Geometría Analítica/Plano Tridimensional/Sistema de Coordenadas/Cilindrícas

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El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o azimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,), donde:

  • ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto al eje , o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano
  • φ: Coordenada azimutal, definida como el ángulo que forma con el eje la proyección del radiovector sobre el plano .
  • : Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano .
Cylindrical coordinate surfaces.png

Los rangos de variación de las tres coordenadas son

La coordenada azimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.

Relación con otros sistemas de coordenadas[editar]

Relación con las coordenadas cartesianas[editar]

Coordenadas cilíndricas y ejes cartesianos relacionados.

Teniendo en cuenta la definición del ángulo φ, obtenemos las siguientes relaciones entre las coordenadas cilíndricas y las cartesianas:

Líneas y superficies coordenadas[editar]

Las líneas coordenadas son aquéllas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilíndricas, éstas son:

  • Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje .
  • Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales.
  • Líneas coordenadas : Rectas verticales.
Lineas coordenadas cilindricas.png

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

  • Superficies ρ=cte.: Cilindros rectos verticales.
  • Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.
  • Superficies =cte.: Planos horizontales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.