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Matemáticas/Geometría Analítica/Tridimensional/Coordenadas Esféricas

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El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio , el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ.

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de -90° a 90° (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del azimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0° a 360° (0 a 2π en radianes) o de -180° a +180° (-π a π).

Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.

Convenios utilizadas

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Convenio no estadounidense

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La mayoría de los físicos, ingenieros y matemáticos no norteamericanos escriben:

  • φ ,el azimut  : de 0° a 360°
  • θ ,la colatitud : de 0° a 180°

Esta es la convención que se sigue en este artículo. En el sistema internacional, los rangos de variación de las tres coordenadas son:

La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ; vuelve a aumentar, pero θ pasa a valer π-θ y φ aumenta o disminuye en π radianes.

Convenio estadounidense

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Actualmente, el convenio usado en los EE. UU. es el mismo que el europeo. Para denotar el ángulo azimutal se usa θ y para referirse al polar, latitud o colatitud se usa φ.

Líneas y superficies coordenadas

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Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas esféricas, estas son:

  • Líneas coordenadas : Semirrectas radiales partiendo del origen de coordenadas.
  • Líneas coordenadas θ: Semicírculos verticales (meridianos)
  • Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales (paralelos).

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijando sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

  • Superficies =cte.: Esferas con centro en el origen de coordenadas.
  • Superficies θ=cte.: Conos rectos con vértice en el origen.
  • Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

Referencias

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Bibliografía

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  • Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953. pp. 658. ISBN 0-07-043316-X. 
  • The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956. pp. 177–178. 
  • Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961. pp. 174–175. ASIN B0000CKZX7. 
  • Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967. pp. 95–96. 
  • «Spherical Coordinates (r, θ, ψ)». Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed., 3rd print edición). New York: Springer-Verlag. 1988. pp. 24–27 (Table 1.05). ISBN 978-0-387-18430-2. 
  • Practical Astronomy with your Calculator or Spreadsheet, 4th Edition. New York: Cambridge University Press. 2011. pp. 34. ISBN 978-0521146548.