Matemáticas Bachillerato LOGSE/Funciones y fórmulas trigonométricas

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La trigonometría (griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> medida la medición de los triángulos). La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para ello se vale de las funciones o razones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Tabla de contenidos

[editar] Circunferencia goniométrica

La circunferencia geométrica es una herramienta muy útil a la hora de visualizar y definir razones trigonométricas de ángulos cualesquiera.

Se trata de una circunferencia de radio 1, en ella se dibujan los ángulos de la siguiente forma:

  • El vertice en el origen de coordenadas.
  • Uno de sus lados en el eje de las x.
  • El otro lado se coloca donde corresponda, y se miden los ángulos en sentido contrario a las agujas del reloj.

La circunferencia goniométrica se divide en cuatro partes, denominadas cada una de ellas como cuadrantes. Como se verá más adelante, dependiendo en el cuadrante que nos encontremos, tanto el seno, coseno como la tangente tomaran un valor positivo o negativo.

[editar] Seno y coseno de un angulo entre 0 y 360 grados

Fijemonos en la figura. Si situamos un ángulo cualquiera \phi\to (\cos\phi,\ \sin \phi) son las coordenadas del punto en que el lado corta la circunferencia goniométrica.

Nota: Recordemos que \sin^2\phi+\cos^2\phi=1\,\!

Si miramos la figura veremos que se cumple que:

\sin \left \{ \begin{matrix} \mbox{arriba} \to + \\ \mbox{abajo}\to - \end{matrix} \right .
\cos \left \{ \begin{matrix} \mbox{derecha} \to + \\ \mbox{izquierda}\to - \end{matrix} \right .

[editar] Tangente de un ángulo entre 0 y 360 grados

Si trazamos una recta t tangente al punto U de la circunferencia, ya podemos representar gráficamente la tangente. Cojamos ahora un ángulo cualquiera prolonguemos el segundo lado hasta que corte a t por un punto T. La tangente del ángulo es la longitud del segmento UT, con el signo que le toque.

Los angulos 90 y 270 grados no tienen tangente

[editar] Ángulos de medidas cualesquiera

La motivación de este apartado no es otra que dar respuesta a la pregunta ¿cual es el seno de 420^\circ?

Si hacemos 420^\circ-360^\circ=60^\circ esto quiere decir que 420 es una vuelta entera y 60 grados. Con esta sencilla operación se definen todos los angulos posibles

[editar] Ángulos negativos

Si a 310 le restamos 360 obtenemos -50. Es decir 310 puede expresarse como -50. Es más, normalmente los ángulos que estan por debajo del eje de las x se escriben con una medida negativa, es decir que todos los ángulos posibles se suelen escribir con valores comprendidos entre -180 y 180 grados

[editar] Ejemplo

Escribir con valores comprendidos entre -180 y 180 estos ángulos

748^\circ \to


748\,\!

360\,\!
28\,\! 2\,\!


\to 748^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 28^\circ = 28^\circ



1703^\circ \to


1703\,\!

360\,\!
263\,\! 4\,\!


\to 1703^\circ = 4 \cdot 360^\circ + 263^\circ = 263^\circ

[editar] Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos

Esto que viene ahora es tremendamente útil, y no sólo para ahora. No es necesario aprenderlas de memoria porque si las razonas un par de veces las visualizarás sin pensar

[editar] Ángulos opuestos: x y -x

imagen por hacer

\sin(-x)=-\sin x\,\!

\cos (-x)=\cos x\,\!

\tan(-x)=-\tan x\,\!

[editar] Ángulos que difieren 180 grados

imagen por hacer

\sin(x+180^\circ)=-\sin x\,\!

\cos (x+180^\circ)=-\cos x\,\!

\tan(x+180^\circ)=\tan x\,\!

[editar] Ángulos complementarios: x y 90-x

imagen por hacer

\sin(90^\circ-x)=\cos x\,\!

\cos (90^\circ-x)=\sin x\,\!

\tan(90^\circ-x)=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\tan x}

--> 1/tg x = cotg x

[editar] Ángulos que difieren en 90 grados:x y x+90

imagen por hacer

\sin(90^\circ+x)=\cos x\,\!

\cos (90^\circ+x)=-\sin x\,\!

\tan(90^\circ+x)=\frac{\cos x}{-\sin x}=\frac{-1}{\tan x}

[editar] Ángulos suplementarios

imagen por hacer

\sin(180^\circ-x)=\sin x\,\!

\cos (180^\circ-x)=-\cos x\,\!

\tan(180^\circ-x)=-\tan x\,\!

[editar] Una nueva unidad para medir ángulos: el radian

¿De dónde vienen los grados como forma de medir los ángulos? Resulta que los Babilonios creian que el año duraba 360 días, entonces el arco recorrido en un día era un grado. Y esta forma de medición ha durado hasta nuestros días.

Sin embargo el radian aporta algunas ventajas y por eso es interesante conocerlo

[editar] Visualización de un radian

imagen por hacer

  1. Coge un vaso o cualquier objeto cilíndrico. Apoyalo sobre un papel y dibuja su contorno (es decir una circumferencia).
  2. Localiza el centro de la circunferencia (dibuja dos sementos haz las mediatrices y donde se corten ese es el centro.
  3. Coge una cuerda y pon el extremo en el centro y marca con un rotulador el punto donde coincida con la circunferencia.
  4. Vuelve a poner el vaso en la circunferencia y enrolla la cuerda en el, marca en la circunferencia los dos puntos señalados en la cuerda.
  5. Dibuja los radios correspondientes a los dos puntos y ya tienes un radian. Midelo si quieres y verás que son aproximadamente 57º

[editar] Definición formal

Llamamos radián a aquel ángulo tal que el arco que abarca tiene la misma longitud que el radio del arco.

[editar] Conversión radian-grado grado-radian

Una circunferencia tiene una longidud de 2 \pi r\,\! y un radian mide r es decir en una circunferencia caben 2 \pi\,\! radianes. A su vez en una circunferencia caben 360º. Es decir que:

360^\circ=2 \pi \ \mbox{ radianes}

Paso de grados a radianes: \alpha \ \mbox{ grados} = \frac {2\pi}{360} \cdot \alpha \ \mbox{ radianes}

Paso de radianes a grados: n \ \mbox{ radianes}=\frac{360}{2\pi} \cdot n \ \mbox{ grados}

El valor de un radian es: \frac{360}{2\pi}=\frac{180}{3,141592654} \approx 57^\circ \ \ 17^\prime \ \ 44,81^{\prime\prime}

[editar] Utilidad de los radianes

Al nivel en que nos encontramos "solamente" sirven para las funciones trigonométricas, no obstante la utilidad del radian es indiscutible para muchas otras cosas que no podremos explicar aquí.

Sin embargo su utilidad es fundamental para problemas tanto matemáticos como para problemas de física, en el tema de la dinámica.

Su utilidad ha servido mucho a la ciencia, su uso es solamente para circunferencías, círculos, y la mayoría de líneas curvas, pues siempre los radianes y los grados han estado correlacionados.

[editar] Calculadora

[editar] Funciones circulares

Vamos a dibujar unas funciones que para cada ángulo expresado en radianes nos den un valor para y:

imagen por hacer

imagen por hacer

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[editar] Fuciones circulares definidas en todo \mathbb{R}

imagen por hacerComo ya hemos visto un ángulo de 400º es igual a uno de 40º uno de 410º equivale a uno de 50, etc. por lo tanto las funciones circulares son periodicas.

imagen por hacer

imagen por hacer

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[editar] Fórmulas trigonométricas

[editar] Ecuaciones trigonométricas

Una ecuación trigonométrica es la que contiene expresiones trigonométricas. Si una ecuación trigonométrica no es una identidad, a menudo se hallan soluciones aplicando técnicas semejantes a las usadas para ecuaciones algebraicas. La diferencia principal es que primero se resuelve la ecuación trigonométrica para y así sucesivamente, y luego se hallan los valores de que la satisfagan. Las soluciones pueden expresarse como números reales o ángulos.

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