Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Historia/Números Inconmensurables»
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=== Descubrimiento de los inconmensurables === |
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Las circunstancias y la fecha de este descubrimiento son inciertas, aunque se atribuye a la escuela pitagórica (se utiliza el Teorema de Pitágoras). Aristóteles menciona una demostración de la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con respecto a su lado basada en la distinción entre lo par y lo impar. La reconstrucción que realiza C. Boyer es: |
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== Definiciones Básicas == |
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Una '''estructura algebraica''' es un lista o sucesión finita <math><E, *_1, *_2, ...></math> donde <math>E</math> es un conjunto (conjunto base de la estructura) y <math>*_1, *_2,...,> </math> son operaciones en <math>E</math>. |
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Sean d:diagonal, s:lado y d/s racional que podremos escribirlo como <math>p/q</math> con p y q primos entre sí. Por el teorema de Pitágoras tenemos que <math> d^2=s^2+s^2</math> , <math>(d/s)^2=p^2/q^2=2</math>, entonces <math>p^2=2q^2</math> y por tanto <math>p^2</math> debe ser par y también p, y por tanto q impar. Al ser p par tenemos <math>p=2r</math>, entonces <math>4r^2=2q^2</math> y <math>2r^2=q^2</math>, entonces <math>q^2</math> es par y q también, entonces q es par e impar con lo que tenemos una contradicción. |
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El tipo de la estructura queda determinado por las operaciones y sus propiedades. |
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La teoría pitagórica de ''todo es número'' quedó seriamente dañada. |
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Una '''subestructura''' de una estructura es una estructura cuyo conjunto base es un subconjunto del conjunto de la estructura y que respecto a las operaciones restringidas al subconjunto determinan una estructura del mismo tipo. |
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=== Estructuras con Operaciones Externas === |
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El problema lo resolvería Eudoxo de Cnido (408-355 a. C.) tal como nos indica Euclides en el libro V de ''Los elementos''. Para ello estableció el Axioma de Arquímedes: ''Dos magnitudes tienen una razón si se puede encontrar un múltiplo de una de ellas que supere a la otra'' (excluye el 0). Después en la Definición-5 da la famosa formulación de Eudoxo: ''Dos magnitudes están en la misma razón <math>a/b=c/d </math> si dados dos [[número natural|números naturales]] cualesquiera m y n, si <math> ma = nb </math> entonces <math>mc = nd</math> (definición que intercambiando el 2º y 3º términos equivale a nuestro procedimiento actual). |
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Una operación externa en un conjunto <math>E</math> es uan función de la forma |
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<math> A \times E \rightarrow E </math>; es decir la asociación a un elemento de $A$ y un elemento de $E$ de un nuevo elento de <math>E</math>. |
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En el libro de J.P. Colette se hace la observación de que esta definición está muy próxima a la de número real que dará [[Richard Dedekind|Dedekind en el siglo XIX, divide las fracciones en las <math>m/n</math> tales que <math>ma = nb</math> y las que no. |
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* '''Módulo''' es un grupo abeliano <math><M,+></math> con operación escrita como suma y una operación externa proveniente de un anillo <math>A</math>, <math> (a,x) \rightarrow ax</math> (multiplicación por escalr ) tal que para todo <math> a, b \in A</math> y <math> x,y \in M</math> se cumple que |
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<center><math> |
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\begin{array}{rcl} |
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(a+b)x &=& ax + bx \\ |
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(ab)x &=& a(bx) \\ |
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1 x & = & x \\ |
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a(x+y) & = & ax + ay. |
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\end{array} |
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</math></center> |
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Los elementos de <math>A</math> son los escalares. |
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* Un '''Espacio Vectorial''' es un modulo cuyo anillo es un cuerpo. |
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* Una '''Álgebra''' es un módulo provisto de multiplicación distributiva sobfre la suma del módulo y compatible con la multiplicación por escalares. |
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<big>Ejemplos.</big> |
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# Los vectores de los cursos de Cálculo multidimensional y los espacio vectorailes del älgebra Lineal son espacios vectoriales con escalares los números reales. |
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# Las matrices y los polinomios forman álgebras con escalafres los Reales. |
Revisión del 19:42 15 dic 2018
Descubrimiento de los inconmensurables
Las circunstancias y la fecha de este descubrimiento son inciertas, aunque se atribuye a la escuela pitagórica (se utiliza el Teorema de Pitágoras). Aristóteles menciona una demostración de la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con respecto a su lado basada en la distinción entre lo par y lo impar. La reconstrucción que realiza C. Boyer es:
Sean d:diagonal, s:lado y d/s racional que podremos escribirlo como con p y q primos entre sí. Por el teorema de Pitágoras tenemos que , , entonces y por tanto debe ser par y también p, y por tanto q impar. Al ser p par tenemos , entonces y , entonces es par y q también, entonces q es par e impar con lo que tenemos una contradicción.
La teoría pitagórica de todo es número quedó seriamente dañada.
El problema lo resolvería Eudoxo de Cnido (408-355 a. C.) tal como nos indica Euclides en el libro V de Los elementos. Para ello estableció el Axioma de Arquímedes: Dos magnitudes tienen una razón si se puede encontrar un múltiplo de una de ellas que supere a la otra (excluye el 0). Después en la Definición-5 da la famosa formulación de Eudoxo: Dos magnitudes están en la misma razón si dados dos números naturales cualesquiera m y n, si entonces (definición que intercambiando el 2º y 3º términos equivale a nuestro procedimiento actual).
En el libro de J.P. Colette se hace la observación de que esta definición está muy próxima a la de número real que dará [[Richard Dedekind|Dedekind en el siglo XIX, divide las fracciones en las tales que y las que no.