Matemáticas/Geometría/Paralelogramos/Rectángulo

Rectángulo ABCD.

En geometría plana, un rectángulo es un paralelogramo cuyos cuatro lados forman ángulos rectos entre sí. Los lados opuestos tienen la misma longitud.

El perímetro de un rectángulo es igual a la suma de todos sus lados:

$P=2\cdot b+2\cdot a\,$

El área de un rectángulo es igual al producto de dos de sus lados contiguos:

$A=b\cdot a$

Definición

Un rectángulo es una figura geométrica que posee cuatro ángulos interiores de 90º. Es un paralelogramo, es decir, todos sus lados son paralelos dos a dos.

Propiedades

• Sus lados paralelos son iguales.
• Sus dos diagonales son iguales, y se bisecan mutuamente o se cortan en el punto medio común; (esta característica también lo define). Este punto es el centro de la figura, en el sentido que toda recta que pasa por él, corta al rectángulo en dos puntos equidistantes del centro, por lo que define una simetría respecto a un punto para puntos del rectángulo.
• Se puede pavimentar el plano, repitiendo infinitos rectángulos.
• El rectángulo tiene dos simetrías axiales, respecto a ejes paralelos a sus lados y que pasan por el centro.
• Posiblemente, de modo empírico, en el antiguo Egipto se obtuvo la terna pitagórica 3 - 4 - 5, como medidas de los lados y la diagonal de un rectángulo, y lo usaron en la cuerda del agrimensor de 15 nudos.
• Si se unen los cuatro puntos medios de los cuatro lados, mediante cuatro segmentos, se obtiene un rombo cuya área es la mitad de la del respectivo rectángulo.
• Cualquier rectángulo se puede inscribir en una circunferencia, dos de cuyos diámetros coinciden con las diagonales del rectángulo.
• Usando como base de un triángulo una base del rectángulo y el punto medio de del lado opuesto, como vértice opuesto, resulta un triángulo isósceles de área igual a la mitad de la del rectángulo.
• Empleando como base de cualquier triángulo la base del rectángulo y como vértice opuesto un punto que dista como la altura del rectángulo, se obtiene una familia de triángulos equivalentes y cuyos vértices forman un lugar geométrico: la recta paralela a la base del rectángulo.
• Si se unen los puntos medios M, N; P, Q de sendos lados de un rectángulo, mediante segmentos se genera el rombo MNPQ.

Rectángulos con nombre propio

Rectángulo áureo.

• El cuadrado se puede considerar un caso particular del rectángulo, en el que todos sus lados tienen la misma longitud.
• El rectángulo áureo, también denominado rectángulo de oro o rectángulo Φ, es el rectángulo cuyos lados están en razón áurea. Si b y h son los lados, b/h = Φ. Para construirlo a partir de un cuadrado de lado AB, basta con determinar el punto medio M de uno de los lados AB, y trazar, con centro en el punto M, una circunferencia que pase por uno de los vértices C del lado opuesto.

Véase también: Número áureo

Representación gráfica de un ortoedro que generaliza la construcción de un rectángulo, en el espacio euclídeo tridimensional.

• Rectángulo ${\sqrt {2}}$ (rectángulo raíz de 2), aquel cuya relación entre base y altura es igual a la raíz cuadrada de dos. Si b y h son los lados, b/h = ${\sqrt {2}}$. El interés de este rectángulo radica en que si es dividido en dos mitades, por su lado más largo, los dos nuevos rectángulos obtenidos mantienen exactamente la misma proporción que el original, o sea que son también rectángulos raíz de 2. Es por ello que, entre otros usos, es el formato utilizado para dimensionar las hojas de papel según las normas DIN 476 e ISO 216.

Construcción partiendo del cuadrado: de forma similar al rectángulo áureo, se traza con centro en el punto A, una circunferencia que pase por el vértice opuesto C.

• Doble cuadrado, aquel cuyos lados están en la relación 2:1.
• Pantallas de televisión. Hasta la introducción de los monitores de alta definición, cuya relación [ancho:alto] habitual es [16:9], los sistemas de televisión convencionales utilizaban rectángulos con la proporción [4:3]. Dado que estas proporciones son fijas, basta con conocer la medida de la diagonal (normalmente expresada en pulgadas) para establecer el tamaño de la pantalla.

Rectángulos cruzados

Un cuadrilátero cruzado (es decir, que se interseca a sí mismo) consiste en dos lados opuestos de un cuadrilátero junto con sus dos diagonales (véase antiparalelogramo). Del mismo modo, un rectángulo cruzado es un cuadrilátero cruzado formado por dos lados opuestos de un rectángulo junto con sus dos diagonales. Tiene la misma disposición de vértices que el rectángulo. Aparece como dos triángulos idénticos con un vértice común. La intersección geométrica no se considera un vértice propiamente dicho.

Un cuadrilátero cruzado a veces se asemeja a un lazo de pajarita o a una mariposa. Un marco rectangular de alambre toma la forma de un cuadrilátero cruzado cuando se hacen girar en un espacio tridimensional sus lados cortos en sentido opuesto. Un rectángulo cruzado a veces también se denomina un "ocho angular".

El interior de un rectángulo cruzado puede tener un densidad poligonal de ± 1 en cada triángulo, dependiendo de la orientación (en sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario) con la que se recorrran.

Un rectángulo cruzado no es equiangular. La suma de sus ángulos interiores (dos agudos y dos obtusos), como en cualquier cuadrilátero cruzado, es de 720°.

Un rectángulo y un rectángulo cruzado son cuadriláteros con las siguientes características en común:

• Los lados opuestos tienen la misma longitud.
• Las dos diagonales tienen la misma longitud.
• Tiene dos líneas de simetría de reflexión y simetría rotacional de orden 2 (180°).

Cuadrado, perfecto, y otros rectángulos

Un rectángulo puede ser embaldosado mediante cuadrados, rectángulos, o triángulos. Se dice que el recubrimiento es Perfecto si todas las baldosas son semejantes, tiene un número finito de baldosas, y no hay dos baldosas del mismo tamaño. Si dos de estas baldosas son del mismo tamaño, se dice que el recubrimiento es imperfecto. En un recubrimiento perfecto (o imperfecto) triangulado, los triángulos deben ser rectángulos.

Un rectángulo tiene lados conmensurables sí y solo sí puede ser recubierto por un número finito de cuadrados distintos. Lo mismo es cierto si las baldosas son triángulos isósceles desiguales.

Los recubrimientos de rectángulos con otras formas geométricas que han atraído la mayor atención son los de poliominós no rectangulares congruentes, permitiendo todas las rotaciones y reflexiones. También hay embaldosados ​​mediante poliábolos congruentes.