Conjuntos numéricos/Los números naturales/La Axiomática de Peano

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Conjuntos ordinales[editar]

Conjuntos transitivos[editar]

Definición:

Diremos que un conjunto A es transitivo si cada elemento de cada elemento de A es a su vez un elemento de A. Es decir, si se cumple que cualesquiera que sean el x \in A y el y \in x, entonces y \in A.

Proposición[editar]

Un conjunto A es transitivo si y sólo si B \in A \Rightarrow B \subset A.

Demostración:

Supongamos que A es un conjunto transitivo, es decir, que cualesquiera que sean x \in A e y \in x, se tiene que y \in A. Así, por definición de subconjunto, x \subset A.

Recíprocamente, supongamos que A es un conjunto de manera que si x \in A, entonces x \subset A. Sea x \in A. Si x = \varnothing, entonces es ya automáticamente x \subset A. Sea pues x \neq \varnothing, y sea y \in x\subset A. Luego y \in A. Así pues, A es transitivo.

Q.E.D.

Proposición[editar]

Si A es un conjunto transitivo, su sucesor A^+ es también un conjunto transitivo.

Demostración:

Sea x \in A^+=A \cup \{A\}. Entonces, o es x=A, o es x \in A. Sea y \in x. En el caso en que x=A, entonces es y \in A, luego y \in A \cup \{A\}=A^+. En el caso en que x \in A, como A es transitivo, entonces y \in A, luego y \in A \cup \{A\}=A^+.

En cualquier caso, queda demostrado que A^+ es de nuevo transitivo.

Q.E.D.

Ordinales[editar]

Definición:

Diremos que un conjunto transitivo A es un ordinal si la relación \sim \in \mathcal{P}(A \times A) definida por x \, \sim \, y si y sólo si x=y o x \in y es un buen orden en A.

Proposición[editar]

El sucesor de todo ordinal es un ordinal.

Demostración:

Un conjunto es un ordinal si es transitivo y está bien ordenado por la relación \sim. Ya hemos demostrado que el sucesor de todo conjunto transitivo es transitivo. Falta demostrar que el sucesor de un ordinal también está bien ordenado por la relación \sim.

Sea A un ordinal. Consideremos su sucesor A^+=A\cup\{A\}. Para demostrar que \sim es un buen orden en A^+ hemos de demostrar primero que es efectivamente un orden:

Sea c \in A^+. Como c=c, entonces es c \, \sim \, c, y la relación \sim es reflexiva en A^+.

Sean b,c \in A^+ de forma que b\, \sim \,c y que c\, \sim\, b. Tenemos las siguientes posibilidades:

  • b,c \in A: como A es un ordinal, está bien ordenado por \sim, luego en particular \sim es un orden en A, y es antisimétrica. Es decir, como b,c \in A y además b\,\sim\,c y c\,\sim\,b, entonces b=c.
  • b \in A y c = A:
Como c \,\sim \, b, tenemos estas dos opciones:
  • Si c \in b: A es transitivo, y c=A, con lo que c es transitivo. Ahora bien, c \in b, b \in c y c transitivo implican que c \in c, contradicción. Luego no puede ser que c \in b (o sea, este caso no se puede dar).
  • Si c=b, entonces como b=c y b \in c, sería b \in b, contradicción (o sea, que este caso tampoco se puede dar).
Esto prueba que no es posible que ocurran a la vez b\, \sim \,c, c\, \sim\, b, b \in A y c = A. Este caso, entonces, nunca se da.
  • c \in A y b = A: obviamente llegamos a la misma contradicción que en el caso anterior (o sea, este caso tampoco se puede dar).
  • b=A y c=A: entonces es b=c.

Con lo cual hemos demostrado que la relación \sim es antisimétrica.

Sean b,c,d \in A^+ de forma que b\, \sim \,c y que c\, \sim\, d. Tenemos las siguientes posibilidades:

  • b=c y c=d: entonces es b=d, esto es, b \, \sim \, d.
  • b \in c y c =d: entonces es b \in d, esto es, b \, \sim \, d.
  • b=c y c \in d: entonces es b \in d, esto es, b \, \sim \, d.
  • b\in c y c \in d:
  • Si d=A, es entonces d transitivo. Como b \in c, c \in d y d es transitivo, entonces es b \in d, esto es, b \, \sim \, d.
  • Si d\in A, tenemos los siguientes casos:
  • b=A: tenemos que c\in d, d \in A y A es transitivo, luego c \in A. Como b=A, b \in c, c\in A y A es transitivo, concluimos que b \in A, i.e., A \in A. Contradicción. Así que este caso no se puede dar.
  • c=A: tendríamos que d \in A, c \in d y A transitivo, luego sería c \in A. Pero c =A, luego resultaría A \in A, contradicción. Este caso tampoco es posible, y por lo tanto nunca se da.
  • b \in c, c \in d y b,c,d \in A. Entonces es b \, \sim \, c, c \, \sim \, d, y como A es ordinal, \sim es relación de orden en A, luego es transitiva, y al ser b,c,d \in A, concluimos que b \, \sim \, d.

Así, \sim es relación transitiva en A^+, y por todo lo anterior es (A^+, \,\sim) un conjunto ordenado.

Ahora resta por comprobar que \sim es un buen orden en A^+, es decir, que todo subconjunto no vacío de A^+ tiene elemento mínimo según la relación \sim.

Sea pues B \subset A^+ con B \neq \varnothing. Si B=\{A\}, entonces A es elemento mínimo de B. Supongamos que A \notin B. Entonces B \subset A^+\backslash \{A\}=A\cup \{A\} \backslash \{A\}=A y B \neq \varnothing. Entonces B tiene primer elemento para la relación \sim en A, y por la propia definición de \sim, es claro que es también primer elemento para la relación \sim en A^+. Por último, si A \in B y B \neq \{A\}, entonces B':= B \backslash \{A\} \neq \varnothing y B' \subset A^+\backslash \{A\}=A\cup \{A\} \backslash \{A\}=A. Así, existe un b \in B' \subset B de forma que b es elemento mínimo de B'. Como B' \subset A, entonces es b \in A, luego b \, \sim \, A, y es b elemento mínimo de B' \cup \{A\} = B.

Q.E.D.

Ejemplos de ordinales.[editar]

La proposición anterior nos dota de una herramienta para construir ordinales. en efecto, es inmediato comprobar que \varnothing es un ordinal. Por la proposición anterior, \varnothing ^+= \varnothing \cup \{\varnothing\}=\{\varnothing\} es también un ordinal. Así, calculando sucesivamente los sucesores de cada ordinal obtenido, obtenemos que son también ordinales: \{\varnothing,\{\varnothing\}\}, \{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\},...

Definición[editar]

Diremos que un conjunto x es un ordinal sucesor si existe un conjunto y de forma que y sea un ordinal y que x = y^+.

Diremos que un conjunto ordinal \alpha es un número natural si se cumple que para cada \beta \subset \alpha, o bien es \beta = \varnothing o bien es \beta es un ordinal sucesor.