: Sean los monomios $x^{3}$ y $3x^{3}$ su resta sería: $x^{3}-(+3x^{3})=x^{3}+(-3x^{3})=-2x^{3}$

Multiplicación de monomios

Para multiplicar monomios, se suman los exponentes de cada variable, se multiplican los números, y se juntan todas las variables.

Ejemplo:

$5x^{3}.3y^{2}x=15x^{4}y^{2}$
$4z^{2}.2z^{3}y=8z^{5}y$
$1w^{4}.1y^{4}=1w^{4}y^{4}$

Para más información, véase el artículo «Monomio» en Wikipedia.

División de monomios

Para dividir monomios, se resta los exponentes de cada variable, se dividen los números, y se agrupan todas las variables o incógnitas.
Ejemplo:
$8x^{4}y/2x^{2}=4x^{2}y$
$4z^{2}/2z^{3}=2/z$ ^–1
$1w^{4}/1y^{4}=1w^{4}/y^{4}$

Potencia de monomios

Para realizar la potencia de monomios, se multiplica el coeficiente tantas veces como indica la potencia y se multiplica los exponentes por la potencia. Ejemplo: ( $5x^{3})^{2}=25x$ ^{3×2 $=25x^{6}$}

Referencias

Matemática 8 - 3° Ciclo EEB - En Alianza Fundación - pág 16 al 19p