Álgebra/Álgebra Lineal/Definición de espacio vectorial y ejemplo

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Un espacio vectorial V sobre un cuerpo K es un conjunto que incluye dos operaciones: suma entre elementos de V y producto de elementos de K por elementos de V y cuyo resultado es otro elemento de V. A los elementos de V los denominamos vectores y los elementos de K, escalares.

Ejemplo Podemos tomar V como el conjunto de los polinomios, y K el de los números reales. Así, tendríamos la suma de polinomios, elementos de V; y el producto de un número real por un polinomio, cuyo resultado es otro polinomio.

Sin embargo es necesario que se cumplan una serie de propiedades para ambas operaciones.

  1. Para la suma de elementos de V,y dados u, v, w elementos de V :
    1. la operación es interna, es decir, u+v pertenece a V
    2. la suma es asociativa, así, u+(v+w)=(u+v)+w
    3. existe elemento neutro para la operación suma, es decir, un elemento 0 de V tal que u+0=0+u=u
    4. existe elemento opuesto, esto es, para todo u, existe otro elemento -u tal que u+(-u)=0
    5. la operación es conmutativa, y así u+v=v+u
En realidad esta operación dota a V de estructura de grupo beliano.