Física/Lo que aprendí leyendo a Feynman - Electromagnetismo/Aplicaciónes de la Ley de Gauss

Aplicaciones de la Ley de Gauss

Existen dos leyes fundamentales de las cuales se obtienen todas las predicciones de la electrostática: la que dice que el flujo de un campo eléctrico de un volumen es proporcional a la carga dentro (conocida como Ley de Gauss) y la que dice que la circulación de un campo eléctrico es cero. Aquí las tenemos en su forma diferencial

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=0$

Equilibrio

Consideremos tres cargas negativas en las esquinas de un triángulo equilátero en un plano horizontal, si ponemos una carga positiva en el centro, ¿Qué pasara con ésta carga? ¿Permanecerá ahí? Es claro que la fuerza neta es cero, pero, ¿la carga está en un punto de equilibrio estable? La respuesta es no, no hay puntos de equilibrio estable en ningún campo eléctrico, excepto justo en los puntos donde se encuentran las otras cargas.

La ley de Gauss nos explica fácilmente porqué: primero, para que una carga se encuentre en equilibrio en un punto, digamos P, el campo debe ser cero; segundo, como el equilibrio debe ser estable, requerimos que si movemos un poco la carga de P, exista una fuerza que la regrese al punto P, pero esto no es posible de acuerdo a ley de Gauss. Para que el punto P sea de equilibrio estable, necesitamos que el campo apunte hacia P. Imaginemos una superficie que encierra al punto, claramente el flujo debe ser un número negativo, pero como no tenemos carga dentro de la superficie, el flujo es ser cero, por lo tanto, no es posible balancear una carga positiva en el espacio vacío. El mismo razonamiento funciona para el caso de un arreglo de muchas carga.

Ahora ya sabemos que no hay punto de equilibrio estable en un campo eléctrico debido a un sistema de cargas fijas, pero, ¿Qué pasa con un sistema de conductores cargados? ¿Pueden producir un campo con puntos de equilibrio estable? Ya sabemos que las cargas se mueven libremente en la superficie de los conductores, podemos pensar entonces que quizá al mover un poco la carga, las cargas en la superficie del conductor se muevan de manera que produzcan fuerzas restauradoras; pero no, no es así. Veamos porqué: primero recordemos que la fuerza es el negativo del gradiente del potencial, ahora notemos que cuando las cargas se redistribuyen en la superficie de los conductores, sólo pueden hacerlo si su movimiento reduce su energía total, un poco de energía se pierde en forma de calor. Si las cargas que producen el campo son estacionarias, existe cerca de cualquier punto cero en el campo una dirección hacia la cuál, si movemos la carga, disminuimos la energía del sistema, entonces cualquier reajuste de las cargas del conductor solo disminuye aun más la energía potencial del sistema, incrementando la fuerza en esa dirección particular, alejando aún más la carga en vez de regresarla al punto de equilibrio.

Esto no significa que es imposible balancear una carga en un campo eléctrico, esta puede ser sostenida en un punto por campos eléctricos si es que estos son variables, pero no en el caso de campos estacionarios.

Los átomos.

Una vez, tratando de describir la configuración atómica, Thomson propuso un modelo en el que sugería que la carga positiva de un átomo estaba distribuida uniformemente en una esfera y que los electrones estarían fijos distribuidos en la esfera como pasas en un pan con pasas. Pero Rutherford concluyó, a partir de los experimentos de Geiger y Marsden que la carga positiva estaba más concentradas, como en un núcleo. Como consecuencia de esto el modelo de Thompson tuvo que ser abandonado.

Rutherford y Bohr sugirieron entonces que el equilibrio debía ser dinámico, con los electrones girando en órbitas alrededor del núcleo, pero existe un problema con esta explicación, nosotros ya sabemos que este movimiento en circulo es acelerado, por lo que el electrón debería estar radiando energía, y cayendo en espiral hacia el núcleo. Éste modelo resulta ser también inestable.

Ahora, la estabilidad del átomo es explicada por la mecánica cuántica. La fuerza eléctrica atrae al electrón tanto como puede hacia el núcleo, pero el electrón esta obligado a mantenerse a cierta distancia dada por el principio de incertidumbre. Si el electrón fuera confinado a un espacio muy muy pequeño, su momento sería muy grande, y con ello vendría asociada una gran energía esperada, lo que le permitiría al electrón escapar de la atracción eléctrica. El resultado es un equilibrio eléctrico.

Aplicaciones de la ley de Gauss

La ley de Gauss puede ser usada para resolver problemas de campo eléctrico que involucran una simetría especial, que puede ser esférica, cilíndrica o plana. Revisaremos los tres casos:

1) Simetría cilíndrica:

Supongamos que tenemos un alambre cargado que se extiende en todo el espacio, desde -infinito hasta +infinito. Primeramente observamos que la única componente del campo que tenemos es la radial, las otras componentes se cancelan entre ellas debido a la simetría. Consideremos ahora un superficie cilíndrica coaxial que envuelva al alambre.

De acuerdo a Gauss, el campo eléctrico es igual a la carga que encierra la superficie, dividida por $\epsilon _{0}$ . Como el campo es normal a la superficie, la magnitud del campo es igual a la componente radial, y nos podemos olvidar del producto punto. Entonces tenemo:

$\oint {\vec {\mathbf {E} }}.{\vec {ds}}=\mathbf {E} \oint ds={\frac {Q}{\epsilon _{0}}}$

Llamemos r al radio del cilindro, y por conveniencia, tomemos su longitud como una unidad. El flujo a través del cilindro es E veces el área del cilindro, que es 2 $\pi$ r. El flujo a través de las bases es cero porque no tenemos campo en la dirección tangencial. La carga total dentro de la superficie es solo $\lambda$ porque la longitud del alambre dentro es una unidad. Entonces:

$E*2\pi r={\frac {\lambda }{\epsilon _{0}}}$

$E={\frac {\lambda }{2\pi \epsilon _{0}r}}$

Vemos que el campo eleétrico de una línea infinita de carga depende del inverso de la distancia desde la línea de carga.

2) Simetría Plana:

Ahora calcularemos el campo de un plano infinito cargado. Suponemos que la carga por unidad de área es $\sigma$ . Considerando la simetría del plano, podemos ver que la dirección del campo es normal al plano, y que, si estuviéramos en el vacío, el campo sería el mismo a cada lado del plano. Esta vez elegiremos una caja rectangular como superficie gaussiana. Las caras laterales tienen misma área A y como el campo es normal al plano, solo tenemos flujo a través de estas caras. El flujo total será entonces el campo eléctrico por dos veces el área:

$E*2A={\frac {\sigma A}{\epsilon _{0}}}$

$E={\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}$

¡La magnitud del campo no depende de la distancia al plano!

El problema de los dos planos paralelos con iguales pero opuestas en signo densidades de carga es simple si asumimos que el mundo exterior es simétrico. Superponiendo la solución para cada campo de las laminas nos podemos dar cuanta que el campo fuera de los planos es cero y que entre los planos es $\sigma /\epsilon _{0}$

3) Simetría Esférica:

Archivo:Esferacargada.jpg

Esfera con densidad de carga uniforme

Buscaremos cuál es el campo eléctrico dentro de una esfera de radio R uniformemente cargada, con densidad de carga $\rho$ por unidad de volumen. Asumimos, por cuestiones de simetría que el campo es radial e igual en magnitud en todos los puntos equidistantes del centro. Para encontrar el campo a una distancia r menor a R del centro tomamos una superficie gaussiana esférica. El flujo a través de esa superficie es:

${\frac {4\pi r^{2}E}{1}}$

y la carga dentro de la superficie gaussiana es:

${\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho$

Usando Gauss encontramos que el campo esta dado por:

$E={\frac {\rho r}{3\epsilon _{0}}}(r<R)$

El campo eléctrico resulta ser proporcional al radio.

Los Conductores

Un conductor eléctrico es un material que contiene muchos electrones libres. Estos electrones se pueden mover libremente en el conductor, pero no pueden abandonarlo, ya que para ello requieren mayor energía. Cualquier campo eléctrico pondrá en movimiento muchos de estos electrones, que, para el caso de electrostática, se detendrán solo hasta que el campo dentro del conductor sea cero. El caso de la corriente producida por los electrones no se considera ahora.

Consideremos ahora el interior de un material conductor. Como es un conductor, el campo eléctrico es cero, lo que implica que el potencial es constante, por lo que cualquier conductor es una región equipotencial. A partir de la ley de Gauss, podremos concluir que la carga dentro de un conductor es cero. Toda la carga se localiza justo en la superficie del conductor, donde hay fuerzas que no les permiten dejar el material. Vemos también que el campo eléctrico justo afuera del conductor solo tiene componente normal, ya que si tuviera una pequeña componente tangencial, esta provocaría que los electrones se muevan a lo largo de la superficie; no tenemos fuerzas que prevengan eso. Dicho de otro modo, los campo eléctricos son normales en las superficies equipotenciales.

Ahora sabemos que el campo dentro de un conductor es cero, pero, ¿Qué pasa si tenemos una cavidad dentro del conductor? Si la cavidad esta vacia, no existen campos dentro de ésta, sin importar la forma de la cavidad ni del conductor. Si consideramos una superficie que encierra la cavidad, Gauss nos garantiza que la carga neta dentro de esta es cero (debido a que el campo es cero). Pero podríamos tener el caso de cargas positivas y negativas equilibradas entre sí, produciendo carga neta cero. Lo que realmente pasa es que las cargas iguales con signo opuesto de deslizan para encontrarse y cancelarse totalmente. Esto lo podemos ver utilizando la ley que nos dice que, en electrostática, la circulación del campo eléctrico a través de cualquier curva cerrada es cero. Supongamos que tenemos igual número de cargas negativas y positivas en la superficie de la cavidad, y tomemos una curva que cruce tanto la cavidad como una parte del interior del conductor. Esta curva va de una carga positiva a una negativa. La integral sobre la línea que va de la carga positiva a la negativa definitivamente no es cero, y la parte que cruza el conductor si es cero. Ahora, ¿Es la integral sobre la curva cerrada diferente de cero? Existe una ley que nos dice que esta integral es cero, por lo que no puede habar campos dentro de la cavidad. Si hubiera una carga dentro de la cavidad, si podemos tener campo eléctricos. Hemos visto que si tenemos una cavidad completamente cerrada por un conductor, ninguna distribución de cargas estáticas puede producir campos dentro de la cavidad. Este principio es usado para proteger los equipos de campos eléctricos colocándolos dentro de un recipiente de metal. Un dispositivo así es conocido como Jaula de Faraday.

¿Es el campo de un punto de carga exactamente ${\frac {1}{r^{2}}}$ ?

Archivo:Cascaronesferico.jpg

El campo eléctrico dentro de un cascarón esférico es cero.

Si analizamos con detalle como es que el campo eléctrico dentro de un cascaron esférico se hace cero, podremos darnos cuenta claramente porque la Ley de Gauss es cierta solo porque la fuerza de Coulomb depende exactamente del inverso del cuadrado de la distancia. Consideremos un punto dentro de una esfera uniforme cargada e imaginemos unos conos como se muestra en la figura. A partir de la geometría se puede demostrar la siguiente relación:

${\frac {\Delta a_{2}}{\Delta a_{1}}}={\frac {r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}}$

Si la esfera esta uniformemente cargada, la carga $\Delta q$ en cada uno de los elementos de área es proporcional al área, así:

${\frac {\Delta a_{2}}{\Delta a_{1}}}={\frac {\Delta q_{2}}{\Delta q_{1}}}$

Entonces, la ley de Coulomb dice que las magnitudes de los campos producidos en el punto debido a estos dos elementos de area están a razón:

${\frac {E_{2}}{E_{1}}}={\frac {q_{2}/r_{2}^{2}}{q_{1}/r_{1}^{2}}}=1$

Observamos que los campos se cancelan, y como podemos acomodar en parejas todas las partes de la superficie, podemos concluir que el campo dentro del cascarón esférico es cero.

Se han hecho experimentos que han demostrado que la ley de Coulomb sigue siendo valida hasta ordenes de $10^{(}-13)$ cm. Para ordenes menores, ¡la fuerza eléctrica parece ser 10 veces más débil!