Geometría Analítica/Circunferencia/Ecuaciones de la circunferencia

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Ecuación en coordenadas cartesianas[editar]

circunferencia de radio dos en un sistema de coordenadas

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación

.

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica a

.

La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.

De la ecuación general de una circunferencia se deduce que:

resultando:

Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: , la ecuación de la circunferencia es:

Ecuación vectorial de la circunferencia[editar]

En el espacio vectorial R2, la circunferencia con centro en el origen y radio R, viene dada por la ecuación vectorial:

,

donde es el parámetro de la curva, además cabe destacar que . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que la componente x y la componente y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio vectorial R3 esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro z libre.

De manera más general, si c es un punto fijo, x un punto variable cualquiera (ambos de R2) y r un real positivo, la ecuación vectorial

representa una circunferencia de centro c y radio r.[1] La doble barra vertical representa la norma vectorial; en este caso corresponde a la distancia euclidiana constante de valor r.

Ecuación en coordenadas polares[editar]

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como

Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la ecuación se transforma en:

Ecuación paramétrica de la circunferencia[editar]

La circunferencia con centro en (a, b) y radio r se parametriza con funciones trigonométricas como:

donde t es el parámetro, que varía en el rango indicado. También se puede parametrizar con funciones funciones racionales como

donde t no solo recorre todos los valores reales, sino también un punto en el infinito.[2]

Ecuación en el plano complejo[editar]

En el plano complejo, una circunferencia con centro c y radio (r) tiene como ecuación . En forma paramétrica puede ser escrita como .

  1. Haaser, La Salle, Sulivan: Análisis Matemático I
  2. Consúltese para el caso en Geometría analítica de Pastor, Santaló y Balanzat, pág. 76