Sea una ecuación algebraica polinomial de tercer grado completa sin normalizar en una sola variable
de la forma
donde
son sus coeficientes polinomiales. Sean
las tres raíces de la ecuación
que deseamos calcular. Dividiendo ambos lados de la ecuación
por su coeficiente principal
obtenemos
si definimos
, la ecuación
queda como
con lo cual hemos ya normalizado la ecuación
, pues es más fácil de trabajar la ecuación
ya normalizada que la ecuación
, pero con la ventaja de que las raíces de ambas son exactamente iguales. Ahora, realicemos la transformación de Tschirnhausen, dada en la forma
lo que nos permite eliminar el término de la potencia cuadrática cuando se sustituye la ecuación
en la ecuación
, así se obtiene
donde al desarrollarse los binomios y simplificar términos comunes nos da
y si hacemos las sustituciones arbitrarias pero convenientes
obtenemos la ecuación
a la cual se le llama ecuación cúbica reducida por contener un término menos (en este caso ha desaparecido el término cuadrático por el uso de la transformación de Tschirnhaus) que la ecuación completa
, la cual es más fácil de resolver que la ecuación
, de modo que si resolvemos la ecuación
entonces las raíces de la ecuación
se calcularán de forma sencilla usando la ecuación
por ser esta una relación lineal e invertible. Note que si
, implica necesariamente según las ecuaciones
y
que
. La ecuación
tiene tres raíces
que se calculan como sigue:
donde los valores de
,
y
se definen como
donde
es el discriminante de la ecuación cúbica
y nos ayuda a establecer cuatro casos posibles distintos como sigue.
Caso 1. Una raíz real y dos complejas conjugadas entre sí
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Si
y
, para
, se tiene para la ecuación
una raíz real dada como
por la ecuación
y dos raíces complejas conjugadas
, dadas por las ecuaciones
y
. Al restar a cada una de estas raíces la cantidad
de acuerdo a la ecuación
se obtiene una raíz real
y dos complejas conjugadas
también para la ecuación de interés
. Este es uno de los dos casos en que se presentan las raíces de multiplicidad unitaria.
Ejemplo 1. Usando el método de Cardano calcule las tres raíces de la ecuación cúbica siguiente:
Solución. Primero normalizamos la ecuación dividiendo ambos lados por su coeficiente principal
, para dar
la cual al compararla con la ecuación
podemos definir que
, con los cuales podemos calcular
y
a partir de las ecuaciones
y
respectivamente para dar
con estos valores podemos calcular el discriminante
mediante la ecuación
para dar
puesto que
y
, entonces obtendremos una raíz real y dos complejas conjugadas. Para ello, calculamos primero los valores de A y B mediante las ecauciones
y
, respectivamente, para dar
las raíces de la ecuación
se calculan mediante las ecuaciones
,
y
para dar respectivamente
ahora, ya por último, usaremos la ecuación
para poder obtener las raíces de la ecuación que nos pedían resolver, como
.
Caso 2. Raíces reales de multiplicidad dos
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Si
y
, para
, se tiene para la ecuación
tres raíces reales de las cuales dos de ellas son iguales entre sí, es decir, este es el único caso donde se presentan las raíces dobles. Esto es, que
. Al restar a cada una de estas raíces la cantidad
de acuerdo a la ecuación
se obtienen tres raíces reales para la ecuación cúbica
, de las cuales dos de ellas serán iguales entre sí también
.
Ejemplo 2. Resuelva mediante el método de Cardano la siguiente ecuación cubica:
Solución. Es una ecuación ya normalizada, por lo que al compararla con la ecuación
podemos definir que
, con los cuales podemos calcular los valores de
y
mediante las ecuaciones
y
como sigue:
con estos valores podemos calcular el discriminante
a partir de la ecuación
como
puesto que
, entonces obtendremos tres raíces reales de las cuales dos de ellas serán exactamente iguales entre si. Calculamos los valores de
y
de las ecuaciones
y
para dar
así, las raíces de la ecuación
serán
de este modo, las raíces pedidas son obtenidas mediante la ecuación
como
Caso 3. Raíces reales de multiplicidad tres
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Existe el caso en que se pueden obtener tres raíces reales de multiplicidad tres que ocurre si y sólo si se cumple la condición de que
, lo que implica necesariamente de ecuerdo a la ecuación
que
, lo que también implica necesarimente según las ecuaciones
y
que
, lo que a su vez implica necesariamente según las ecuaciones
a
que
, de aquí que al regresar a la transformación de Tschirnhaus dada por la ecuación
vemos que las tres raíces son reales y múltiples de multiplicidad tres y que valen
esto es, que la ecuación
se puede poner como
es decir, que puede expresarse como un binomio elevado al cubo.
Caso 4. Tres raíces reales y distintas entre sí
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Si
y
, para cualquier valor y signo de q, pero donde necesariamente
, se tiene para la ecuación
tres raíces reales
, que son distintas entre sí, las cuales se calculan como
donde
se define como
de donde vemos que el símbolo
que precede al valor constante 2 en la expresión
se usará como sigue: el signo positivo se usará cuando
y el signo negativo se usará cuando
.
Raíces de la ecuación completa
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Si es posible obtener con las ecuaciones
a
precedentes las tres raíces de
se regresa a la transformación de Tschirnhaus dada por la ecuación
y se obtienen las tres raíces de la ecuación
, como sigue
o si las raíces de
están dadas por las ecuaciones
y
se debe usar
en la ecuación
.