Usuario:Turok/ejercicio 9

1.Demostrar que la siguiente expresión de lógica de predicados es siempre verdadera:

Эx(P(x) ^ Q(x)))→( Эx P(x) ^ Эx Q(x))

2.Demostrar que la sentencia recíproca no es siempre verdadera.

solucion

1.Si la hipótesis es falsa la sentencia es verdadera. Si la hipótesis es verdadera entonces hay una constante a en algún universo de discurso de modo que P(a)^Q(a) es verdadera. Entonces P(a) es verdadera por lo que Эx P(x) es verdadera. De igual manera Q(a) es verdadera por lo que Эx Q(x) es verdadera. Hemos comprobado que si la hipótesis es verdadera también lo es la tesis, por tanto la implicación es verdadera.

2. Si la sentencia recíproca es verdadera entonces en particular es verdadera si tomamos Q(x) = ￢P(x). Para este valor de la función proposicional Q(x) se tiene que Эx (P(x) ^ Q(x)) es F. Por tanto, en este caso particular, la conclusión de la sentencia recíproca es F. Pero la hipótesis puede ser verdadera, lo que hace que la implicación no sea siempre V : tomando por ejemplo P(x): x es par, se tiene que Эx P(x) es V y que Эx ￢P(x) es también V .