Álgebra Lineal/Inversa de una matriz

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Para el cálculo de la inversa de una matriz expondremos dos métodos, usando el proceso de Gauss-Jordan y utilizando el concepto de determinante. Antes de explicar su desarrollo definiremos que es una matriz inversa en el siguiente enunciado:

Si A es una matriz cuadrada de nxn, BA = I e I es la matriz identidad de nxn, entonces B se llama la inversa de A por la izquierda.

Del anterior enunciado podemos deducir el siguiente teorema:

La matriz A es no singular si y sólo si T es invertible. Si BA = I, entonces B = m(T − 1).

Para encontrar la inversa de una matriz por el método de Gauss-Jordan debemos tener una matriz ampliada de la siguiente forma:

Sea la matriz A \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}

y la matriz I \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}

La matriz ampliada queda de la forma \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & | & 1 & 0 & 0\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & | & 0 & 1 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & | & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}

Aplicando Gauss-Jordan llegamos a la siguiente matriz ampliada \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & b_{11} & b_{12} & b_{13}\\ 0 & 1 & 0 & | & b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ 0 & 0 & 1 & | & b_{31} & b_{32} & b_{33}\\ \end{bmatrix}

Donde la matriz B, inversa de A es \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13}\\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ b_{31} & b_{32} & b_{33}\\ \end{bmatrix}

El siguiente método es el más usado para el cálculo de matrices inversas, se describe bajo la ecuación {A^{-1}} = {1 \over {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}} \ (adj(A))^T \

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