Matemáticas/Poliedros/Hipercubos

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Si bien existen diferentes planteamientos sobre cómo explicar la conformación de cuerpos regulares para varias dimensiones, no se ha encontrado ninguna forma sencilla de hacerlo que tenga propiedades didácticas, y que permita, sobre todo a los jóvenes, comprender diferentes tipos de cuerpos geométricos regulares para cualquier dimensión n. Esto es lo que se propone desarrollar aquí. Para ello se usa un poco de teoría combinatoria, algunas expresiones algebraicas simples y tablas.

El objetivo primario podría ser resumido en llenar una tabla básica que contiene en las columnas a n, esto es, la dimensión correspondiente. Se utilizan 7 dimensiones para que el cuadro sea sencillo y manejable, pero se puede extender con los mismos métodos usados aquí en forma indefinida. En las filas se ubican los trazos o figuras espaciales regulares (usando la letra m, por magnitud), esto es, líneas, cuadrados, cubos, e hipercubos. La tabla será, por tanto, de 4 por 7, indicando en cada fila la magnitud correspondiente, y en las columnas el número de dimensión a que se refiere. Con ello quedan definidas las bases para comprender a un nivel más o menos completo, los diversos cuerpos geométricos que se forman de la primera a la cuarta magnitud, en el espacio de 1 a 7 dimensiones.

Se comienza con la primera línea de la tabla, esto es la primera magnitud. Aquí estarán las líneas requeridas para cada dimensión. La fórmula algebraica que proponemos es la siguiente:

S1(n) = 2n n/2

Adonde el subíndice 1 denota la primera magnitud m, esto es, la de las líneas. Definimos a la fórmula marginal como la diferencia entre el valor de S1(n+1) y S1(n), y la denotamos por €(n). Así:

€1(n) = 2n (n+1)/2) – 2n n n/2) = 2n (2(n+1)/2)-(n/2)) = 2n-1 (2n+2-n) = €1(n) = 2n-1 (n+2)

Para el caso de la dimensión 1, tenemos:

€1(0) = 20-1 = (1/2)(0+2) = 1 €1(1) = 21-1 (1+2) = 3

Como S1(1) = 2n n/2 = 2 (1/2) = 1, lo que se deriva de aquí es que, para la magnitud 1, o sea, la líneal, existe la línea en la dimensión 1, y 3 líneas más para la magnitud 2, lo que daría como resultado que los cuadrados (magnitud 2) se forman con 4 líneas. La primera de ellas pertenece a la magnitud 1, la lineal, y las 3 restantes son las definidas por la función marginal €(1) = 3, que nos daría el total de 4 líneas que conforman un cuadrado. Se procede a calcular el resto de las líneas para cada magnitud:

€1(2) = 22-1 (2+2) = 8

€1(3) = 23-1 (3+2) = 20

€1(4) = 24-1 (4+2) = 48

€1(5) = 25-1 (5+2) = 112

€1(6) = 26-1 (6+2) = 256

El significado es el siguiente: se requieren 12 líneas para formar un cubo, 32 para formar un teseracto o hipercubo, 80 para un penteracto, 192 para un hexeracto y 448 para un hepteracto.

Esto suena prometedor, así que se pasa a la segunda magnitud, esto es, a los cuadrados. La fórmula propuesta es la siguiente:

S2(n) = 2n (n/2) ((n-1)/4))

En donde el subíndice 2 denota la segunda magnitud m, la de los cuadrados. De nuevo, definimos la fórmula marginal como €2(n) = S2(n+1) menos S2(n), ahora, en la magnitud 2. El lector puede comprobar fácilmente que:

€2(n) = 2n n/8 (n+3)

Ahora bien:

S2(1) = 21 (1/2) ((1-1)/4)) = 0

Esto significa que hay 0 cuadrados en la primera dimensión. Continuamos con la segunda dimensión usando la función marginal.

€2(1) = 21 (1)/8 (1+3) = 1

Lo que significa que se forma un cuadrado en la magnitud 2, de los cuadrados, en la dimensión 2 (la dimensión plana).

Si se quiere saber cuántos cuadrados se formarán en la dimensión 3 se calcula €(2):

€2(2) = 22(2)/8 (2+3) = 5

Lo que significa que habrá 6 cuadrados en la dimensión 3, esto es, la de los cubos. En otras palabras, esto nos dice que los cubos tienen 6 cuadrados.

Ahora se puede preguntar cuántos cuadrados tiene un teseracto, esto es, el análogo al cubo en la cuarta dimensión:

€2(3) = 23(3)/8 (3+3) = (24/8)(6) = 18

Lo que significa que hay 24 cuadrados en un teseracto. Se continúa con el resto de las dimensiones:

€2(4) = 24(4)/8 (4+3) = 56

€2(5) = 25(5)/8 (5+3) = 160

€2(6) = 26(6)/8 (6+3) = 432

La interpretación se deja al lector.

Se continúa con la tercera magnitud m, esto es, la de los cubos. La función propuesta, que el lector atento habrá imaginado es:

S3(n) = 2n (n/2) ((n-1)/4)) ((n-2)/6))

La función marginal sería:

€3(n) = 2nn/48 (n-1)(n+4)

Por consiguiente, se puede calcular fácilmente el número de cubos en las 5 dimensiones, así:

€3(1) = 21(1)/48 (1-1)(1+4) = 0

€3(2) = 22(2)/48 (2-1)(2+4) = 1

€3(3) = 23(3)/48 (3-1)(3+4) = 7

€3(4) = 24(4)/48 (4-1)(4+4) = 32

De manera que un cubo se forma en la tercera dimensión, se requieren 8 cubos para formar un teseracto, y hay 40 cubos en un penteracto, esto es, el análogo del teseracto en quinta dimensión, o sea, un hipercubo en quinta dimensión.

€3(5) = 25(5)/48 (5-1)(5+4) = 120

€3(6) = 26(6)/48 (6-1)(6+4) = 400

Esto es, hay 160 cubos en un hexeracto, y 560 cubos en un hepteracto.

Ahora se abre la posibilidad de enfrentarse al teseracto o hipercubo, esa famosa y extraña figura que es el equivalente al cubo en la cuarta dimensión. Si se estira un cubo hacia arriba, saliendo por una de sus aristas, se nos formará la versión aplanada a la tercera dimensión de un teseracto. Con un poco de imaginación se podrá visualizar que se compone de 8 cubos, el inicial, el final, y los 6 que se forman saliendo por cada uno de los lados o cuadrados que conforman el cubo. Hagamos un paréntesis para comprender un poco más el teseracto, puesto que es la figura imaginaria que se acomoda mejor a la comprensión de nuestros sentidos, diseñados para el nivel tridimensional, y no para comprender el nivel de cuatro dimensiones, que de alguna manera aparece como contraintuitivo, puesto que nosotros vivimos en un mundo aparente de tercera dimensión, si bien a partir de esta misma lectura se puede hipotetizar que la cuarta dimensión es el tiempo, por lo que los teseracts serían parte normal de nuestro mundo real aunque no acabemos del todo de comprenderlos, ni podamos mirarlos directamente, por una cuestión puramente de perspectiva.

Al respecto, se puede intentar representar el teseracto en un mundo tridimensional. Esto tiene una gran importancia práctica puesto que hay controversia sobre si se ha podido comprender plenamente el significado y forma de un teseracto, o si se trata de una cuestión puramente imaginaria.

La hipótesis implícita es que el teseracto es un objeto difícil de imaginar, pero posible de representar en forma simple. Vamos a representar el teseracto en una sola tabla plana de 12 por 12 y con el uso de símbolos que representan, cada uno, un cubo o habitación.

TABLA PARA REPRESENTAR EL TESERACTO APLANADO

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Se usan símbolos en negro para poder hacer la representación aquí, si bien lo más recomendable sería asignar un color o una figura a cada cubo o habitación. De paso, se puede decir que esta representación podría tener cierto valor estético, o para el arte arquitectónico, pero eso sería tema para otra discusión.

La estructura contiene 8 cubos distintos que forman un teseracto, estableciendo las conexiones entre las habitaciones en forma más o menos clara. De hecho, se trata de un mosaico de 9 cuadrantes de 4 por 4 habitaciones. Los colores y símbolos son completamente intercambiables entre sí, mientras se respete la estructura general.

Es necesario aclarar que sólo algunas direcciones en el movimiento a través de la tabla son válidas. Por ejemplo, muchas de las columnas no mantienen la estructura correcta. Estos defectos son generados por el “aplanado” de la figura. Como ejemplos de la estructura correcta están las columnas 2 y 3, las filas 2 y 3, y las diagonales principales. Partiendo de la casilla (6,6) o de la casilla (7,6) se puede obtener una interpretación sin errores en 6 de las 8 direcciones posibles, lo cual resulta natural puesto que cada cubo tiene sólo 6 caras o salidas.

En suma: la tabla permite comprender al teseracto en forma fácil y bajo una perspectiva plana. Regresando al cuerpo principal del presente trabajo, podemos ahora estudiar las primeras 7 dimensiones del teseracto. Como habrán imaginado la fórmula inicial será:

S4(n) = 2n (n/2) ((n-1)/4)) ((n-2)/6)) ((n-3)/8))

Donde el subíndice 4 denota la cuarta magnitud m, esto es, la de los teseractos. La función marginal que se deriva de aquí es:

€4(n) = (2nn/384) (n-1)(n-2)(n+5)

Por consiguiente, se puede calcular fácilmente el número de teseractos en las 7 dimensiones, así:

€4(1) = (21(1)/384) (1-1)(1-2)(1+5) = 0

€4(2) = (22(2)/384) (2-1)(2-2)(2+5) = 0

€4(3) = (23(3)/384) (3-1)(3-2)(3+5) = 1

€4(4) = (24(4)/384) (4-1)(4-2)(4+5) = 9

€4(5) = (25(5)/384) (5-1)(5-2)(5+5) = 50

€4(6) = (26(6)/384) (6-1)(6-2)(6+5) = 220

De manera que un teseracto se forma en la cuarta dimensión, que para muchos representa al tiempo, además: se requieren 10 teseractos para formar un penteracto, hay 60 teseractos en un hexeracto, y hay 280 teseractos en un hepteracto, esto es, el análogo del teseracto en séptima dimensión, o sea, un hipercubo en séptima dimensión.

En la explicación está implícita la prueba matemática por [inducción], de una manera que parece a simple vista estricta. Si tomamos los valores específicos de €(X), donde X es un número cualquiera, se pueden verificar las fórmulas sin ningún problema. Además, si tomamos Sm(n) y le sumamos €m(n+1), tendremos como resultado, necesariamente Sm(n+1). Por tanto, la prueba de las fórmulas por inducción está completa.

Podemos intentar ahora una generalización de las fórmulas. El número n puede ser cualquier dimensión hasta el infinito, se comenzaría por verificar que las fórmulas Sm(n) y €m(n) también funcionan en las siguientes dimensiones, hasta llegar a números grandes. La prueba al infinito podría ser resuelta a través del límite de n hasta el infinito en las respectivas funciones.

Una forma más simple de hacer pruebas generalizadas, es recurrir a la función generadora de hipercubos, que defino como:

Sm(n) = 2n (n/2) ((n-1)/4)) ((n-2)/6)) ((n-3)/8)) ..... [((n-(m-1)/2m)]

Los términos en m representan constantes que se definen cuando se escoge el nivel de la magnitud o figura a considerar. También son automáticamente generados todos los números enteros que aparecen en la fórmula. La fórmula se define para cualquier m mayor que 4, esto es, superior al nivel de los teseractos. Para los niveles de 1 a 4 se usan las fórmulas ya descritas y que corresponden plenamente con la fórmula generalizada.

Ahora bien, si suponemos que m es igual a n, podemos saber cuántas figuras de la dimensión correspondiente a la misma figura, existen para todos los hipercubos de tamaño n hasta infinito. Al atar el símbolo m con el símbolo n podemos decir que, para todo m igual a n:

Sm(n) = 2n (n/2) ((n-1)/4)) ((n-2)/6)) ((n-3)/8)) ..... [((n-(n-1)/2n)] (para todo m = n)

Despejando tendríamos:

Sm(n) = (2n / 2n) (n/1) ((n-1)/2)) ((n-2)/3)) ((n-3)/4)) ..... [1/n)]

Observando que la cadena de enes de arriba, es idéntica a la cadena de enes de abajo, tenemos:

Sm(n) = (2n / 2n) Sm(n) = 1

Esto significa, que siempre que m sea igual a n, es decir, en el nivel de la figura correspondiente a la enésima dimensión, sólo va a existir una figura. En otras palabras, sólo hay un hexeracto en la sexta dimensión, sólo hay un hepteracto en la séptima dimensión, y así sucesivamente hasta llegar a infinito.

Recuérdese que esta es una función acumulativa, esto es, si hay sólo una figura para cada dimensión n igual a m, entonces, para todo i, adonde cada i representa a un n-i menor que n, el valor de Sm(i) será igual a cero. Probémoslo para Sm(n-1), con el fin de tener una mayor seguridad en nuestros cálculos, puesto que al ser S una función acumulativa, resultará evidente que el hipercubo o figura m se forma única y exclusivamente en la dimensión n que le corresponda, puesto que hasta allí, y desde 1 hasta n-1, no se ha acumulado ninguna figura correspondiente. Veamos:

Sm(n-1) = 2n-1 (n-1/2) ((n-2)/4)) ((n-3)/6)) ((n-4)/8)) ..... [((n-1)-(m-1))/2m]

Ahora, recordando que m es un número fijo que hemos supuesto igual a n:

Sm(n-1) = 2n-1 (n-1/2) ((n-2)/4)) ((n-3)/6)) ((n-4)/8)) ..... [((n-1)-(n-1))/2n]

Lo cual es evidentemente 0 al restar n-1 de sí mismo en el último término. Si esto le resulta oscuro, inténtelo con las fórmulas correspondientes al cubo que ya describimos.

Ls “tabla” original se ha ampliado entonces para permitirnos concluir que debajo de la diagonal siempre tendremos ceros, y en la diagonal principal, en que m es igual a n, tendremos un 1. El resto de los cálculos para llenar una matriz cualquiera m por n se realizaría a través de la fórmula general, dándole los valores respectivos a m y a n.

Nos queda, por último, el infinito. Este se ubica en el extremos inferior derecho de una matriz infinitamente grande, lo cual podría parecer imposible de calcular. Pero como ya sabemos que la matriz tiene unos en toda la diagonal, y ceros abajo de la diagonal, entonces, se puede especular, con bastante veracidad, que el valor ubicado en el punto n,m cuando n y m tienden a infinito es de 1. Así que hay una única figura que cumple estas condiciones. Puesto que tal figura tiene, aparentemente, infinito número de todas las figuras inferiores, se puede fácilmente especular que se trata de una esfera n-dimensional. El cómo se vea una figura n-dimensional puede ser muy misterioso, pero el hecho claro es que no tendría ninguna irregularidad, puesto que es perfectamente igual en todas las direcciones, de forma que si se le girara quedaría exactamente igual y no se le podrían ver protuberancias, vértices o esquinas en ninguna perspectiva. Eso es para mí, una imagen suficientemente clara de una esfera n-dimensional.

En cuanto al problema de la interpretación, cabe cuestionar sobre la existencia de las figuras en la realidad, o de si se trata de pura especulación virtual. Al respecto, hasta el nivel del cubo no veo ningún problema: la prueba evidente es la existencia de la línea, el cuadrado y el cubo, y la utilidad práctica que tienen. En el nivel de la cuarta dimensión, pareciera que el teseracto se refiere al tiempo, puesto que implica el movimiento del cubo, aunque eso tendría que argumentarse con más calma. Dejo en duda, para no perder confiabilidad, la existencia o no en la realidad del teseracto, pero quisiera aclarar que si el mundo fuera tridimensional no tendría movimiento, así que el teseracto puede ayudar a solucionar el problema de la existencia del tiempo. En cuanto a que las n dimensiones tengan un carácter espiritual, esto es un malentendido puesto que se les puede considerar como una extensión por analogía de las figuras consideradas reales: esto no tiene que ver con la postulación de su existencia o no, bien podrían existir, o bien podrían no existir.

Por lo pronto, se denota que el teseracto aplanado en términos simbólicos puede tener valor arquitectónico y para la comprensión de figuras en cuarta dimensión, tema que tendría que ser analizado y verificado junto con los profesionales de la psicología, puesto que parece muy extraño que criaturas que sólo perciben objetos tridimensionales puedan comprender completamente un objeto en cuarta dimensión. Resulta más asombroso aún que sea posible especular sobre una figura de dimensión infinita como la esfera n-dimensional.

En cuanto a la utilidad práctica de los hipercubos, el teseracto puede ser usado para desarrollar funciones lógicas desde la perspectiva de la lógica difusa, así como para el diseño de redes computacionales. También ha sido posible modelar el código genético con el uso de la sexta dimensión representada por el hexeracto.