Física/Lo que aprendí leyendo a Feynman - Electromagnetismo/El campo eléctrico en diversas situaciones

En este capítulo estudiaremos cómo se comporta el campo eléctrico ante algunas circunstancias diferentes. Esto nos dará cierta experiencia en el comportamiento del campo eléctrico, y describiremos algunos métodos matemáticos que se emplean para encontrar este campo.

Ecuaciones del potencial electrostático

Para empezar, toda la cuestión matemática del problema queda resuelto cuando encontramos la solución de tan solo dos ecuaciones...¿cuales?...pues las ecuaciones de Maxwell para la electrostática!...ya que todo fenómeno electromagnético queda completamente descrito con las cuatro ecuaciones de Maxwell.

Las ecuaciones de Maxwell para la electrostática son:

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

(1)

${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=0$

(2)

Cuando tenemos un campo vectorial cuyo rotor es cero, como en la segunda ecuación, el campo es igual al gradiente de alguna función escalar, como lo vimos en el capítulo cálculo integral vectorial.

${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\Phi$

(3)

Como podemos escribir cualquier campo eléctrico en términos de su potencial φ, obtenemos la ecuación diferencial que debe satisfacer φ al sustituirlo en la primera ecuación, lo que nos da:

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\Phi =-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

(4)

La divergencia del gradiente de φ es lo mismo que $\nabla ^{2}$ operando sobre φ:

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\Phi =\nabla ^{2}\Phi ={\partial ^{2}\Phi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\Phi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\Phi \over \partial z^{2}}$

(5)

Por lo que podemos escribir la ecuación (4) en la forma:

$\nabla ^{2}\Phi =-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

(6)

El operador $\nabla ^{2}$ se llama laplaciano y la ecuación (6) se llama ecuación de Poisson. De esta manera toda la electrostática es, desde el punto de vista matemático, un estudio de las soluciones de esa única ecuación (6). Una vez obtenido φ resolviendo esa ecuación podemos hallar ${\vec {E}}$ inmediatamente, usando (3).

Si conocemos ρ en todo punto, el potencial en un punto (1) es:

$\Phi (1)=\int _{V}{\frac {\rho (2)dV_{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{\rm {12}}^{2}}}$

(7)

Hay que tener muy en cuenta la solución anterior porque hay muchas situaciones en la física que dan lugar a ecuaciones como:

$\nabla ^{2}\;(algo)=(algo\;m{\acute {a}}s)$

y la ecuación (7) es un prototipo de solución para cualquiera de estos problemas.

La resolución de los problemas de campo electrostático es completamente directa cuando se conoce la posición de todas las cargas.

El dipolo eléctrico

Para empezar tomemos dos cargas puntuales, +q y -q, a una distancia $2a$. Tomemos el eje $y$ pasando por las cargas con el origen a la mitad del camino entre ambas, como muestra la fugura e imaginando un eje $z$ perpendicular a $x$ y $y$ para extenderlo al espacio tridimencional:

Dipolo eléctrico

Como ya lo vimos en el capítulo de Electrostática sabemos que el potencial φ en un punto (1) está dado por:

$\Phi (1)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{n}{\frac {q_{n}}{r_{n}}}\,\!$

luego el potencial de las dos cargas es dado por:

$\Phi (x,y,z)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left\lbrack {\frac {q}{{\left[{(y-a)}^{2}+x^{2}+z^{2}\right]}^{\frac {1}{2}}}}+{\frac {-q}{{\left[{(y+a)}^{2}+x^{2}+z^{2}\right]}^{\frac {1}{2}}}}\right\rbrack$

Y así es como queda resuelto el problema de dos cargas, ya que podemos calcular el campo eléctrico rápidamente porque ya hemos visto un montón de veces que es el negativo del gradiente del potencial.

Llamamos dipolo al par de cargas que están muy juntas una de la otra, o sea, donde la distancia entre de estas dos cargas es insignificante frente al punto donde estamos calculando el campo.

Si hay un campo eléctrico en cualquier material, los electrones y los protones experimentan fuerzas opuestas y se desplazan unos respecto a otros. En un conductor algunos electrones se mueven hasta la superficie de modo que el campo es cero en el interior. En un aislante los electrones no se pueden alejar mucho; están retenidos por la atracción del núcleo; sin embargo sí se corren un poquito. Así pues, aunque un átomo, o una molécula, siga siendo neutro en un campo eléctrico externo, hay una pequeñísima separación entre las cargas positivas y negativas por lo que se convierte en un dipolo microscópico. Si estamos interesados en los campos de estos dipolos atómicos en las cercanías de objetos de tamaño ordinario, estamos considerando distancias grandes frente a la separación de los dos pares de cargas.

Figura 2. La molécula de agua, $H_{2}O$. Los átomo de hidrógeno tienen un poco menos de lo que les corresponde de la nube electrónica; el oxígeno un poco más.

En algunas moléculas las cargas están un poco separadas aun en ausencia de campos externos debido a la forma de la molécula. En una molécula de agua, por ejemplo, hay una carga negativa neta sobre el átomo de oxígeno y una carga positiva neta sobre cadaq uno de los dos átomos de hidrógeno, los cuales no están colocados simétricamente sino como en la figura 2. Aunque la carga total de la molécula sea cero, hay una distribución de carga con un poco más de carga negativa de un lado y un poco más de carga positiva del otro. La disposición no es tan simple como con dos cargas puntuales, pero si lo vemos desde muy lejos, entonces el sistema se comporta como un dipolo.

Volvamos entonces a la primera figura. Examinemos el campo de dos cargas opuestas, como en la primer figura, pero donde la distancia 2a sea muy crecana a cero...pero no cero, porque de ser así entonces las dos cargas estarían una sobre la otra, los dos potenciales se compensarían y no habría campo. Entonces asumiendo distancias cercanas a cero, usemos los términos lineales del desarrollo de los términos de la ecuación anterior en serie de potencias, entonces

$(y-a)^{2}\approx y^{2}-2ay$

Como

${\color {Black}x^{2}}+{\color {Black}y^{2}}+{\color {Black}z^{2}}=r^{2}$

Por lo tanto

$(y-a)^{2}+x^{2}+z^{2}\approx r^{2}-2ay=r^{2}\left(1-{\frac {2ay}{r^{2}}}\right)$

y

${\frac {1}{\sqrt {(y-a)^{2}+x^{2}+z^{2}}}}\approx {\frac {1}{r}}\left(1-{\frac {2ay}{r^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}$

Usando nuevamente el desarrollo del binomio para este último término, y despresiando términos con potencias mayores al cuadrado de d, obtenemos

${\frac {1}{r}}\left(1+{\frac {ay}{r^{2}}}\right)$

Análogamente, con el segundo término del segundo miembro de la ecuación que encontramos para el potencial de las dos cargas (ecuación 8...después de la 7), hacemos lo mismo y obtenemos, como era de esperarse...

${\frac {1}{r}}\left(1-{\frac {ay}{r^{2}}}\right)$

La diferencia de estos dos términos da para el potencial:

haciendo

$2a\equiv d$

$\Phi (x,y,z)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {y}{r^{3}}}qd$

(9)

Entonces, el potencial, y por lo tanto el campo (su derivada) en proporcional a ${\color {black}}qd$, el producto de la carga por la separación. Pero este producto tiene nombre, es el momento dipolar de las dos cargas y lo denotamos por $p$:

${\color {Black}p}={\color {Black}q}{\color {Black}d}$

(10)

Figura 3. Momento dipolar

Dándole carácter vectorial, ${\vec {p}}$ lo definimos como una magnitud vectorial con módulo igual al producto de la carga q por la distancia que las separa d, cuya dirección es la recta que las une, y cuyo sentido va de la carga negativa a la positiva:

${\vec {p}}=q\cdot {\vec {d}}$

Potencial de un dipolo:

Sea ${\hat {e_{r}}}$ el vector unitario en dirección de ${\vec {r}}$

$\Phi (r)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {{\vec {p}}\cdot {\hat {e_{r}}}}{r^{2}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}}{r^{3}}}$

(11)

Esta fórmula es válida para un dipolo con orientación y posición cualesquiera si ${\vec {r}}$ representa el vector desde el dipolo al punto de interés. Es fácil obtener el campo eléctro en este punto, tomemos el gradiente de φ, digamos por ejemplo la componente z del campo, o sea $-{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}$. Para un dipolo orientado según el eje y podemos usar la ecuación número (9):

$-{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}=E_{y}={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {3cos^{2}\theta -1}{r^{3}}}$

(12)

Las componentes en $x$ y $y$ son

$E_{x}={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {3yx}{r^{5}}},\qquad E_{z}={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {3yz}{r^{5}}}$

(13)

La evolución de la intensidad de campo eléctrico oscilante de un dipolo eléctrico. El dipolo se encuentra en (60,60) en el gráfico, oscilando en 1 rad / s (~ 0,16 Hz) en la dirección vertical.

Podemos convinar las ecuaciones anteriores para dar una componente perpendicular al eje $y$, a la cual llamaremos componente transversal $E\perp$

Campo eléctrico de un dipolo

Entonces

$E\perp ={\sqrt {E_{x}^{2}+E_{z}^{2}}}={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {3y}{r^{5}}}{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}$

O bien,

$E\perp ={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {3cos\theta sen\theta }{r^{3}}}$

La componente transversal $E\perp$ está en el plano $x-z$ y está orientada alejándose del eje del dipolo. El campo total es:

$E={\sqrt {E_{y}^{2}+E^{2}\perp }}$

El campo de un dipolo varía con la inversa del cubo de la distancia al dipolo. Sobre el eje, para $\theta =0$ es el doble de intenso que para $\theta$ =90°. Para estos ángulos especiales el campo sólo tiene componente $y$ pero de signos opuestos en ambos lados.

Comentarios sobre ecuaciones vectoriales

Hay que tratar por todos los medios de aprovecharnos de que las ecuaciones vectodiales son independientes de cualquier sistema de coordenadas. Como en el ejemplo anterior que nos facilitamos la vida tomando el eje $y$, siempre hay que tratar de elegir los ejes de la manera más conveniente.

Cuando estemos tratando de calcular la divergencia de un vector, en lugar de examinar simplemente ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}$ no hay que olvidar qque podemos siempre desarrollarlo en la forma

${\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial {E_{y}}}{\partial y}}+{\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}.$

Si pueden calcular las componentes $x,y,z$ del campo eléctrico y las derivadas, tendrán la divergencia. A veces parece que se tiene la impresión de que hay algo inelegante -una especie de fracaso- al escribir explícitamente las componentes; de algún modo siempre habría una manera de hacerlo todo con los operadores vectoriales. Muchas veces no se gana nada con eso. La primera vez que encontramos una clase particular de problemas, por lo común es conveniente escribir explícitamente las componentes para asegurarnos de que comprendemos lo que pasa. No es nada inelegante sustituir símbolos igeniosos por derivadas. Por el contrario, muchas veces el hacerlo revela inteligencia. Por supuesto que cuando publiquen un trabajo en una revista profesional tendrá mejor aspecto -y se comprenderá más fácilmente- si escriben todo en forma vectorial. Además se ahorra impresión.

El potencial de un dipolo como gradiente

Podemos escribir la ecuación del dipolo (11) como sigue:

$\Phi =-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\vec {p}}\cdot {\vec {\nabla }}\left({\frac {1}{r}}\right)$

(14)

Hay una razón física para poder escribir el potencial del dipolo como en (14). Para ver esto supongamos que tenemos una carga $q$ en el origen, el potencial en el punto $P$ en $(x,y,z)$ es

$\Phi _{0}\propto {\frac {q}{r}}$

si movemos la carga $+q$ a una distancia $\Delta z$ el potencial en $P$ cambiaría un poco, en $\Delta \Phi _{+}$ digamos. Pues cambiaría de la mima manera que si hubiéramos movido a $P$ hacia abajo la misma distancia que movimos $q$ hacia arriba, dicho de otra forma:

$\Delta \Phi _{+}=-{\frac {\partial \Phi _{0}}{\partial z}}\Delta z$

donde por $\Delta z$ entendemos lo mismo que ${\frac {d}{2}}$, (o, como antes $a$...es lo mismo, ${\color {black}2a}=d$). Por tanto usando $\Phi ={\frac {q}{r}}$ tenemos que el potencial de la carga positiva es

$\Phi _{+}={\frac {q}{r}}-{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {q}{r}}\right){\frac {d}{2}}$

(15)

Igual, hacemos lo mismo con $\Phi _{-}$, entonces tenemos:

$\Phi _{-}={\frac {-q}{r}}-{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {-q}{r}}\right){\frac {d}{2}}$

(16)

Y pues el potencial total es la suma de los dos potenciales, que es:

$\Phi _{+}+\Phi _{-}=-{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {1}{r}}\right)qd$

(17)

Ahora, generalizando, llamaremos $\Delta {\vec {r}}_{+}$ al desplazamiento de la carga positiva, y entonces la ecuación (17) se convertiría en

$\Phi =-{\vec {\nabla }}\left({\frac {1}{r}}\right)\cdot {\vec {d}}q.$

$\Phi =-{\vec {p}}\cdot {\vec {\nabla }}\Phi _{0}$

(18)

donde $\Phi _{0}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r}}$

Siepre podemos encontrar el potencial de una distribución de carga por integración, pero es mejor (para ahorrarnos tiempo) pensar en otra forma de hacerlo, por ejemplo cuando podemos recurrir al principio de superposició...podemos recurrir a él, por ejemplo cuando se nos da una distribución de carga que se puede costruir a partir de la suma de dos contribuciones para las que ya se conoce el potencial, y pues al sumar el potencial conocido ya obtenemos el que queremos.

Un ejemplo:

Supongamos que enemos una superfície esférica con una distribución superficial que varía con el coseno del angulo polar. Ahora, imaginemos una linda esfera con carga superficial positiva y uniforme en su volumen, y otra con la misma densidad uniforme pero negativa en su volumen, al principio, si las sobreponemos constituyen una esfera neutra. Y si después de esto se desplaza un poquito la esfera positiva respecto a la negativa, el lugar de la intersección sigue siendo neutro, pero ahora aparecerá carga positiva de un lado y carga negativa del otro. Si el desplazamiento relativo a las dos esferas es pequeño, la carga neta va a ser equivalente a una carga superficial, y entonces la densidad de carga superficial será proporcional al coseno del ángulo polar.

Sabemos que el potencial es el mismo, para cada una de las cargas -para puntos exteriores- el mismo que el de una carga puntual. Las dos esferas desplazadas son como dos cargas puntuales...de hecho son como el dipolo!

Entonces una distribución de carga sobre una esfera de radio $a$, con una densidad de carga

${\color {black}\sigma }=\sigma _{0}\cos \theta$

Produce un campo fuera de la esfera que es el de un dipolo cuyo momento es

$p={\frac {4\pi \sigma _{0}a^{3}}{3}}.$

Y el campo, que es constante, es

$E={\frac {\sigma _{0}}{3\epsilon _{0}}}$

Si $\theta$ es el ángulo a partir del eje $z$, el campo eléctrico dentro de la esfra está en la dirección $z$ negativa.

La aproximación dipolar para una distribución arbitraria

Ahora vamos a calcular el potencial debido a una distribución fea de carga en un punto $P$ muy lejos de la misma.

Cálculo del potencial en el punto P a una distancia muy grande de un conjunto de cargas

Como se ve en la figura, vamos a consiferar que cada carga $q_{i}$ está a una distancia ${\vec {d_{i}}}$ del origen, y que $r_{i}$ es la distancia entre $P$ y la carga $q_{i}$.

El potencial de todo el conjunto está dado por

$\Phi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{i}{\frac {q_{i}}{r_{i}}}$,

(19)

Entonces, si consideramo que el punto $P$ está a una distancia enorme entonces podemos decir que cada uno de los $r_{i}$ es aproximadamente igual a $R$, entonces tenemos lo siguiente:

$\Phi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{R}}\sum q_{i}={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}R}}$,

(20)

donde $Q$ es la carga total del objeto.

Y pues obtenemos lo que esperábamos, que a una distancia tan grande, el conjunto de cargas parece como una carga puntual.

Ahora podemos preguntarnos lo que pasa cuando la carga es neutra, cuando se compensan el número de cargas positivas y negativas la carga total es cero. Las cargas no están unas sobre otras, es decir, si nos acercamos mucho deberíamos de persivir los efectos de las cargas separadas. La ecuación (19) sigue funcionando bien, pero la ecuación (20) empiza a fallar, porque no podemos decir simplemente $r_{i}=R$; entonces necesitamos una mejor aproximación. Si observamos la imagen, la proyección ortogonal de ${\vec {d_{i}}}$ sobre ${\vec {R}}$ es presisamente lo que le "sobra" a ${\vec {R}}$ para ser como ${\vec {r_{i}}}$, entonces lo que vamos a hacer es restarle esta parte. Tomemos por ejemplo un vector con norma uno y en la dirección de ${\vec {R}}$, digamos ${\hat {e}}_{r}$. Entonces podemos ver de la figura que la proyección ortogonal de ${\vec {d_{i}}}$ sobre ${\vec {R}}$ es (imaginando un ángulo θ entre ${\vec {d_{i}}}$ y ${\vec {R}}$) $|{\vec {d_{i}}}|cos\theta$. Al calcular el producto interno ${\vec {d_{i}}}\cdot {\hat {e}}_{r}=d_{i}cos\theta$, entonces de esta manera aproximamos a $r_{i}$ así

$r_{i}\approx R-{\vec {d_{i}}}\cdot {\hat {e_{r}}}$

(21)

Como supusimos que $P$ está muy pero muy lejos de la distribución de carga, entonces $d_{i}\ll R$ y podemos escribir ${\frac {1}{r_{i}}}$ como

${\frac {1}{r_{i}}}\approx {\frac {1}{R}}\left(1+{\frac {{\vec {d_{i}}}\cdot {\hat {e_{r}}}}{R}}\right)$

(22)

Ahora sustituimos esta ecuación en la (19) para obtener el potencial

$\Phi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {Q}{R}}+\sum _{i}q_{i}{\frac {{\vec {d_{i}}}\cdot {\hat {e_{r}}}}{R^{2}}}+...\right)$

(23)

Definimos

${\vec {p}}=\sum q_{i}{\vec {d_{i}}}$

(24)

Como propiedad de la distribución de la carga, el segundo término del potencial (23) es

$\Phi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {{\vec {p}}\cdot {\hat {e_{r}}}}{R^{2}}}$

(25)

exactamente un potencial dipolar.

Los campos dipolares son importantes, más que por el caso simple de un par de cargas puntuales (que es complentamente raro), porque lejos de cualquier distribución complicada de cargas (que es neutra en conjunto), el potencial es un potencial de dipolo.

Campos de conductores cargados

¿Cómo podríamos saber cómo se han distribuido las cargas en una superficie si se ha colocado una carga total $Q$ sobre un conductor arbitrario? Lo que queremos es decir exactamente dónde están las cargas...se diseminarán de alguna forma sobre la superficie. Éstas deberán distribuirse de tal forma que el potencial en la superficie sea constante. Para resolverlo podríamos hacer una conjetura sobre la distribución y calcular el potencial y si éste es constante en toda la superficie, ya está; pero si la superficie no es equipotencial entonces usamos una distribución de carga que no servía y hay que hacer otra conjetura...pero no es tan buena idea porque esto puede seguir indefinidamente.

Matemáticamente es difícil estimar esta distribución. Por supuesto que la naturaleza tiene tiempo de hacerlo; las cargas andan al tira y afloja hasta que se equilibran. Pero cuando tratamos de resolver el problema nos lleva mucho tiempo hacer cada prueba que el método es más bien aburrido. Si escogemos un grupo de conductores y cargas arbtrarios el problema puede ser muy complicado y por lo general no se puede resolver sin métodos numéricos bastante elaborados. Pero para nuestros días, esos cálculos numéricos se preparan para una computadora que hace nuestro trabajo una vez indicado cómo proceder.

Pero hay montones de pequeños casos prácticos donde sería bueno poder encontrar la respuesta con un método más directo. Hay una cantidad de casos donde se puede obtener la respuesta exprimiéndola de la naturaleza por medio de algún ardid.

El método de las imágenes

Líneas de campo y equipotenciales de dos cargas puntuales

La figura de la derecha trata de mostrar algunas de las líneas de campo y superficies equipotenciales que se obtuvieros con los cálculos del capítulo 5. Vamos a considerar la superficie equipotencial marcada con $A$. Ahora vamos a suponer que tenemos una hoja fina de metal y le damos la forma de esta superficie. Si la colocamos exactamente sobre la superficie y ajustamos su potencial al valor apropiado, parecería que es exactamente la misma porque nada cambiaría.

Hemos resuelto un problema nuevo. Tenemos la situación de que a una superficie de un conductor curvado se le coloca cerca de una carga puntual a un potencial determinado. Si llegara a cerrarse sobre sí misma la hoja de metal que en la superficie equipotencial colocamos, tendremos el tipo de situación que consideramos en el capítulo anterior. Allí encontramos que los campos en las dos regiones son completamente independientes uno del otro. O sea que tendríamos los mismo campos fuera de nuestro conductor curvo no importando lo que haya dentro. En el espacio exterior el campo es como el de dos cargas puntuales. Dentro del conductor es cero. Inmediatamente fuera del conductor el campo es normal a la superficie.

Por lo tanto podemos calcular el campo debido a $q$ y a una carga imaginaria llamada $-q$ en el punto apropiado. La carga puntual que imaginamos que existe detrás de la superfici conductora se llama carga imagen.

La carga puntual cerca de un plano conductor

Tenemos un plano a la mitad del camino entre dos cargas (imaginen un plano justo en el centro de la figura anterior), y como sucede esto, el plano tiene potencial cero. Ya hemos resuelto el problema de una carga positiva cerca de una hoja conductora a tierra.

${\vec {E}}$ es paralelo al diferencial de superficie $d{\vec {S}}$

Además de nuestra carga puntual positiva hay cargas negativas inducidas sobre la hoja conductora que han sido atraídas por las positivas. Si queremos saber cómo están distribuidas las cargas negativas sobre la superficie; primero podemos hayar la densidad superficial de carga usando Gauss. La componente normal del campo eléctrico inmediatamente fuera de un conductor es igual a la densidad de carga superficial ${\color {black}\sigma }$ dividida por ${\color {black}\epsilon _{0}}$; y como conocemos el campo en todo punto podemos hayar la densidad de carga en cualquier punto de la superficie trabajando hacia atrás a partir de la componente normal del campo eléctrico en la superficie.

Imaginemos un punto de la superficie a una distancia ρ del punto directamente de la carga positiva. La componente del campo de la carga puntual normal a la superficie es

$E_{\rm {n+}}=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {aq}{(a^{2}+\rho ^{2})^{\frac {3}{2}}}}$

(26)

Hay que agregarle el campo eléctrico producido por la carga imagen negativa. Esto duplica la componente normal, y entonces la densidqa de carga σ es cualquier punto de la superficie es

$\sigma (\rho )=\epsilon _{0}E(\rho )=-{\frac {2aq}{4\pi (a^{2}+\rho ^{2})^{\frac {3}{2}}}}$

(27)

¿Hay alguna fuerza sobre la carga puntual?...así es, porque hay una atracción de la carga superficial inducida sobre la placa.

La carga puntual experimenta una fuerza cuyo módulo es

$F={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q^{2}}{(2a)^{2}}}$

(28)

Y encontrar la fuerza fue mucho más fácil que integrando sobre todas las cargas negativas.

La carga puntual cerca de una esfera conductora

Imaginemos una esfera metálica cerca de la cual hay una esfera puntual $q$. Hay que encontrar los campos alrededor de ella. Vamos a resolver este problema, como el anterior, buscando soluciones que ya obtubieron antes y ajustándolo al nuestro.

Esfera carga

El campo de dos cargas puntuales desiguales tiene una equipotencial que es una esfera...¡Ajá! Si elegimos la hubicación de una carga imagen tal vez podamos lograr hacer que la superficie equipotencial se ajuste a unestra esfera.

Supongamos que queremos que la superficie equipotencial sea una esfera de radio $a$ con su centro a una distancia $b$ de la carga $q$. Ahora vamos a poner una carga imagen de valor $q'=-q({\frac {a}{b}})$ en la línea de la carga al centro de la esfera y a una distancia ${\frac {a^{2}}{b}}$ del centro. La esfera estará a potencial cero.

Si $r_{2}$ va de $q'$ a un punto $P$ en la superficie de la esfera, y $r_{1}$ va de $P$ a $q$, entonces el potencial en $P$ debido a $q$ y a $q'$ es proporcional a

${\frac {q}{r_{1}}}+{\frac {q'}{r_{2}}}$

y entonces el potencial va a ser cero para todos los puntos para los que

${\frac {q'}{r_{2}}}=-{\frac {q}{r_{1}}}\qquad o\qquad {\frac {r_{2}}{r_{1}}}=-{\frac {q'}{q}}$

Si ponemos a $q'$ a ${\frac {a^{2}}{b}}$ de distancia al centro, el cociente ${\frac {r_{1}}{r_{2}}}$ tiene valor constante ${\frac {a}{b}}$. Además, si

${\frac {q'}{q}}=-{\frac {a}{b}}$

(29)

la esfera es una equipotencial, y de hecho su potencial es cero.

Si ahora tenemos una esfera conductora aislada y descargada y le acercamos una carga positiva $q$, la carga total de la esfera sigue siendo cero. La solución otra vez se encuentra usando una carga imagen $q$ como antes, pero además una carga $q''$ en el centro de la esfera, eligiendo

$q''=-q'={\frac {a}{b}}q$

(30)

En todos los puntos exteriores de la esfera los campos están dados por la superposición de campos de $q$,$q'$ y $q''$. El problema está resuelto.

Deben estarse preguntando de dónde proviene la atracción entre la esfera y la carga puntual $q$, ya que no es cero aunque no haya carga sobre la esfera neutra...pues cuando se acerca una carga positiva a una esfera conductora, la carga positiva atrae las cargas negativas hacia el lado más cercano a ella y deja cargas positivas sobre la superficie más alejada. La atracción d las cargas negativas excede la repulsión de las cargas positivas; hay una atracción resultante.

Condensadores; las placas paralelas

Consideremos ahora dos placas paralelas y que esten separadas por una distancia muy chiquita en comparación con su ancho, en estas cargas también se han puesto corgas iguales pero opuestas. Las cargas tendrán densidades superficiales $+\sigma$ y $-\sigma$ respectivamente, como se muestra en la figura. Por conocimientos expuestos anteriormente (de hecho en el capítulo 5) sabemos que el campo entre las placas es ${\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}$ y fuera es cero. Llamemos $V$ a la diferencia de potenciales entre las cajas, que respectivamente son $\phi _{1}$ y $\phi _{2}$, o sea

$\phi _{1}-\phi _{2}=V$

como $V$ es el trabajo por unidad de carga que se necesita para llevar una pequeña carga desde una placa hasta otra, por lo que

$V=Ed={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}d={\frac {d}{\epsilon _{0}A}}Q$

(31)

donde $\pm Q$ la carga total de cada placa, $A$ el área de las mismas y $d$ la separación.

El volvate (diferencia de potencial) es proporcional a la carga. ¿Por qué?, Simplemente por el principio de superposición. Lo podemos escribir así

$Q=CV,$

donde $C$ es constante. A este cociente de proporcionalidad se le llama capacidad y ese sistema de dos conductores se llama condensador. Para nuestro caso

$C={\frac {\epsilon _{0}A}{d}}\qquad (placas\ paralelas)$

(32)

Esto no es exacto porque qel campo en realidad no es uniforme en todo punto de las placas.

En muchas aplicaciones en circuitos electrónicos, es útil tener algo que pueda absorber grandes cantidades de carga sin variar mucho el potencial. Es presisamente lo que un condensador (o capacitor) hace.

$\epsilon _{0}\approx {\frac {1}{36\pi \times 10^{9}}}\,\!$ farad/metro

De acuerdo a la definición de $C$, vemos que su unidad es coulomb/volt, a esto también se le conoce como farad. Los tamaños típicos de los condensadores van desde un micromicrofarad (=1 picofarad) a los milifarad. Un par de placas de un centímetro cuadrado de superficie a una distancia de un milímetro tiene una capacidad de aproximadamente un microfarad.

Enlaces externos

• Electric Fields Applet - Un applet que muestra las líneas de campo eléctrico, así como los gradientes de potencial.
• Fields -un capítulo de un libro de texto en línea.
• Learning by Simulations Simulación interactiva de un campo eléctrico de hasta cuatro cargas puntuales.