Teoría de conjuntos/Teoría intuitiva de conjuntos/Funciones

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1.7.1. Sean $x$ e $y$ dos conjuntos cualesquiera. Cualquier subconjunto $f$ del producto cartesiano $x\times y$ que cumpla

( F-1 ) para todo $a\in x$ existe $b\in y$ tal que $(a,b)\in f$ y

( F-2 ) $(a,b)\in f$ y $(a,c)\in f$ implica $b = c$ ,

se dice función de $x$ en $y$ . Para indicar que $f$ es una función de un conjunto $x$ en otro $y$ , es común escribir $f:x\longrightarrow y$ .

1.7.2. Sean dos conjuntos $x$ e $y$ , y sea $f:x\longrightarrow y$ una función de $x$ en $y$ . Si $(a,b)\in f$ se dice que $a$ es antecedente de $b$ por medio de $f$ , y que $b$ es imagen de $a$ por medio de $f$ . Por definición, un elemento $a\in x$ no puede tener ni más ni menos que una sola imagen $b\in y$ , que representaremos por $f (a)$ (de modo que $b = f (a)$ si y solo si $(a,b)\in f$ ). El conjunto $x$ se dice dominio de la función $f$ , y se representa comúnmente por $dom(f)$ , mientras que el subconjunto $y'\subseteq y$ tal que para todo $b\in y'$ existe $a\in x$ tal que $b = f (a)$ (i.e. el subconjunto de $y$ que contiene solo las imágenes de los elementos de $x$ por medio de $f$ ) se dice rango de la función $f$ , y se representa por $ran(f)$ .

1.7.3. Claramente dos funciones $f:x\longrightarrow y$ y $g:x\longrightarrow y$ son iguales si y solo si

f (a) = g (a)

para todo $a\in x$ .

1.7.4. Tenemos también que si $x$ e $y$ son dos conjuntos, y si $f:x\longrightarrow y$ es cualquier función de $x$ en $y$ , entonces $f\subseteq x\times y$ , y así $f\in\mathcal{P}(x\times y)$ . Luego, si $F$ es el conjunto de todas las funciones $f:x\longrightarrow y$ , $F\subseteq\mathcal{P}(x\times y)$ , de modo que $F\in\mathcal{PP}(x\times y)$ .

1.7.5. Sea $y$ un conjunto cualquiera, y sea $f:\varnothing\longrightarrow y$ . Claramente $f=\varnothing$ .

1.7.6. Sea $x$ un conjunto. La función

$\{x\}_{i\in I}:I\longrightarrow\mathcal{P}(x)$ ,

que envía un elemento $i$ de $I$ con un subconjunto de $x$ , se denomina familia de subconjuntos de $x$ indicada por $I$ . El conjunto $I$ se denomina en este caso conjunto de índices (por lo que cada $i\in I$ se dice un índice), y la imagen de cualquier $i\in I$ por medio de esta función se representa por $x i$ .

Por ejemplo, considérese el conjunto

x = {a, b, c, d}

y el conjunto de índices $I = {m, n, o, p}$ . Existen varias familias de subconjuntos de $x$ indicadas por $I$ . Una de estas puede ser la función

$\{x\}_{i\in I}:I\longrightarrow\mathcal{P}(x)$ ,

dada por

$x_m=\{a\},\quad x_n=\{a,b\},\quad x_o=\{a,b,c\},\quad x_p=\{a,b,c,d\}$ .

Otra puede ser la que viene dada por

$x_m\{a\},\quad x_n=\{b\},\quad x_o=\{c\},\quad x_p=\{d\}$ .

1.7.7. Sea la función $f:x\longrightarrow y$ de un conjunto $x$ en otro $y$ ; Si

(F-3) para cualesquiera $a\in x$ y $b\in x,\quad f(a)=f(b)$ implica $a = b$ ,

es decir, si cualesquiera distintos elementos de $x$ tienen distintas imágenes en $y$ , se dice que $f$ es una función inyectiva o que es una inyección.

(F-4) para todo $b\in y$ existe $a\in x$ tal que $b = f (a)$ ,

es decir, si $ran(f) = y$ (i.e. si todo $b\in y$ es imagen), se dice que $f$ es una función sobreyectiva (o suprayectiva), que es una función de $x$ sobre $y$ , o que es una sobreyección.

(F-5) Una función que es a la vez inyectiva y sobreyectiva se dice función biyectiva o biyección.

1.7.8. Sea $f:x\longrightarrow y$ , y sea $x 1$ un subconjunto de $x$ (i.e. un elemento de $\mathcal{P}(x)$ ). El conjunto $f(x')\subseteq y$ dado por

$f\left[x_1\right]=\{b\in y\mid$ existe $a\in x_1$ tal que

b = f (a)}

se dice imagen del subconjunto $x 1$ por $f$ . Es decir, $f\left[x_1\right]$ es el conjunto de todos los $b\in y$ que son imagen de algún elemento de $x 1$ . Así pues,

$f\left[x_1\right]\subseteq\mathrm{ran}(f)$

y, en particular,

$f\left[x\right]= \mathrm{ran}(f)$ .

Nótese que, si $a\in x$ , entonces

$f\left[\{a\}\right]=\{f(a)\}$

es un conjunto con un solo elemento, a saber, la imagen de $a$ por $f$ .

1.7.9. Por otra parte, si $y_1\subseteq y$ , entonces se define el conjunto $f^{-1}\left[y_1\right]$ por

$f^{-1}\left[y_1\right]=\{a\in x\mid f(a)\in y_1\}$ ,

y se llama a este conjunto imagen recíproca de $y 1$ por $f$ . Así pues,

$f^{-1}\left[y_1\right]\subseteq x$ .

Puesto que todo elemento de $x$ tiene una imagen en $y$ , tenemos que, como caso particular,

$f^{-1}\left[y\right]=x$ .

Sin embargo, debemos tener presente que, si bien $f\left[\{a\}\right]$ , donde $a\in x$ , siempre es un conjunto con un solo elemento, el conjunto $f^{-1}\left[\{b\}\right]$ con $b\in y$ puede ser vacío, ya que la definición de función no garantiza que todo elemento de $y$ tenga un antecedente en $x$ . Sin embargo esto si esta garantizado cuando $f$ es sobreyectiva, de modo que, en ese caso, el conjunto

$f^{-1}\left[\{b\}\right]$

contiene cualquier elemento de $x$ cuya imagen sea $b$ . Si $f$ es además inyectiva, entonces $f$ es biyectiva, de modo que $b$ es la imagen de solo un elemento $a$ de $x$ , y así $f^{-1}\left[\{b\}\right]$ contiene solo a tal elemento $a$ .

1.7.10. Veamos ahora algunas propiedades generales de las funciones. Para esto definimos una función $f:x\longrightarrow y$ y dos familias $\{x\}_{i\in I}$ e $\{y\}_{j\in J}$ de subconjuntos de $x$ e $y$ respectivamente. Convenimos también en que $x 1$ , $x 2$ e $y 1$ , $y 2$ representan, respectivamente, subconjuntos de $x$ y subconjuntos de $y$ .

Tenemos que

(a) $x_1\subseteq x_2$ implica $f\left[x_1\right]\subseteq f\left[x_2\right]$ .

Demostración: Sea pues $x_1\subseteq x_2$ . Si $b\in f\left[x_1\right]$ , entonces, por definición (véase ¿?), existe $a\in x_1$ tal que $b = f (a)$ , pero en tal caso $a\in x_2$ , pues $x_1\subseteq x_2$ , de modo que $b\in f\left[x_2\right]$ . QED

(b) $y_1\subseteq y_2$ implica $f^{-1}\left[y_1\right]\subseteq f^{-1}\left[y_2\right]$ .

Demosracón: Si $a\in f^{-1}\left[y_1\right]$ , entonces $f(a)\in y_1$ , puesto que $y_1\subseteq y_2$ , se tiene $f(a)\in y_2$ , luego $a\in f^{-1}\left[y_2\right]$ , y así $f^{-1}\left[y_1\right]\subseteq f^{-1}\left[y_2\right]$ . QED

(c) $x_1\subseteq f^{-1}\left[f\left[x_1\right]\right]$ .

Demostración: Sea $a\in x_1$ . La imagen de $a$ por $f$ , $f (a)$ , está en el conjunto $f\left[x_1\right]$ , y así $a\in f^{-1}\left[f\left[x_1\right]\right]$ . QED

Si, en particular, la función $f$ es inyectiva, entonces

(d) $x_1=f^{-1}\left[f\left[x_1\right]\right]$ .

(e) $f\left[f^{-1}\left[y_1\right]\right]\subseteq y_1$ .

Demostración: Si $b\in f\left[f^{-1}\left[y_1\right]\right]$ , entonces $b$ es la imagen de algún $a\in f^{-1}\left[y_1\right]$ , y así $b\in y_1$ . QED

Si, en particular, $f$ es sobreyectiva, entonces

(f) $f\left[f^{-1}\left[y_1\right]\right]=y_1$ .

(g) $y_1\subseteq f\left[x_1\right]$ implica $f\left[f^{-1}\left[y_1\right]\right]=y_1$ .

Demostración: En vista de (d), solo queda demostrar que, si $y_1\subseteq f\left[x_1\right]$ , entonces $y_1\subseteq f\left[f^{-1}\left[y_1\right]\right]$ . Esto es fácil considerando que $f\left[x_1\right]$ solo contiene elementos que son imágenes, y por tanto esto también es cierto para $y 1$ , de modo que si $f(a)\in y_1$ , $a\in f^{-1}\left[y_1\right]$ , luego $f(a)\in f\left[f^{-1}\left[y_1\right]\right]$ , con lo que la prueba termina. QED

(h)] $f^{-1}\left[\mathcal{C}_{y}y_1\right]=\mathcal{C}_xf^{-1}\left[y_1\right]$ .

Demostración: Sea $a\in f^{-1}\left[\mathcal{C}_{y}y_1\right]$ . Así, existe $b\in\mathcal{C}_{y}y_1$ tal que $b = f (a)$ , pero en ese caso $b\notin y_1$ , de modo que $a\notin f^{-1}\left[y_1\right]$ , y con esto $a\in\mathcal{C}_xf^{-1}\left[y_1\right]$ . Solo falta demostrar que $\mathcal{C}_xf^{-1}\left[y_1\right]\subseteq f^{-1}\left[\mathcal{C}_{y}y_1\right]$ , lo que consiste de seguir los pasos anteriores en el sentido opuesto. QED

Si, en particular, $f$ es inyectiva, se cumple

(i) $f\left[\mathcal{C}_{x}x_1\right]\subseteq\mathcal{C}_{y}f\left[x_1\right]$ .

Demostración: Sea $b\in f\left[\mathcal{C}_{x}x_1\right]$ . Entonces, puesto que $f$ es inyectiva, existe un único $a\in\mathcal{C}_{x}x_1$ tal que $b = f (a)$ . Luego, $a\notin x_1$ , de modo que $b\notin f\left[x_1\right]$ , y así $b\in\mathcal{C}_{y}f\left[x_1\right]$ . QED

Debemos hacer énfasis en que el resultado anterior no se cumple para cualquier función $f$ a menos que esta sea inyectiva. Por ejemplo, si $f$ no es inyectiva, puede ser $a\notin x_1$ , pero esto no es suficiente para garantizar que $f(a)\notin f\left[x_1\right]$ , por que al no ser $f$ inyectiva, podría existir un $c\in x_1$ tal que $f (a) = f (c)$ , caso en el cual la imagen de $a$ está en $f\left[x_1\right]$ por que es la misma imagen de un elemento que si esta en $x 1$ .

Si, en particular, la función $f$ es sobreyectiva, tenemos

(j) $\mathcal{C}_{y}f\left[x_1\right]\subseteq f\left[\mathcal{C}_{x}x_1\right]$ .

Demostración: Si $b\in\mathcal{C}_{y}f\left[x_1\right]$ , tenemos que $b\notin f\left[x_1\right]$ , por lo que $b$ no tiene ningún antecedente en $x 1$ . Notemos que, por ser $f$ una sobreyección, $b$ tiene por lo menos un antecedente en $x$ . Sea $a$ cualquiera de estos antecedentes de $b$ , es decir, sea $b = f (a)$ . Tenemos que $a\in\mathcal{C}_{x}x_1$ , por lo que $b\in f\left[\mathcal{C}_{x}x_1\right]$ , lo que demuestra lo que se quería. QED

Si la función $f$ es biyectiva (es decir, si es tanto inyectiva como sobreyectiva), se cumple, en vista de (h) e (i), lo siguiente

(k) $f\left[\mathcal{C}_{x}x_1\right]=\mathcal{C}_{y}f\left[x_1\right]$ .

1.7.11. Sea $\{x\}_{i\in I}$ una familia de subconjuntos de un conjunto $x$ . Es común llamar simplemente unión de $\{x\}_{i\in I}$ a la unión de los conjuntos del rango de $\{x\}_{i\in I}$ , que se representa por $\bigcup_{i\in I}x_i$ y que se define (véase 1.3.4) naturalmente por

$\bigcup_{i\in I}x_i=\{a\mid\ \mathrm{existe}\ i\in I\ \mathrm{tal}\ \mathrm{que}\ a\in x_i\}$ .

1.7.12. Sea una función $f:x\longrightarrow y$ . Se cumplen:

(a) $f\left[\bigcup_{i\in I}x_i\right]=\bigcup_{i\in I}f[x_i]$ .

Demostración: Si $b\in f\left[\bigcup_{i\in I}x_i\right]$ , entonces existe al menos un $a\in\bigcup_{i\in I}x_i$ tal que $f (a) = b$ , y de esta manera $a\in x_i$ , y con ello $b\in f\left[x_i\right]$ , para almenos un $i\in I$ . Así, $b\in \bigcup_{x\in I}f\left[x_i\right]$ , lo que demuestra $f\left[\bigcup_{i\in I}x_i\right]\subseteq\bigcup_{i\in I}f\left[x_i\right]$ . Invertir todos los pasos de esta prueba para demostrar que $\bigcup_{i\in I}f\left[x_i\right]\subseteq f\left[\bigcup_{i\in I}x_i\right]$ se deja como ejercicio para el lector. QED

(b) $f^{-1}\left[\bigcup_{i\in I}y_i\right]=\bigcup_{i\in I}f^{-1}[y_i]$ .

La demostración se deja como ejercicio para el lector.

1.7.13. Por otra parte, la intersección de los conjuntos del rango de la familia $\{x\}_{i\in I}$ , que se representa por $\bigcap_{i\in I}x_i$ , se dice simplemente intersección de $\{x\}_{i\in I}$ . Así pues (véase 1.3.5),

$\bigcap_{i\in I}x_i=\{a\mid\mathrm{para}\ \mathrm{todo}\ i\in I,\quad a\in x_i\}$ .

1.7.14. Sea una función $f:x\longrightarrow y$ . Se cumplen

(a) $f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right]\subseteq\bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right]$ .

Demostración: Sea $b\in f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right]$ . Entonces existe $a\in\bigcap_{i\in I}x_i$ tal que $f (a) = b$ , con $a\in x_i$ para todo índice $i\in I$ . Por esta razón, $b\in f\left[x_i\right]$ para todo $i\in I$ , con lo que $b\in\bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right]$ . QED

(b) $f^{-1}\left[\bigcap_{i\in I}y_i\right]=\bigcap_{i\in I}f^{-1}\left[y_i\right]$ .

Demostración: Si $a\in f^{-1}\left[\bigcap_{i\in I}y_i\right]$ , $a$ es el antecedente de un único $b\in\bigcap_{i\in I}y_i$ , es decir, $b = f (a)$ . Pero si $b\in\bigcap_{i\in I}y_i$ , entonces $b\in y_i$ para todo índice $i\in I$ . Así $a\in f^{-1}\left[y_i\right]$ para todo $i\in I$ , luego $a\in\bigcap_{i\in I}f^{-1}\left[y_i\right]$ . Esto demuestra que $f^{-1}\left[\bigcap_{i\in I}y_i\right]\subseteq\bigcap_{i\in I}f^{-1}\left[y_i\right]$ . Demostrar que $\bigcap_{i\in I}f^{-1}\left[y_i\right]\subseteq f^{-1}\left[\bigcap_{i\in I}y_i\right]$ se deja como ejercicio al lector. QED

Si la función $f$ es además inyectiva, se cumple

(c) $f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right]=\bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right]$ .

Demostración: En vista de (a), solo queda demostrar que, en caso de que $f$ sea inyectiva, $\bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right]\subseteq f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right]$ . Para esto, sea $b\in\bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right]$ , de manera que $b\in f\left[x_i\right]$ para todo índice $i\in I$ . Puesto que $f$ es inyectiva, $b$ no es imagen más que de un único elemento a, y que, al ser $b\in f\left[x_i\right]$ para todo índice $i\in I$ , cumple con $a\in x_i$ para todo $i\in I$ , con lo que $a\in\bigcap_{i\in I}x_i$ . Así $b\in f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right]$ , lo que demuestra lo que se quería. QED

Resaltamos que el enunciado (c) se cumple solo en caso de que la función $f$ sea inyectiva. La razón es que un elemento $a$ puede no estar en $x i$ para todo $i\in I$ , y sin embargo, puede que su imagen $b = f (a)$ si esté en todos los conjuntos $f\left[x_i\right]$ debido a que es la imagen de algún otro elemento contenido en los conjuntos $x i$ que no tienen a $a$ . Por ejemplo, supóngase $a$ , cuya imagen es $b$ , no está en $x i$ para algún $i\in I$ , pero que este conjunto $x i$ contiene otro elemento $c$ cuya imagen es también $b$ , de tal manera que $b\in f\left[x_i\right]$ para cualquiera que sea el índice $i\in I$ sin necesidad de que $a\in x_i$ para todo $i\in I$ . En ese caso (cuando $f$ es no inyectiva) tenemos

$f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right]\subset\bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right]$ .

1.7.15. La función $\mathrm{id}_x:x\longrightarrow x$ dada por

id x (a) = a

para todo $a\in x$ , y que por tanto envía cada elemento de $x$ consigo mismo, se llama función identidad.

Es claro que, siendo $f:x\longrightarrow y$ ,

$\mathrm{id}_x\circ f=f$ y $f\circ\mathrm{id}_y=f$ .

Si $f:x\longrightarrow x$ , esto se reduce a

$f\circ\mathrm{id}_x=\mathrm{id}_x\circ f=f$ .

1.7.16. Sean $x$ e $y$ dos conjuntos y considérese una función $f:x\longrightarrow y$ . Sea $x'$ un subconjunto de $x$ . La función $f|_{x'}:x'\longrightarrow y$ dada por

f | x' (a) = f (a)

se dice restricción de $f$ a $x'$ . Esto es,

$f|_{x'}=f\cap(x'\times y)$ ,

por lo que la restricción de $f$ a $x'$ es una función que resulta de 'recortar' el dominio de $f$ . Es claro que $f|_{x'}\subseteq f$ .

1.7.17. Sea $x$ un conjunto y $x 1$ un subconjunto de $x$ . La aplicación

$i:x_1\longrightarrow x$

dada por

i (a) = a

e.i. la restricción $\mathrm{id}_x|_{x_1}$ , se llama inyección canónica de $x 1$ en x.

1.7.18. Sea $f:x\longrightarrow y$ una aplicación de un conjunto $x$ en otro $y$ , y sea $g:y\longrightarrow z$ una aplicación de $y$ en un conjunto $z$ . La aplicación

$f\circ g:x\longrightarrow z$

dada por

$(f\circ g)(x)=g(f(x))$

se dice composición de $f$ y $g$ . Esto es, $f\circ g$ resulta de aplicar $f$ seguida de $g$ , por lo que si $f$ envía un elemento $a\in x$ con un elemento $b\in y$ y $g$ envía a $b\in y$ con un elemento $c\in z$ , entonces $f\circ g$ envía directamente el elemento $a\in x$ con el elemento $c\in z$ (Refiérase a la figura de abajo).

$f\circ g$

1.7.19. Sean las funciones $f:x\longrightarrow y$ , $g:y\longrightarrow z$ y $h:z\longrightarrow v$ . Tenemos que $f\circ(g\circ h) = (f\circ g)\circ h$ . Para convencernos de ello es suficiente ver que

$(f\circ(g\circ h))(a)=h(g(f(a)))$

y que

$((f\circ g)\circ h)(a)=h(g(f(a)))$ .

1.7.20 Si $f:x\longrightarrow y$ es una función biyectiva, puede definirse la función $f - 1$ , llamada función inversa de $f$ , por

$(b,a)\in f^{-1}$ si y solo si $(a,b)\in f$ .

Es decir,

f - 1 (b) = a

si y solo si

f (a) = b

1.7.21 Es inmediato que

(f - 1) - 1 = f

1.7.22. Además, se observa que

$(f\circ f^{-1})(a)=f^{-1}(f(a))=a$

$(f^{-1}\circ f)(b)=f(f^{-1}(b))=b$ ,

por lo que

$f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_x$ y $f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_y$ .

Si $f:x\longrightarrow x$ , esto se simplifica a

$f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_x$ .

1.7.23. Nótese también que, siendo $f:x\longrightarrow y$ ,

$f^{-1}\circ\mathrm{id}_x=f^{-1}\quad\mathrm{y}\quad\mathrm{id}_y\circ f^{-1}$ .

1.7.24. Es claro que $f - 1$ existe cuando $f$ es biyectiva. Además la función inversa de una función es única. Para probar esto, supóngase que $f_{1}^{-1}$ y $f_2^{-1}$ son dos funciones inversas de una función $f:x\longrightarrow y$ . Entonces

$f_1^{-1}\circ (f\circ f_2^{-1})=f_1^{-1}\circ\mathrm{id}_x=f_1^{-1}$ ,

$(f_1^{-1}\circ f)\circ f_2^{-1}=\mathrm{id}_y\circ f_2^{-1}=f_2^{-1}$ ,

y por tanto $f_1^{-1}=f_2^{-1}$ .

1.7.25. Sean las funciones $f:x\longrightarrow y$ y $g:y\longrightarrow z$ . Entonces

$(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$ .

En efecto, pues $(f\circ g)^{-1}$ es función inversa de $f\circ g$ , y

$g^{-1}\circ f^{-1}\circ (f\circ g) = g^{-1}\circ (f^{-1}\circ f)\circ g$

con lo que $g^{-1}\circ f^{-1}$ es también función inversa de $f\circ g$ , y así $g^{-1}\circ f^{-1}$ y $(f\circ g)^{-1}$ han de ser la misma función (pues la inversa de cualquier función es única). Otra forma de demostrar que $(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$ es el argumento siguiente: Sea $(c,a)\in (f\circ g)^{-1}$ . Se sigue que $(a,c)\in (f\circ g)$ , y de esto que $c = g (b)$ para un $b\in y$ tal que $b = f (a)$ , o sea que $(b,c)\in g$ y $(a,b)\in f$ , de modo que $(c,b)\in g^{-1}$ y $(b,a)\in f^{-1}$ , y por tanto $(c,a)\in g^{-1}\circ f^{-1}$ . Esto prueba que $(f\circ g)^{-1}\subseteq g^{-1}\circ f^{-1}$ , y probar que $g^{-1}\circ f^{-1}\subseteq(f\circ g)^{-1}$ resulta de recorrer todos los pasos anteriores de forma invertida.

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