Teoría de conjuntos/Teoría intuitiva de conjuntos/Funciones

De Wikilibros, la colección de libros de texto de contenido libre.
Saltar a: navegación, buscar

1.7.1. Sean x e y dos conjuntos cualesquiera. Cualquier subconjunto f del producto cartesiano x\times y que cumpla

( F-1 ) para todo a\in x existe b\in y tal que (a,b)\in f y

( F-2 )  (a,b)\in f y  (a,c)\in f implica b=c,

se dice función de x en y. Para indicar que f es una función de un conjunto x en otro y, es común escribir f:x\longrightarrow y.


1.7.2. Sean dos conjuntos x e y, y sea f:x\longrightarrow y una función de x en y. Si (a,b)\in f se dice que a es antecedente de b por medio de f, y que b es imagen de a por medio de f. Por definición, un elemento a\in x no puede tener ni más ni menos que una sola imagen b\in y, que representaremos por f(a) (de modo que b=f(a) si y solo si (a,b)\in f). El conjunto x se dice dominio de la función f, y se representa comúnmente por \mathrm{dom}(f) , mientras que el subconjunto y'\subseteq y tal que para todo b\in y' existe a\in x tal que b=f(a) (i.e. el subconjunto de y que contiene solo las imágenes de los elementos de x por medio de f) se dice rango de la función f, y se representa por \mathrm{ran} (f) .


1.7.3. Claramente dos funciones f:x\longrightarrow y y g:x\longrightarrow y son iguales si y solo si


f(a)=g(a)


para todo a\in x.


1.7.4. Tenemos también que si x e y son dos conjuntos, y si f:x\longrightarrow y es cualquier función de x en y, entonces f\subseteq x\times y, y así f\in\mathcal{P}(x\times y). Luego, si F es el conjunto de todas las funciones f:x\longrightarrow y, F\subseteq\mathcal{P}(x\times y), de modo que F\in\mathcal{PP}(x\times y).


1.7.5. Sea y un conjunto cualquiera, y sea f:\varnothing\longrightarrow y. Claramente f=\varnothing.


1.7.6. Sea x un conjunto. La función


\{x\}_{i\in I}:I\longrightarrow\mathcal{P}(x),


que envía un elemento i de I con un subconjunto de x, se denomina familia de subconjuntos de x indicada por I. El conjunto I se denomina en este caso conjunto de índices (por lo que cada i\in I se dice un índice), y la imagen de cualquier i\in I por medio de esta función se representa por x_i.


Por ejemplo, considérese el conjunto


x=\{a,b,c,d\},


y el conjunto de índices I=\{m,n,o,p\}. Existen varias familias de subconjuntos de x indicadas por I. Una de estas puede ser la función


\{x\}_{i\in I}:I\longrightarrow\mathcal{P}(x) ,


dada por


x_m=\{a\},\quad x_n=\{a,b\},\quad x_o=\{a,b,c\},\quad x_p=\{a,b,c,d\}.


Otra puede ser la que viene dada por


x_m\{a\},\quad x_n=\{b\},\quad x_o=\{c\},\quad x_p=\{d\}.


1.7.7. Sea la función f:x\longrightarrow y de un conjunto x en otro y; Si

(F-3) para cualesquiera a\in x y b\in x,\quad f(a)=f(b) implica a=b,

es decir, si cualesquiera distintos elementos de x tienen distintas imágenes en y, se dice que f es una función inyectiva o que es una inyección.

Si

(F-4) para todo b\in y existe a\in x tal que b=f(a) ,

es decir, si \mathrm{ran}(f)=y (i.e. si todo b\in y es imagen), se dice que f es una función sobreyectiva (o suprayectiva), que es una función de x sobre y, o que es una sobreyección.

(F-5) Una función que es a la vez inyectiva y sobreyectiva se dice función biyectiva o biyección.


1.7.8. Sea f:x\longrightarrow y, y sea x_1 un subconjunto de x (i.e. un elemento de \mathcal{P}(x) ). El conjunto f(x')\subseteq y dado por


f\left[x_1\right]=\{b\in y\mid existe a\in x_1 tal que b=f(a)\},


se dice imagen del subconjunto x_1 por f. Es decir, f\left[x_1\right] es el conjunto de todos los b\in y que son imagen de algún elemento de x_1. Así pues,


f\left[x_1\right]\subseteq\mathrm{ran}(f)


y, en particular,


f\left[x\right]= \mathrm{ran}(f) .


Nótese que, si a\in x, entonces


f\left[\{a\}\right]=\{f(a)\}


es un conjunto con un solo elemento, a saber, la imagen de a por f.


1.7.9. Por otra parte, si y_1\subseteq y, entonces se define el conjunto f^{-1}\left[y_1\right] por


f^{-1}\left[y_1\right]=\{a\in x\mid f(a)\in y_1\},


y se llama a este conjunto imagen recíproca de y_1 por f. Así pues,


f^{-1}\left[y_1\right]\subseteq x.


Puesto que todo elemento de x tiene una imagen en y, tenemos que, como caso particular,


f^{-1}\left[y\right]=x.


Sin embargo, debemos tener presente que, si bien f\left[\{a\}\right] , donde a\in x, siempre es un conjunto con un solo elemento, el conjunto f^{-1}\left[\{b\}\right] con b\in y puede ser vacío, ya que la definición de función no garantiza que todo elemento de y tenga un antecedente en x. Sin embargo esto si esta garantizado cuando f es sobreyectiva, de modo que, en ese caso, el conjunto


f^{-1}\left[\{b\}\right]


contiene cualquier elemento de x cuya imagen sea b. Si f es además inyectiva, entonces f es biyectiva, de modo que b es la imagen de solo un elemento a de x, y así f^{-1}\left[\{b\}\right] contiene solo a tal elemento a.


1.7.10. Veamos ahora algunas propiedades generales de las funciones. Para esto definimos una función f:x\longrightarrow y y dos familias \{x\}_{i\in I} e \{y\}_{j\in J} de subconjuntos de x e y respectivamente. Convenimos también en que x_1, x_2 e y_1, y_2 representan, respectivamente, subconjuntos de x y subconjuntos de y.

Tenemos que

(a) x_1\subseteq x_2 implica f\left[x_1\right]\subseteq f\left[x_2\right] .

Demostración: Sea pues x_1\subseteq x_2. Si b\in f\left[x_1\right] , entonces, por definición (véase ¿?), existe a\in x_1 tal que b=f(a) , pero en tal caso a\in x_2, pues x_1\subseteq x_2, de modo que b\in f\left[x_2\right] . QED

(b) y_1\subseteq y_2 implica f^{-1}\left[y_1\right]\subseteq f^{-1}\left[y_2\right] .

Demosracón: Si a\in f^{-1}\left[y_1\right] , entonces f(a)\in y_1, puesto que y_1\subseteq y_2, se tiene f(a)\in y_2, luego a\in f^{-1}\left[y_2\right] , y así f^{-1}\left[y_1\right]\subseteq f^{-1}\left[y_2\right] . QED


(c) x_1\subseteq f^{-1}\left[f\left[x_1\right]\right] .

Demostración: Sea a\in x_1. La imagen de a por f, f(a) , está en el conjunto f\left[x_1\right], y así a\in f^{-1}\left[f\left[x_1\right]\right] . QED


Si, en particular, la función f es inyectiva, entonces

(d) x_1=f^{-1}\left[f\left[x_1\right]\right] .



(e) f\left[f^{-1}\left[y_1\right]\right]\subseteq y_1.


Demostración: Si b\in f\left[f^{-1}\left[y_1\right]\right] , entonces b es la imagen de algún a\in f^{-1}\left[y_1\right] , y así b\in y_1. QED


Si, en particular, f es sobreyectiva, entonces

(f) f\left[f^{-1}\left[y_1\right]\right]=y_1.

(g) y_1\subseteq f\left[x_1\right] implica f\left[f^{-1}\left[y_1\right]\right]=y_1.

Demostración: En vista de (d), solo queda demostrar que, si y_1\subseteq f\left[x_1\right] , entonces y_1\subseteq f\left[f^{-1}\left[y_1\right]\right] . Esto es fácil considerando que f\left[x_1\right] solo contiene elementos que son imágenes, y por tanto esto también es cierto para y_1, de modo que si f(a)\in y_1, a\in f^{-1}\left[y_1\right] , luego f(a)\in f\left[f^{-1}\left[y_1\right]\right] , con lo que la prueba termina. QED

(h)] f^{-1}\left[\mathcal{C}_{y}y_1\right]=\mathcal{C}_xf^{-1}\left[y_1\right] .

Demostración: Sea a\in f^{-1}\left[\mathcal{C}_{y}y_1\right] . Así, existe b\in\mathcal{C}_{y}y_1 tal que b=f(a) , pero en ese caso b\notin y_1, de modo que a\notin f^{-1}\left[y_1\right], y con esto a\in\mathcal{C}_xf^{-1}\left[y_1\right]. Solo falta demostrar que \mathcal{C}_xf^{-1}\left[y_1\right]\subseteq f^{-1}\left[\mathcal{C}_{y}y_1\right] , lo que consiste de seguir los pasos anteriores en el sentido opuesto. QED


Si, en particular, f es inyectiva, se cumple

(i) f\left[\mathcal{C}_{x}x_1\right]\subseteq\mathcal{C}_{y}f\left[x_1\right] .

Demostración: Sea b\in f\left[\mathcal{C}_{x}x_1\right] . Entonces, puesto que f es inyectiva, existe un único a\in\mathcal{C}_{x}x_1 tal que b=f(a) . Luego, a\notin x_1, de modo que b\notin f\left[x_1\right] , y así b\in\mathcal{C}_{y}f\left[x_1\right] . QED

Debemos hacer énfasis en que el resultado anterior no se cumple para cualquier función f a menos que esta sea inyectiva. Por ejemplo, si f no es inyectiva, puede ser a\notin x_1, pero esto no es suficiente para garantizar que f(a)\notin f\left[x_1\right] , por que al no ser f inyectiva, podría existir un c\in x_1 tal que f(a)=f(c) , caso en el cual la imagen de a está en f\left[x_1\right] por que es la misma imagen de un elemento que si esta en x_1.


Si, en particular, la función f es sobreyectiva, tenemos

(j) \mathcal{C}_{y}f\left[x_1\right]\subseteq f\left[\mathcal{C}_{x}x_1\right].

Demostración: Si b\in\mathcal{C}_{y}f\left[x_1\right] , tenemos que b\notin f\left[x_1\right] , por lo que b no tiene ningún antecedente en x_1. Notemos que, por ser f una sobreyección, b tiene por lo menos un antecedente en x. Sea a cualquiera de estos antecedentes de b, es decir, sea b=f(a) . Tenemos que a\in\mathcal{C}_{x}x_1, por lo que b\in f\left[\mathcal{C}_{x}x_1\right] , lo que demuestra lo que se quería. QED


Si la función f es biyectiva (es decir, si es tanto inyectiva como sobreyectiva), se cumple, en vista de (h) e (i), lo siguiente

(k) f\left[\mathcal{C}_{x}x_1\right]=\mathcal{C}_{y}f\left[x_1\right].


1.7.11. Sea \{x\}_{i\in I} una familia de subconjuntos de un conjunto x. Es común llamar simplemente unión de \{x\}_{i\in I} a la unión de los conjuntos del rango de \{x\}_{i\in I}, que se representa por \bigcup_{i\in I}x_i y que se define (véase 1.3.4) naturalmente por


\bigcup_{i\in I}x_i=\{a\mid\ \mathrm{existe}\ i\in I\ \mathrm{tal}\ \mathrm{que}\ a\in x_i\}.


1.7.12. Sea una función f:x\longrightarrow y. Se cumplen:

(a) f\left[\bigcup_{i\in I}x_i\right]=\bigcup_{i\in I}f[x_i].

Demostración: Si b\in f\left[\bigcup_{i\in I}x_i\right], entonces existe al menos un a\in\bigcup_{i\in I}x_i tal que f(a)=b, y de esta manera a\in x_i, y con ello b\in f\left[x_i\right], para almenos un i\in I. Así, b\in \bigcup_{x\in I}f\left[x_i\right], lo que demuestra f\left[\bigcup_{i\in I}x_i\right]\subseteq\bigcup_{i\in I}f\left[x_i\right]. Invertir todos los pasos de esta prueba para demostrar que \bigcup_{i\in I}f\left[x_i\right]\subseteq f\left[\bigcup_{i\in I}x_i\right] se deja como ejercicio para el lector. QED

(b) f^{-1}\left[\bigcup_{i\in I}y_i\right]=\bigcup_{i\in I}f^{-1}[y_i].

La demostración se deja como ejercicio para el lector.

1.7.13. Por otra parte, la intersección de los conjuntos del rango de la familia \{x\}_{i\in I}, que se representa por \bigcap_{i\in I}x_i, se dice simplemente intersección de \{x\}_{i\in I}. Así pues (véase 1.3.5),


\bigcap_{i\in I}x_i=\{a\mid\mathrm{para}\ \mathrm{todo}\ i\in I,\quad a\in x_i\}.


1.7.14. Sea una función f:x\longrightarrow y. Se cumplen

(a) f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right]\subseteq\bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right].

Demostración: Sea b\in f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right]. Entonces existe a\in\bigcap_{i\in I}x_i tal que f(a)=b, con a\in x_i para todo índice i\in I. Por esta razón, b\in f\left[x_i\right] para todo i\in I, con lo que b\in\bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right]. QED

(b) f^{-1}\left[\bigcap_{i\in I}y_i\right]=\bigcap_{i\in I}f^{-1}\left[y_i\right].

Demostración: Si a\in f^{-1}\left[\bigcap_{i\in I}y_i\right], a es el antecedente de un único b\in\bigcap_{i\in I}y_i, es decir, b=f(a). Pero si b\in\bigcap_{i\in I}y_i, entonces b\in y_i para todo índice i\in I. Así a\in f^{-1}\left[y_i\right] para todo i\in I, luego a\in\bigcap_{i\in I}f^{-1}\left[y_i\right]. Esto demuestra que f^{-1}\left[\bigcap_{i\in I}y_i\right]\subseteq\bigcap_{i\in I}f^{-1}\left[y_i\right]. Demostrar que \bigcap_{i\in I}f^{-1}\left[y_i\right]\subseteq f^{-1}\left[\bigcap_{i\in I}y_i\right] se deja como ejercicio al lector. QED


Si la función f es además inyectiva, se cumple

(c) f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right]=\bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right].

Demostración: En vista de (a), solo queda demostrar que, en caso de que f sea inyectiva, \bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right]\subseteq f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right]. Para esto, sea b\in\bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right], de manera que b\in f\left[x_i\right] para todo índice i\in I. Puesto que f es inyectiva, b no es imagen más que de un único elemento a, y que, al ser b\in f\left[x_i\right] para todo índice i\in I, cumple con a\in x_i para todo i\in I, con lo que a\in\bigcap_{i\in I}x_i. Así b\in f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right], lo que demuestra lo que se quería. QED


Resaltamos que el enunciado (c) se cumple solo en caso de que la función f sea inyectiva. La razón es que un elemento a puede no estar en x_i para todo i\in I, y sin embargo, puede que su imagen b=f(a) si esté en todos los conjuntos f\left[x_i\right] debido a que es la imagen de algún otro elemento contenido en los conjuntos x_i que no tienen a a. Por ejemplo, supóngase a, cuya imagen es b, no está en x_i para algún i\in I, pero que este conjunto x_i contiene otro elemento c cuya imagen es también b, de tal manera que b\in f\left[x_i\right] para cualquiera que sea el índice i\in I sin necesidad de que a\in x_i para todo i\in I. En ese caso (cuando f es no inyectiva) tenemos


f\left[\bigcap_{i\in I}x_i\right]\subset\bigcap_{i\in I}f\left[x_i\right].


1.7.15. La función \mathrm{id}_x:x\longrightarrow x dada por


\mathrm{id}_x(a)=a


para todo a\in x, y que por tanto envía cada elemento de x consigo mismo, se llama función identidad.


Es claro que, siendo f:x\longrightarrow y,


\mathrm{id}_x\circ f=f y f\circ\mathrm{id}_y=f.


Si f:x\longrightarrow x, esto se reduce a


f\circ\mathrm{id}_x=\mathrm{id}_x\circ f=f.


1.7.16. Sean x e y dos conjuntos y considérese una función f:x\longrightarrow y. Sea x' un subconjunto de x. La función f|_{x'}:x'\longrightarrow y dada por


f|_{x'}(a)=f(a),


se dice restricción de f a x'. Esto es,


f|_{x'}=f\cap(x'\times y),


por lo que la restricción de f a x' es una función que resulta de 'recortar' el dominio de f. Es claro que f|_{x'}\subseteq f.


1.7.17. Sea x un conjunto y x_1 un subconjunto de x. La aplicación


i:x_1\longrightarrow x


dada por


i(a)=a,


e.i. la restricción \mathrm{id}_x|_{x_1}, se llama inyección canónica de x_1 en x.


1.7.18. Sea f:x\longrightarrow y una aplicación de un conjunto x en otro y, y sea g:y\longrightarrow z una aplicación de y en un conjunto z. La aplicación


f\circ g:x\longrightarrow z


dada por


 (f\circ g)(x)=g(f(x))


se dice composición de f y g. Esto es, f\circ g resulta de aplicar f seguida de g, por lo que si f envía un elemento a\in x con un elemento b\in y y g envía a b\in y con un elemento c\in z, entonces f\circ g envía directamente el elemento a\in x con el elemento c\in z (Refiérase a la figura de abajo).

f\circ g


1.7.19. Sean las funciones f:x\longrightarrow y, g:y\longrightarrow z y h:z\longrightarrow v. Tenemos que f\circ(g\circ h) = (f\circ g)\circ h. Para convencernos de ello es suficiente ver que


(f\circ(g\circ h))(a)=h(g(f(a)))


y que


((f\circ g)\circ h)(a)=h(g(f(a))).


1.7.20 Si f:x\longrightarrow y es una función biyectiva, puede definirse la función f^{-1}, llamada función inversa de f, por


(b,a)\in f^{-1} si y solo si (a,b)\in f.


Es decir,


f^{-1}(b)=a si y solo si f(a)=b.

1.7.21 Es inmediato que

(f^{-1})^{-1}=f.


1.7.22. Además, se observa que


 (f\circ f^{-1})(a)=f^{-1}(f(a))=a


y


(f^{-1}\circ f)(b)=f(f^{-1}(b))=b,


por lo que


f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_x y f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_y.


Si f:x\longrightarrow x, esto se simplifica a


f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_x.


1.7.23. Nótese también que, siendo f:x\longrightarrow y,


f^{-1}\circ\mathrm{id}_x=f^{-1}\quad\mathrm{y}\quad\mathrm{id}_y\circ f^{-1}.


1.7.24. Es claro que f^{-1} existe cuando f es biyectiva. Además la función inversa de una función es única. Para probar esto, supóngase que f_{1}^{-1} y f_2^{-1} son dos funciones inversas de una función f:x\longrightarrow y. Entonces

f_1^{-1}\circ (f\circ f_2^{-1})=f_1^{-1}\circ\mathrm{id}_x=f_1^{-1},

y

(f_1^{-1}\circ f)\circ f_2^{-1}=\mathrm{id}_y\circ f_2^{-1}=f_2^{-1},

y por tanto f_1^{-1}=f_2^{-1}.

1.7.25. Sean las funciones f:x\longrightarrow y y g:y\longrightarrow z. Entonces


(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}.


En efecto, pues (f\circ g)^{-1} es función inversa de f\circ g, y


g^{-1}\circ f^{-1}\circ (f\circ g) = g^{-1}\circ (f^{-1}\circ f)\circ g
                                  = g^{-1}\circ\mathrm{id}_y\circ g
                                  = (g^{-1}\circ\mathrm{id}_y)\circ g
                                  = g^{-1}\circ g
                                  =\mathrm{id}_y,

con lo que g^{-1}\circ f^{-1} es también función inversa de f\circ g, y así g^{-1}\circ f^{-1} y (f\circ g)^{-1} han de ser la misma función (pues la inversa de cualquier función es única). Otra forma de demostrar que (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1} es el argumento siguiente: Sea (c,a)\in (f\circ g)^{-1}. Se sigue que (a,c)\in (f\circ g), y de esto que c=g(b) para un b\in y tal que b=f(a), o sea que (b,c)\in g y (a,b)\in f, de modo que (c,b)\in g^{-1} y (b,a)\in f^{-1}, y por tanto (c,a)\in g^{-1}\circ f^{-1}. Esto prueba que (f\circ g)^{-1}\subseteq g^{-1}\circ f^{-1}, y probar que g^{-1}\circ f^{-1}\subseteq(f\circ g)^{-1} resulta de recorrer todos los pasos anteriores de forma invertida.


Capítulo anterior: Producto cartesiano Capítulo siguiente: Relaciones