Revisión del 22:32 1 mar 2016

Definiciones Básicas

Una estructura algebraica es un lista o sucesión finita $<E,*_{1},*_{2},...>$ donde $E$ es un conjunto (conjunto base de la estructura) y $*_{1},*_{2},...,>$ son operaciones en $E$ .

El tipo de la estructura queda determinado por las operaciones y sus propiedades.

Una subestructura de una estructura es una estructura cuyo conjunto base es un subconjunto del conjunto de la estructura y que respecto a las operaciones restringidas al subconjunto determinan una estructura del mismo tipo.

Estructuras con Operaciones Externas

Una operación externa en un conjunto $E$ es uan función de la forma $A\times E\rightarrow E$ ; es decir la asociación a un elemento de $A$ y un elemento de $E$ de un nuevo elento de $E$ .

Módulo es un grupo abeliano $<M,+>$ con operación escrita como suma y una operación externa proveniente de un anillo $A$ , $(a,x)\rightarrow ax$ (multiplicación por escalr ) tal que para todo $a,b\in A$ y $x,y\in M$ se cumple que

{\begin{array}{rcl}(a+b)x&=&ax+bx\\(ab)x&=&a(bx)\\1x&=&x\\a(x+y)&=&ax+ay.\end{array}}

Los elementos de $A$ son los escalares.

Un Espacio Vectorial es un modulo cuyo anillo es un cuerpo.
Una Álgebra es un módulo provisto de multiplicación distributiva sobfre la suma del módulo y compatible con la multiplicación por escalares.

Ejemplos.

Los vectores de los cursos de Cálculo multidimensional y los espacio vectorailes del älgebra Lineal son espacios vectoriales con escalares los números reales.

Las matrices y los polinomios forman álgebras con escalafres los Reales.

Semigrupos y Lenguajes

Una situación ingeresante aparece en la tgeorái de los lenguajes de programación.

Necesitaremos unas definiciones previas.

Alfabeto es un conjunto finito $\Sigma$ .
Palabra sobre el alfabeto $\Sigma$ es una concagtenación de símbolos (escribir uno detrás del otro).
$\mathbf {\Sigma } ^{+}$ el conjunto formado por todas las palabaras posibles con elementos del alfabeto $\Sigma$ .
$\mathbf {\Sigma } ^{*}$ (sigma star) es $\Sigma *$ con la palabra vacía (sin legtras) $\epsilon$ agregada.

Ejemplo.

Sea

\Sigma =\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}

.

Las palabras de

\Sigma

son los números decimales enteros: 123, 0456, etc.

Proposición

$\Sigma ^{+}$ con la concagtenación de palabras (escibir una al lado de la otra) es un semigrupo.

\Sigma ^{*}

es un monoide, la palabra vacía es el neutro de la operación.

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 Una '''subestructura''' de una estructura es una estructura cuyo conjunto base es un subconjunto del conjunto de la estructura y que respecto a las operaciones restringidas al subconjunto determinan una estructura del mismo tipo.
-=== Estructuras con dos Operaciones ===
-La estructura típica con dos operaciones es un '''anillo''' <math><A, + \cdot></math> tal que: <math><A,+></math> es un grupo abeliano, <math><A,\cdot></math> es un semigrupo, y la multiplicación es distributiva respecto a la suma.
-:Un anillo es ''''cancelativo'''' cuando todos sus elementos no nulo son cancelables.
-:Un ''''cuerpo'''' es un anillo cuyo semigrupo multiplicativo es un cuerpo.
-<big> Ejemplos </big>
-# Los Enteros con la suma y la multiplicación determina un anillo.
-# Los Racionales, los Reales y los Complejos, con la suma y multiplicación usuales, determinan cuerpos.
-# Las matrices <math> 2 \times 2</math> con entradas reales formam un anillo,
 === Estructuras con Operaciones Externas ===