Álgebra Lineal/Transpuesta de una matriz

transpuesta $A T$ . de una matriz m x n, es la matriz n x m cuyas columnas son los renglones de A en el mismo orden.

debemos tener en cuenta la trasposición de un vector, que se puede expresar de la siguiente manera;

a= $\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 9 \\ \end{bmatrix}$

con lo cual lo podemos trasponer de la siguiente manera:

$a^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 9 \\ \end{bmatrix}$

la traspuesta de una matriz se puede expresar como la matriz de los vectores traspuestos:

$A = \begin{bmatrix} a & b & c\\ \end{bmatrix}$

$A^T= \begin{bmatrix} a^T\\ b^T \\ c^T \\ \end{bmatrix}$

un ejemplo de trasposición es el siguiente:

$a= \begin{bmatrix} 1\\ 4\\ \end{bmatrix}$

$b= \begin{bmatrix} 2\\ 5\\ \end{bmatrix}$

$c= \begin{bmatrix} 3\\ 6\\ \end{bmatrix}$

los vectores traspuestos quedarian de la siguiente manera:

$a^T= \begin{bmatrix} 1 &4 \\ \end{bmatrix}$

$b^T= \begin{bmatrix} 2 & 5\\ \end{bmatrix}$

$c^T= \begin{bmatrix} 3 & 6\\ \end{bmatrix}$

la matriz traspuesta seria de la siguiente manera

$A^T= \begin{bmatrix} a^T \\ b^T \\ c^T\\ \end{bmatrix}$

$A^T= \begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6\\ \end{bmatrix}$

estos son otros ejemplos de matrices traspuestas:

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ \end{bmatrix}$

$A^T \begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6\\ \end{bmatrix}$

$B= \begin{bmatrix} 4 & 8 & 7\\ 3 & 9 & 2\\ 8 & 1 & 0\\ \end{bmatrix} B^T \begin{bmatrix} 4 & 3 & 8\\ 8 & 9 & 1\\ 7 & 2 & 0\\ \end{bmatrix}$

Esta operación utilizada para determinar la traspuesta de una matriz se llama trasposición.

Una matriz que es igual a su traspuesta se denomina SIMETRICA. Algunas operaciones matriciales básicas afectan a la trasposición:

1. $(A T) T = A$

2. $(A + B) T = A T + B T$

3. $(c A) T = c A T$

4. $(A B) T = B T A T$

5. si A es invertible, también lo es $A T$ . en este caso $(A T) - 1 = (A - 1) T$