Física/Dinámica de rotación/Rotación alrededor de un eje fijo

Rotación alrededor de un eje fijo es un caso especial del movimiento rotacional. La hipótesis del eje fijo excluye la posibilidad de un eje en movimiento, y no puede describir fenómenos como el “bamboleo”.

De acuerdo al teorema de la rotación de Euler, la rotación alrededor de más de un eje al mismo tiempo es imposible, así pues, si dos rotaciones son forzadas al mismo tiempo en diferente eje, aparecerá un nuevo eje de rotación.

Las siguientes fórmulas y conceptos son útiles para comprender más a fondo la rotación sobre un eje fijo.

Relación entre el movimiento de rotación y el lineal

El movimiento de rotación tiene una estrecha relación con el movimiento lineal.

El desplazamiento lineal es el producto del desplazamiento angular por el radio del círculo descrito por el movimiento.

s=θR

La velocidad lineal es el producto de la velocidad angular por el radio del círculo descrito por el movimiento.

v=ωR

La aceleración tangencial es el producto de la aceleración angular por el radio del círculo descrito por el movimiento.

a=αR

Así mismo, tomando en cuenta lo anterior, las fórmulas de la cinemática mantienen esta misma relación.

Mientras que las fórmulas de la cinemática del movimiento lineal son: $v_{f}^{2}=v_{o}^{2}+2ad$

$v_{f}=v_{o}+at$

$d=v_{o}t+1/2at^{2}$

Para la cinemática del movimiento rotacional utilizaremos las siguientes:

ω_f ^2 = ω_o ^2 + 2αθ

ω_f=ω_o+αt

θ=ω_o t+1/2 αt^2

Desplazamiento angular θ

El desplazamiento angular de un objeto determina la cantidad de rotación del mismo y es descrito por la siguiente fórmula:

∆θ=θ_2-θ_1

El desplazamiento angular se mide en radianes (rad), aunque también se puede medir en revoluciones (rev). A continuación se presentan la comparación entre unidades.

1 rad = 57.3° 1 rev = 360° = 2π rad

Velocidad angular ω

La velocidad angular es el cambio del desplazamiento angular con respecto al tiempo, como se presenta en la siguiente fórmula:

ω= ∆θ/∆t =(θ_2-θ_1)/(t_2-t_1 )

La velocidad angular, es siempre la misma sin importar la distancia que haya entre una partícula y el eje de rotación.

Las unidades en que se expresa comúnmente la velocidad angular es en radianes por segundo (rad/s), pero también puede expresarse en revoluciones por minuto (rpm o rev/min) y en revoluciones por segundo (rev/s).

Aceleración angular α

Al igual que en el movimiento lineal, el movimiento rotacional puede tener aceleración. La velocidad angular puede alterarse por la influencia de un momento de torsión resultante.

La fórmula para calcular la aceleración angular es la siguiente:

$\alpha ={\cfrac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\cfrac {\omega _{2}-\omega _{1}}{t_{2}-t_{1}}}$

Momento de torsión (torque)

En la ley del movimiento rotacional, Newton menciona lo siguiente:

Un momento de torsión resultante aplicado a un cuerpo rígido siempre genera una aceleración angular que es directamente proporcional al momento de torsión aplicado e inversamente proporcional al momento de inercia del cuerpo.

$\tau =I\,\alpha$

Energía cinética rotacional.

Tomando en cuenta que la energía cinética lineal está dada por la siguiente fórmula:

K=1/2 mv^2

Y manteniendo la misma relación que ya se expresó más arriba, la energía cinética rotacional está dada por la fórmula:

K=1/2 mω^2 R^2

Pero, si consideramos que un cuerpo está formado por diversas partículas de masas diferentes y localizadas a diferentes distancias del eje de rotación, la energía cinética total del cuerpo sería la sumatoria de las energías cinéticas de todas las partículas del cuerpo.

K_T=∑▒〖1/2 mω^2 R^2 〗

Y tomando en cuenta que la velocidad angular es la misma para todas las partículas, la fórmula podríamos ordenarla de la siguiente manera:

K_T=1/2 ω^2 (∑▒〖mR^2 〗)

Viendo que la cantidad en paréntesis no considera si la partícula está en movimiento o en reposo, definiremos a esa cantidad como momento de inercia.

Momento de inercia

La inercia es una propiedad de la materia para resistirse a cualquier cambio en su estado, ya sea de reposo o de movimiento como lo describe la Primera Ley de Newton:

Un cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, a menos que una fuerza externa no equilibrada actúe sobre él. Primera Ley de Newton

Todos los cuerpos que giran alrededor de un eje desarrollan una inercia a la rotación (se resisten a cambiar su velocidad de rotación y la dirección de su giro. La inercia de un cuerpo a la rotación está determinada por su momento de inercia, que es la resistencia que opone un cuerpo en rotación al cambio de su velocidad de rotación.

La fórmula para calcular el momento de inercia de un cuerpo compuesto por partículas de masas dispersas es la siguiente:

I=∑▒〖mR^2〗

Para calcular el momento de inercia de cuerpos con distribuciones parejas de masa, se utilizan fórmulas específicas para cada cuerpo. Algunos de los más comunes son los siguientes:

• Aro delgado: $I=mR^{2}$

• Aro delgado alrededor de uno de sus diámetros : $I=1/2mR^{2}$

• Disco sólido: $I=1/2mR^{2}$

• Cilindro sólido: $I=1/2mR^{2}$

• Cilindro hueco: $I=1/2m(R_{1}^{2}+R_{2}^{2})$

• Barra delgada con eje a través de su centro : $I=1/12ml^{2}$

• Barra delgada con eje en uno de sus extremos: $I=1/3ml^{2}$

• Esfera sólida con eje en su diámetro: $I=2/5mR^{2}$

• Esfera hueca de pared delgada: $I=2/3mR^{2}$

Dada la fórmula del momento de inercia, podemos darnos cuenta de que la unidad en que se mide la inercia es en kilogramo-metro al cuadrado (kg m²).