Física/Magnitudes mecánicas fundamentales/Principio de conservación de la cantidad de movimiento

En un sistema aislado en el cual las fuerzas externas son cero, el momento lineal total se conserva. Al sistema o conjunto de partículas, que cumple esta ley se le llama Sistema inercial:

$\sum {}{\vec {p}}=Constante$

Por la Segunda Ley de Newton, tenemos:

${\vec {F}}=m{\vec {a}}$

Pero como la aceleración es:

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}$

Entonces, la fuerza la podemos escribir como:

${\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}$

Como las fuerzas externas son 0:

${\vec {p}}=constante$

Dado que la derivada de una constante es 0:

${\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=0$

Sin utilizar cálculo diferencial

La Segunda Ley de Newton puede ser planteada en términos de cantidad de movimiento:

De la segunda Ley de Newton obtenemos que:

${\vec {F}}=m{\vec {a}}$

Como la aceleración es:

${\vec {a}}={\frac {\Delta \;{\vec {v}}}{\Delta \;t}}$

Reemplazando con la aceleración:

${\vec {F}}=m{\frac {\Delta \;{\vec {v}}}{\Delta \;t}}$

${\vec {F}}={\frac {m{\vec {v}}-m{\vec {v}}_{0}}{\Delta \;t}}$

${\vec {p}}=m{\vec {v}}$

Reemplazando con la cantidad de movimiento:

${\vec {F}}={\frac {{\vec {p}}-{\vec {p}}_{0}}{\Delta \;t}}$ ${\vec {F}}={\frac {\Delta \;{\vec {p}}}{\Delta \;t}}$

Si:

${\vec {F}}=0$

Entonces la cantidad de movimiento final será igual al inicial. A esto se le conoce como conservación de momento.

Equivalencia con leyes de Newton

Primera Ley o Inercia

Si la masa es constante esto implica que

${\vec {v}}=constante.$

Esto es equivalente a la primera ley de Newton o ley de la inercia, que establece que "en ausencia de fuerzas aplicadas un cuerpo se moverá con velocidad constante".

Segunda Ley

La segunda ley de Newton explica que al aplicar una fuerza externa a un cuerpo éste se acelerará, siendo esta fuerza igual al producto de la masa por la aceleración, es decir

${\vec {F}}=m{\vec {a}}.$

De acuerdo a la definición de aceleración esta expresión también puede escribirse como

${\vec {F}}=m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}.$

Si la masa es constante esto es equivalente a

${\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}$

lo que puede considerarse como una definición de fuerza: "fuerza es la razón de cambio del momento con respecto al tiempo".

Hay que resaltar que cuando Newton describió su Segunda Ley, en la que se describe qué es una fuerza, lo hizo derivando el momento lineal. Llegó a la conclusión de que para variar el momento lineal de una partícula, habría que aplicarle una fuerza. Por tanto la definición correcta de Fuerza es ${\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}$. Y, sólo en el muy probable caso de que la masa permanezca constante en dt, se puede transformar en ${\vec {F}}=m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}.$. Lo normal es que al aplicarle una fuerza a un cuerpo, su masa permanezca constante; pero por ejemplo, en el caso de un cohete, esto no es así, pues va perdiendo masa según avanza.

Tercera Ley o Acción-Reacción

Finalmente, en la interacción entre dos cuerpos, si el momento ha de conservarse el cambio de momento de uno de los cuerpos debe ser el negativo del cambio de momento del otro

${\frac {d{\vec {p}}_{1}}{dt}}=-{\frac {d{\vec {p}}_{2}}{dt}},$

lo que de acuerdo a la definición de fuerza, puede expresarse como

${\vec {F}}_{1}=-{\vec {F}}_{2}$

que equivale al enunciado "a toda fuerza de acción le corresponde una fuerza de reacción igual y opuesta".