Usuario:Sergiores:calculo

Ejercicio 10, sección 3.9, Cálculo de Purcell

-Un niño está volando una cometa. Si la cometa está a $90ft$ $(y)$ del nivel de la mano del niño y el viento sopla en dirección horizontal $\left({\frac {dx}{dt}}\right)$ a 5 pies por segundo, ¿con qué rapidez $\left({\frac {dz}{dt}}\right)$ suelta cordel el niño, cuando ya ha soltado 150 pies $(z=150ft)$ del cordel? (Suponga que el cordel permanece en línea recta desde la mano hasta la cometa, en verdad una suposición poco realista).

¿Qué me dan?

-Me dan la velocidad horizontal (sobre el eje x) con que se mueve la cometa $\left({\frac {dx}{dt}}\right)=5ft/s$.

-Me dan la distancia vertical (sobre el eje y) que hay entre la cometa y el niño: 90 pies.

¿Qué me piden?

-Me piden hallar la rapidez con la que el niño suelta el cordel $\left({\frac {dz}{dt}}\right)$ cuando $z=150ft$.

¿Cómo se relaciona lo que me dan con lo que me piden?

-Lo primero que debemos hacer es imaginarnos la situación como un triángulo rectángulo, cuyos catetos son: $x$-para la distancia horizontal que hay entre el niño y la cometa y $y$-para la distancia vertical que existe entre ésta y el niño. Su hipotenusa sería $z$-para la distancia en línea recta que existe entre el niño y la cometa.

Según el enunciado, $y$ es una distancia fija y por lo tanto no tiene rapidez, es decir, $\left({\frac {dy}{dt}}\right)=0$. Ahora bien, según el teorema de Pitágoras $z^{2}=y^{2}+x^{2}$. Lo que tenemos que hacer es derivar dicha ecuación con respecto al tiempo para poder obtener la velocidad deseada $\left({\frac {dz}{dt}}\right)$.

Entonces,

$2z{\frac {dz}{dt}}=2y{\frac {dy}{dt}}+2x{\frac {dx}{dt}}$

$z{\frac {dz}{dt}}=y{\frac {dy}{dt}}+x{\frac {dx}{dt}}$

$z{\frac {dz}{dt}}=y(0)+x{\frac {dx}{dt}}$

$z{\frac {dz}{dt}}=x{\frac {dx}{dt}}$

${\frac {dz}{dt}}={\frac {x{\frac {dx}{dt}}}{z}}$

Aquí tenemos a ${\frac {dx}{dt}}$ que es 5 pies/s y a $z$ que es igual a 150 pies, pero nos hace falta tener el valor de x para obtener la velocidad de z.

Entonces, para obtener x simplemente usamos pitágoras de nuevo pero esta vez reemplazando a $z$ por 150 y $y$ por 90:

$z^{2}=y^{2}+x^{2}$ $150^{2}=90^{2}+x^{2}$ $x^{2}=150^{2}-90^{2}$ $x={\sqrt {14400}}$ $x=120ft$

Teniendo x, ahora si podemos reemplazar los valores dados en el enunciado y obtenidos en el desarrollo para obtener la velocidad de z:

${\frac {dz}{dt}}={\frac {x{\frac {dx}{dt}}}{z}}$

${\frac {dz}{dt}}={\frac {(120ft)(5ft/s)}{150ft}}$

${\frac {dz}{dt}}=4ft/s$

Finalmente pudimos hallar la rapidez con la que el niño suelta el cordel cuando la cometa está a una distancia de 150 pies en línea recta, 90 pies verticalmente, 120 pies horizontalmente y moviendose horizontalmente a una velocidad de 5 pies por segundo.