Usuario:Andrespbz/ejercicio 22
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22)Para las siguientes porposiciones, el universo abarca todos los numeros reales. Determine el valor de verdad de cada proposicion.
a)∃x∃y(x y=1) (V) b)∃x∀y(x y=1) (F) c)∀x∃y(x y=1) (V)
d)∀x∀y(sen2x+cos2x=sen2y+cos2y) (V)
e)∃x∃y[(2x+y =5)∧(x-3y=-8)] (V)
f)∃x∃y[(3x-y=7)∧(2x+4y=3)] (V)
SOLUCIÓN
a)
[editar]En el universo del discurso dado hallamos por lo menos una pareja de numeros que multiplicados su resultado sea 1 para que la proposicion sea verdadera.
Esta implicito que la unica pareja de numeros seria donde y=1 y x=1, con esto se demuestra que almenos existe una pareja y por lo tanto la proposicion es verdadera
RESPUESTA : Verdadero
b)
[editar]Existe almenos un valor de x que para todo valor de y tal que xy=1.
En otras palabras lo que dice esta proposicion es que existe un reciproco unico para todo numero pero las propiedades del producto dicen:
Para todo numero x≠0 existe otro tal que xy=yx=1 y y se denota como x- 1que es igual a 1/x y se denomina reciproco de x
El numero y se da en funcion de x por lo tanto y es unico para cada x
De esto se puede concluir que no existe ningun numero que haga la funcion de reciproco para todos los numeros.
RESPUESTA : Falso
c)
[editar]Para todo numero x existe almenos un numero y tal que xy=1
Esta es la definicion del reciproco segun las propiedades del producto
Para todo numero x≠0 existe otro tal que xy=yx=1 y y se denota como x- 1que es igual a 1/x y se denomina reciproco de x
La proposicion es totalmente cierta ya que el reciproco se encuantra entre los reales.
RESPUESTA : Verdadero
d)
[editar]Segun las identidades trigonometricas tenemos que sen2a + cos2a=1 esto es porque el teorema de pitagoras nos dice que en un triangulo en el cual uno de sus angulos sea 90o (triangulo rectangulo) su hipotenusa o cateto opuesto a el angulo de 90o se describe como a2+b2=h2 siendo a y b los catetos restantes.
En un triangulo donde su hipotenusa siempre va a ser 1 las variables son los dos catetos restantes en funcion de un angulo dado, sea cuales sean esos valores se definen en la funcion seno para el cateto opuesto al angulo dado y en la funcion coseno para el cateto adyacente al angulo dado, entonces podriamos decir que seno= y y coseno = x, como dijimos que la hipotenusa va a ser siempre 1 entonces x va a estar en funcion de y y viceversa, por lo tanto para que se cumpla la igualdad, la suma de los cuadrados de los catetos siempre sera 1 por el teorema de pitagoras.
sen2x + cos2x=1, sen2y + cos2y=1, igualando las ecuaciones tenemos que :
sen2x + cos2x=sen2y + cos2y
RESPUESTA : Verdadero
e)
[editar]Al desarrollar 2x+ y =5 2x+(3)=5 2x=2 x=1
x-3y=8 7y=21 y=3
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2(1)+(3)=5 y 1 - 3(3)=-8
2+3 1 - 9
5 =5 -8 =-8
Asi se demuestra que existe almenos un valor de x y almenos un valor de y que satisfagan esas dos ecuaciones
RESPUESTA : Verdadero
f)
[editar]Al desarrollar 3x - y =7 3x - (-5/14) =7 3x= 93/14 x= 31/14
2x+4y=3 -14y=5 y=-5/14
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3(31/14)-(-5/14)= 7 y 2(31/14)+4(-5/14)=3
93/14 + 5/14 62/14 + (-20/14)
98/14 42/14
7 =7 3 =3
Asi se demuestra que existe almenos un valor de x y almenos un valor de y que satisfagan esas dos ecuaciones y son ambos numeros reales.
RESPUESTA : Verdadero
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