Álgebra/Teoría de grupos/Grupos

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[editar] Semigrupos, monoides y grupos

Definición 1.1: Sea $S$ un conjunto. Una aplicación

$*:S\times S\longrightarrow S$

se dice una operación binaria (o ley de composición interna) en $S$ . La imagen de cualquier par $(a, b)$ bajo la operación $*$ se representa por $a * b$ , en lugar de $* ((a, b))$ o de $* (a, b)$ . Cuando el símbolo que representa la operación es $\cdot$ , entonces la imagen de $(a, b)$ bajo la operación $\cdot$ suele representarse también por $a b$ .

Una operación binaria $*$ sobre un conjunto $S$ se dice asociativa si

(a * b) * c = a * (b * c)

para cualesquiera $a, b$ y $c$ de $S$ . Cuando para cualesquiera $a, b$ de $S$ se cumple $a * b = b * a$ , se dice que la operación $*$ es conmutativa. Por lo regular usaremos el símbolo $+$ para representar operaciones que sean conmutativas. En general, cuando hagamos uso de los símbolos $\cdot$ o $+$ para representar operaciones diremos que nuestra notación es, respectivamente, multiplicativa o aditiva.

Definición 1.2: Sea $G$ un conjunto y $\cdot$ una operación binaria en $G$ . Se dice que el par $(G,\cdot)$ es un semigrupo si la operación $\cdot$ es asociativa. Si, además, existe un elemento $e\in G$ tal que

a e = e a = a,

entonces el par $(G,\cdot)$ se llama un monoide.

En lo sucesivo, cuando no haya lugar a confusión, nos referiremos a un monoide $(G,\cdot)$ simplemente como el monoide $G$ , haciendo mención sólo del conjunto y dejando que la operación se deduzca del contexto.

El elemento $e$ aludido en la definición anterior se dice identidad o elemento neutro del monoide $G$ , y es único, pues si $e'$ fuera otro elemento de $G$ con las mismas propiedades, entonces $e = e e' = e'$ . Para representar identidades usaremos el símbolo 1 en notación multiplicativa y el símbolo 0 en notación aditiva.

Representaremos por $| G |$ al cardinal de un monoide $G$ . Si $a$ es el elemento de un monoide $G$ y $n\in\Z$ es un entero positivo, definimos

$a^n=a\cdots a\qquad (n\ \mbox{factores}),$

Cuando nuestra notación sea aditiva escribiremos $n a$ en lugar de $a n$ .

Sea $G$ un monoide y $a_1\ldots a_n$ elementos de $G$ con $1<n\in\Z$ . Se define inductivamente el producto de $a_1\ldots a_n$ como

$\prod_{i=1}^n a_i=a_1\cdots a_n=(a_1\cdots a_{n-1})a_n.$

Definimos

$\prod_{i=1}^0 a_i=1.$

Con estas definiciones, se cumple el

Teorema 1.3 (Ley asociativa general): Sea $G$ un monoide y $a_1,\ldots, a_m,$ $a_{m+1},\ldots, a_{m+n}$ elementos de $G$ . Entonces

$\prod_{i=1}^m a_i\cdot\prod_{j=1}^n a_{j+m}=\prod_{i=1}^{m+n}a_i.$

Demostración: Por inducción sobre $n$ . Para $n = 0$ es evidente. Supuesto cierto para $n$ , vemos que

$\prod_{i=1}^{m+n+1}a_i$	$~=$	$\prod_{i=1}^{m+n}a_i\cdot a_{m+n+1}$
	$~=$	$\prod_{i=1}^m a_i\cdot\prod_{j=1}^n a_{j+m}\cdot a_{m+n+1}$
	$~=$	$\prod_{i=1}^m a_i\cdot\prod_{j=1}^{n+1} a_{j+m},$

lo que demuestra el teorema.

$\scriptstyle\blacksquare$

Se dice que un monoide $G$ es conmutativo si su operación es conmutativa.

Teorema 1.4 (Ley conmutativa general): Sea $G$ un monoide conmutativo y $a_1\ldots a_n$ elementos de $G$ . Sea $\varphi$ una aplicación del conjunto $\{1,\ldots,n\}$ sobre sí mismo. Entonces

$\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)}=\prod_{i=1}^n a_i$

Demostración: Por inducción sobre $n$ . Para $n = 1$ es evidente. Supóngase cierto para $n - 1$ . Sea $k$ el entero tal que $\varphi(k)=n$ . Entonces,

$\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)}$	$~=$	$\prod_{i=1}^{k-1}a_{\phi(i)}\cdot a_{\phi(k)}\cdot\prod_{i=1}^{n-k}a_{\phi(k+i)}$
	$~=$	$\prod_{i=1}^{k-1}a_{\phi(i)}\cdot\prod_{i=1}^{n-k}a_{\phi(k+i)}\cdot a_{\phi(k)}$
	$~=$	$\prod_{i=1}^{k-1}a_{\phi(i)}\cdot\prod_{i=1}^{n-k}a_{\phi(k+i)}\cdot a_n.$

Con el propósito de aplicar el teorema 1.3, definimos la aplicación $θ$ por

$\theta(i)=\phi(i)\quad$		$\mbox{si}\ i<k,$
$\theta(i)=\phi(i+1)\quad$		$\mbox{si}\ i\geq k.$

Así tenemos que

$\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)}$	$~=$	$\prod_{i=1}^{k-1}a_{\theta(i)}\cdot\prod_{i=1}^{n-k}a_{\theta(k-1+i)}\cdot a_n$
	$~=$	$\prod_{i=1}^{n-1}a_{\theta(i)}\cdot a_n$

donde $\prod_{i=1}^{n-1}a_{\theta(i)}=\prod_{i=1}^{n-1}a_i$ por hipótesis de inducción, y así

$\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)}=\prod_{i=1}^n a_i.$

∎

Definición 1.5: Sea $G$ un monoide. Un elemento $a$ de $G$ se dice invertible por la izquierda (resp. invertible por la derecha) si existe un elemento $b$ , llamado inverso izquierdo de $a$ (resp. inverso derecho de $a$ ), tal que $b a = 1$ (resp. $a b = 1$ ). Se llama invertible a un elemento $a$ que es invertible por ambos lados.

Si un elemento $a$ de un monoide $G$ es invertible, entonces su inverso izquierdo y su inverso derecho coinciden. En efecto, pues si $b$ y $c$ son, respectivamente, el inverso izquierdo y el inverso derecho de $a$ , entonces $b=b\cdot1=b(ac)=(ba)c=1\cdot c=c$ .

Definición 1.6: Se llama grupo a un monoide $G$ cuando todos sus elementos son invertibles, es decir, cuando para todo $a$ de $G$ existe $b$ de $G$ tal que

a b = b a = 1.

El elemento $b$ aludido en la definición anterior se llama inverso de $a$ y es único, pues si $b'$ es otro inverso de $a$ , entonces $b=b(ab')=(ba)b'~=~b'$ . En notación multiplicativa y notación aditiva el inverso de $a$ se denota, respectivamente, por $a - 1$ y $- a$ .

Se define

$a^{-n}=a^{-1}\cdots a^{-1}\qquad (n\ \mbox{factores}).$

En notación aditiva se escribe $- n a$ en lugar de $a - n$ .

Un grupo $G$ en el que se verifica la propiedad conmutativa, es decir, en el que $a b = b a$ para cualesquiera $a$ y $b$ de $G$ , se dice grupo abeliano.

El teorema siguiente recoje algunos hechos básicos a cerca de los grupos.

Teorema 1.7: Sea $G$ un grupo y $a, b, c$ elementos de $G$ . Se cumplen

(G-1) $a a = a$ implica $a = 1$

(G-2) $a b = a c$ implica $b = c$

(G-3)

(a - 1) - 1 = a

(G-4)

(a b) - 1 = b - 1 a - 1

(G-5) $(a_1\cdots a_n)^{-1}=a_n^{-1}\cdots a_1^{-1}$

Demostración: (G-1) Si $a a = a$ , entonces $a = a (a a - 1) = (a a) a - 1 = a a - 1 = 1$ . (G-2) Si $a b = a c$ , entonces al multiplicar ambos lados de la ecuación por $a - 1$ se obtiene $b = c$ . (G-3) $(a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}(a^{-1}a)=((a^{-1})^{-1}a^{-1})a=1\cdot a=a$ . (G-4) $(b^{-1}a^{-1})(ab)=b^{-1}(a^{-1}a)b=b^{-1}\cdot 1\cdot b=b^{-1}b=1$ , de modo que $b - 1 a - 1$ es inverso de $a b$ , pero éste es único, así es que ha de ser $b - 1 a - 1 = (a b) - 1$ . (G-5) se sigue de (G-4) usando por inducción matemática.

$\scriptstyle\blacksquare$

Los dos teoremas siguientes muestran las condiciones que debe cumplir un semigrupo para ser un grupo.

Teorema 1.8: Un semigrupo $G$ es un grupo si y sólo si

existe una identidad por la izquierda $1$ tal que para todo elemento $a$ de $G$ , $1 a = a$ ;
todo elemento $a$ de $G$ tiene un inverso por la izquierda $a - 1$ .

Demostración: La implicación es obvia. Por la otra parte, $G$ cumple también con (G-1) del teorema 1.7 (pues por hipótesis todo elemento suyo es invertible), así que, de

$(aa^{-1})(aa^{-1})=a(a^{-1}a)a^{-1}=a(1\cdot a^{-1})=aa^{-1},$

se deduce que $a a - 1 = 1$ , por lo que $a - 1$ es también inverso de $a$ por la derecha. Además, $a\cdot 1=a(a^{-1}a)=(aa^{-1})a=1\cdot a=a$ , por lo que 1 es también una identidad por la derecha en $G$ , luego $G$ es un grupo.

$\scriptstyle\blacksquare$

Teorema 1.9: Un semigrupo $G$ es un grupo si y sólo si para cualesquiera $a$ y $b$ de $G$ las ecuaciones

$ax=b\qquad\mbox{y}\qquad ya=b$

tienen soluciones únicas en $G$ .

Demostración: Si $G$ es un grupo, entonces las soluciones de $a x = b$ y $y a = b$ en $G$ son $x = a - 1 b$ y $y = b a - 1$ . Recíprocamente, si $G$ es un semigrupo en el que las ecuaciones $a x = b$ y $y a = b$ tienen soluciones únicas, entonces, tomando $a = b$ , tenemos que existen $e$ y $e'$ tales que

$ae=a\qquad\mbox{y}\qquad e'a=a,$

y si $g$ es un elemento cualquiera de $G$ , entonces también existen $r$ y $s$ de $G$ tales que

$as=g\qquad\mbox{y}\qquad ta=g,$

de modo que

g e = (t a) e = t (a e) = t a = g

(1.1)

y

e' g = e'(a s) = (e' a) s = a s = g .

(1.2)

Puesto que $g$ es cualquier elemento de $G$ , podemos tomar $g = e'$ en (1.1) y $g = e$ en (1.2), obteniendo $e' e = e'$ y $e' e = e$ , luego $e = e'$ es la identidad de $G$ . Ahora, si $a'$ y $a''$ son las soluciones de $a x = e$ y $y a = e$ , entonces $a'$ y $a''$ son, respectivamente, los inversos derecho e izquierdo de $a$ , y como vimos, debe de ser $a' = a''$ . Esto prueba que $G$ es un grupo.

$\scriptstyle\blacksquare$

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