Física/Dinámica de rotación/Momento angular

El momento angular o momento cinético de una masa puntual, es igual al producto vectorial del vector de posición $\scriptstyle {\vec {r}}$ (brazo), del objeto en relación a la recta considerada como eje de rotación, por la cantidad de movimiento $\scriptstyle {\vec {p}}$ (también llamado momento lineal o momento). Frecuentemente se lo designa con el símbolo $\scriptstyle {\vec {L}}$:

${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}={\vec {r}}\times m{\vec {v}}$

En ausencia de momentos de fuerzas externos, el momento angular de un conjunto de partículas, de objetos o de cuerpos rígidos se conserva. Esto es válido tanto para partículas subatómicas como para galaxias.

Momento angular de una masa puntual

El momento angular de una partícula con respecto al punto $\scriptstyle {O}$es el producto vectorial de su momento lineal $\scriptstyle {m{\vec {v}}}$ por el vector $\scriptstyle {\vec {r}}$. Aquí, el momento angular es perpendicular al dibujo y está dirigido hacia el lector.

En el dibujo de derecha vemos una masa $\scriptstyle {m}$ que se desplaza con una velocidad instantánea $\scriptstyle {\vec {v}}$. El momento angular de esta partícula, con respecto a la recta perpendicular al plano que contiene $\scriptstyle {\vec {r}}$ y $\scriptstyle {\vec {v}}$ es, como ya se ha escrito:

${\vec {L}}={\vec {r}}\times m{\vec {v}}\,$

El vector $\scriptstyle {\vec {L}}$ es perpendicular al plano que contiene $\scriptstyle {\vec {r}}$ y $\scriptstyle {\vec {v}}$, luego es paralelo a la recta considerada como eje de rotación. En el caso del dibujo, el vector momento angular sale del dibujo y va hacia el observador.

El módulo del momento angular es:

$L=mrv\sin \theta =p\,r\sin \theta =p\,\ell \,$

Es decir, el módulo es igual al momento lineal multiplicado por su brazo, el cual es la distancia entre el eje de rotación y la recta que contiene la velocidad de la partícula. Por esta razón, algunos designan el momento angular como el "momento del momento".

Dependencia temporal

Derivemos el momento angular con respecto al tiempo:

${d{\vec {L}} \over dt}={d\ \over dt}({\vec {r}}\times {\vec {p}})=\left({d{\vec {r}} \over dt}\times {\vec {p}}\right)+\left({\vec {r}}\times {d{\vec {p}} \over dt}\right)\,$

El primero de los paréntesis es cero ya que la derivada de $\scriptstyle {\vec {r}}$ con respecto al tiempo no es otra cosa que la velocidad $\scriptstyle {\vec {v}}$. Y como el vector velocidad de paralelo al vector cantidad de movimiento $\scriptstyle {\vec {p}}$, el producto vectorial de los dos es cero. Nos queda el segundo paréntesis:

${d{\vec {L}} \over dt}={\vec {r}}\times {d \over dt}{\vec {p}}={\vec {r}}\times {d \over dt}m{\vec {v}}={\vec {r}}\times (m{\vec {a}})\,$

donde $\scriptstyle {\vec {a}}$ es la aceleración. Pero $\scriptstyle {m{\vec {a}}={\vec {F}}}$, la fuerza aplicada a la masa. Y el producto vectorial de $\scriptstyle {\vec {r}}$ por la fuerza es el torque o momento de fuerza aplicado a la masa:

${d{\vec {L}} \over dt}={\vec {r}}\times {\vec {F}}={\vec {\tau }}\,$

La derivada temporal del momento angular es igual al torque aplicado a la masa puntual.

Momento angular de un conjunto de partículas

El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

${\vec {L}}=\sum {\vec {L}}_{i}\,$

La variación temporal es:

${d{\vec {L}} \over dt}=\sum {d{\vec {L}}_{i} \over dt}=\sum {\vec {\tau }}_{i}\,$

El término de derecha es la suma de todos los torques producidos por todas las fuerzas que actúan sobre las partículas. Una parte de esas fuerzas puede ser de origen externo al conjunto de partículas. Otra parte puede ser fuerzas entre partículas. Pero cada fuerza entre partículas tiene su reacción que es igual pero de dirección opuesta y colineal. Eso quiere decir que los torques producidos por cada una de las fuerzas de un par acción-reacción son iguales y de signo contrario y que su suma se anula. Es decir, la suma de todos los torques de origen interno es cero y no puede hacer cambiar el valor del momento angular del conjunto. Solo quedan los torques externos:

${d{\vec {L}} \over dt}=\sum {d{\vec {L}}_{i} \over dt}={\vec {\tau }}_{ext.}\,$

El momento angular de un conjunto de partículas se conserva en ausencia de torques externos.

Esta afirmación es válida para cualquier conjunto de partículas: desde núcleos atómicos hasta grupos de galaxias.

Cuerpos rígidos

Cuando el conjunto de partículas forma un cuerpo rígido, sabemos que

${\vec {\tau }}=I{\vec {\alpha }}\,$

donde:

• $\scriptstyle {\vec {\tau }}$ es el torque aplicado al cuerpo.
• $\scriptstyle {I}$ es el momento de inercia del cuerpo.
• $\scriptstyle {\vec {\alpha }}$ es la aceleración angular del cuerpo.

Luego:

${d{\vec {L}} \over dt}=I{\vec {\alpha }}=I{d{\vec {\omega }} \over dt}\,$

Como el momento angular es cero si no hay rotación:

${\vec {L}}=I{\vec {\omega }}\,$

donde $\scriptstyle {\vec {\omega }}$ es la velocidad angular del cuerpo.