Electrónica/Transformada de Laplace

Definición

La Transformada de Laplace de una función matemática f(t) definida para todos los números reales t ≥ 0 es la función F(s), definida por:

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

$F_{B}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f\right\}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

La transformada de Laplace F(s) tipicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

Gracias a la transformada de Laplace se pueden resolver muchos circuitos (siempre que sean "Laplace-transformables"), los cuales son muy difíciles de resolver en el dominio del tiempo. Un ejemplo de esto son los circuitos con múltiples inductancias y condensadores, ya que por cada uno de estos componentes que se agregue, la ecuación resultante es una ecuación diferencial de mayor orden. Al transformar este tipo de circuitos al dominio de Laplace las ecuaciones se simplifican considerablemente y es posible resolverlas en ese dominio, para después llevarlas al dominio del tiempo resueltas.

Propiedades

PROPIEDAD DE LINEALIDAD Para hablar de transformación lineal, deben establecerse previamente los espacios vectoriales. · A es evidentemente un espacio vectorial real con las definiciones usuales de suma de funciones y producto por escalar. · Sea el conjunto de funciones reales definidas en intervalos (so, ") ó [so, "). También es espacio vectorial real, si dadas dos funciones F, G se define F+G en la forma usual, en la intersección de los dominios de F y G. Se considerarán además como iguales dos funciones en si coinciden en un intervalo de la forma (a, "). · Entonces es aplicación del espacio vectorial A en él. Teorema Si c1 y c2 son constantes y F1(t) y F2(t) son funciones cuyas transformadas de Laplace son, respectivamente, f1(s) y f2(s), entonces:

L {c1F1(t) + c2F2(t)}

                     = c1L{F1(t)} + c2L{F2(t)} 
                     = c1f1(s) c2f2(s)

Ejemplo1.

L{4t2 - 3 cos2t + 5e-t}

                        = 4L(t2} - 3L{cos2t} + 5L{e-t}
                        = 4 * 2! - 3 * s + 5 * 1s3 s2 + 4 s + 1
                        = 8 - 3s + 5s3 s2 + 4 s + 1

Ejemplo 2.

L{4e5t + 6t3 - 3sen4t + 2cos2t}

        = 4L{e5t } + 6L{t3 } - 3L{sen4t} + 2L{cos2t}
        = 4 * 1 + 6 * 3! - 3 * 4 + 2 * 2s - 5 s3 s2 + 16 s2 + 4
        = 4 + 36 - 12 + 4s - 5 s3 s2 + 16 s2 + 4
        donde s > 5.

Potencia n-ésima

${\mathcal {L}}\{\,t^{n}\}={\frac {n!}{s^{n+1}}}$

NT: en la demostración aparece la función Gamma, tener presente esto :)

Exponencial

${\mathcal {L}}\{\,e^{at}\}={\frac {1}{s-a}}$

Seno

${\mathcal {L}}\{\,{\mbox{sen}}(bt)\}={\frac {b}{s^{2}+b^{2}}}$

Coseno

${\mathcal {L}}\{\,\cos(bt)\}={\frac {s}{s^{2}+b^{2}}}$

Seno hiperbólico

${\mathcal {L}}\{\,{\mbox{senh}}(bt)\}={\frac {b}{s^{2}-b^{2}}}$

Coseno hiperbólico

${\mathcal {L}}\{\,\cosh(bt)\}={\frac {s}{s^{2}-b^{2}}}$

f(t)=cosh(t)/e

Logaritmo natural

${\mathcal {L}}\{\,\ln(t)\}=-{\frac {\ln(s)+\gamma }{s}}$

Raiz n-ésima

${\mathcal {L}}\{\,{\sqrt[{n}]{t}}\}=s^{-{\frac {n+1}{n}}}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{t}}\right)$

Función de Bessel de primera clase

${\mathcal {L}}\{\,J_{n}(t)\}={\frac {\left(s+{\sqrt {1+s^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {1+s^{2}}}}$

Función modificada de Bessel de primera clase

${\mathcal {L}}\{\,I_{n}(t)\}={\frac {\left(s+{\sqrt {-1+s^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {-1+s^{2}}}}$

Función de error

${\mathcal {L}}\{\,\operatorname {erf} (t)\}={e^{s^{2}/4}\operatorname {erfc} \left(s/2\right) \over s}$

Derivación

${\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0)$

${\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0)-f'(0)$

${\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}\right\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)$

${\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-F'(s)$

${\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma$

NT: en la demostración recordar que $e^{-st}$ debe crecer más rápidamente que la función, y así calcular su límite $\lim(f(t)/e^{-st},t=0..\infty )$(el cual seria cero, sino no habria como calcular) es por esto que funciones del tipo ${\mathcal {L}}\{f(e^{t^{2}}))$ (que crece mas rápido que $e^{-st}$pueden ser obtenidas por Laplace

Integración

${\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}={1 \over s}{\mathcal {L}}\{f\}$

Desplazamiento en s

${\mathcal {L}}\left\{e^{at}f(t)\right\}=F(s-a)$

Desplazamiento temporal en t

${\mathcal {L}}\left\{f(t-a)u(t-a)\right\}=e^{-as}F(s)$

${\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\}=f(t-a)u(t-a)$

Nota: $u(t)$ es la función escalón.

Desplazamiento potencia n-ésima

${\mathcal {L}}\{\,t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}D_{s}^{n}[F(s)]$

Convolución

${\mathcal {L}}\{f*g\}={\mathcal {L}}\{f\}{\mathcal {L}}\{g\}$

Transformada de Laplace de una función con periodo p

${\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-ps}}\int _{0}^{p}e^{-st}f(t)\,dt$

Otras transformadas comunes

Transformada de Laplace

Función en el tiempo

$1$

$\delta (t)$

${\frac {1}{s}}$

$u(t)$, unit step

${\frac {1}{(s+a)^{n}}}$

${\frac {t^{n-1}}{(n-1)!}}e^{-at}$

${\frac {1}{s(s+a)}}$

$1-e^{-at}$

${\frac {1}{(s+a)(s+b)}}$

${\frac {1}{b-a}}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right)$

${\frac {s+c}{(s+a)^{2}+b^{2}}}$

$e^{-at}\left(\cos {(bt)}+\left({\frac {c-a}{b}}\right){\mbox{sen}}{(bt)}\right)$

${\frac {{\mbox{sen}}\varphi s+a\cos \varphi }{s^{2}+a^{2}}}$

${\mbox{sen}}{(at+\varphi )}$

Ecuaciones eléctricas equivalentes en Laplace

Sean:

$V(s)={\mathcal {L}}\{v(t)\}$

$I(s)={\mathcal {L}}\{i(t)\}$

Leyes de interacción (Kirchhoff)

$\sum _{i=1}^{n}v_{i}(t)=0\ \Leftrightarrow \ \sum _{i=1}^{n}V_{i}(s)=0$

$\sum _{k=1}^{m}i_{k}(t)=0\ \Leftrightarrow \ \sum _{k=1}^{m}I_{k}(s)=0$

Ley de componentes

$v(t)=R\cdot i(t)\ \Leftrightarrow \ V(s)=R\cdot I(s)$

$v(t)=L\cdot {di(t) \over dt}\ \Leftrightarrow \ V(s)=s\cdot L\cdot I(s)-L\cdot i(0_{-})$

$i(t)=C\cdot {dv(t) \over dt}\ \Leftrightarrow \ I(s)=s\cdot C\cdot V(s)-C\cdot v(0_{-})$

Impedancias

Las impedancias en el dominio de Laplace son similares a las que se obtienen trabajando con fasores.

En R:

$\quad Z(s)=R$

En C:

$\quad Z(s)=$ $1 \over s\cdot C$

En L:

$\quad Z(s)=s\cdot L$