Conjuntos numéricos/Los números naturales/La Axiomática de Peano

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Conjuntos ordinales[editar]

Conjuntos transitivos[editar]

Definición:

Diremos que un conjunto es transitivo si cada elemento de cada elemento de es a su vez un elemento de . Es decir, si se cumple que cualesquiera que sean el y el , entonces .

Proposición[editar]

Un conjunto es transitivo si y sólo si .

Demostración:

Supongamos que es un conjunto transitivo, es decir, que cualesquiera que sean e , se tiene que . Así, por definición de subconjunto, .

Recíprocamente, supongamos que es un conjunto de manera que si , entonces . Sea . Si , entonces es ya automáticamente . Sea pues , y sea . Luego . Así pues, es transitivo.

Q.E.D.

Proposición[editar]

Si es un conjunto transitivo, su sucesor es también un conjunto transitivo.

Demostración:

Sea . Entonces, o es , o es . Sea . En el caso en que , entonces es , luego . En el caso en que , como es transitivo, entonces , luego .

En cualquier caso, queda demostrado que es de nuevo transitivo.

Q.E.D.

Ordinales[editar]

Definición:

Diremos que un conjunto transitivo es un ordinal si la relación definida por si y sólo si o es un buen orden en .

Proposición[editar]

El sucesor de todo ordinal es un ordinal.

Demostración:

Un conjunto es un ordinal si es transitivo y está bien ordenado por la relación . Ya hemos demostrado que el sucesor de todo conjunto transitivo es transitivo. Falta demostrar que el sucesor de un ordinal también está bien ordenado por la relación .

Sea un ordinal. Consideremos su sucesor . Para demostrar que es un buen orden en hemos de demostrar primero que es efectivamente un orden:

Sea . Como , entonces es , y la relación es reflexiva en .

Sean de forma que y que . Tenemos las siguientes posibilidades:

  • : como es un ordinal, está bien ordenado por , luego en particular es un orden en , y es antisimétrica. Es decir, como y además y , entonces .
  • y :
Como , tenemos estas dos opciones:
  • Si : es transitivo, y , con lo que es transitivo. Ahora bien, , y transitivo implican que , contradicción. Luego no puede ser que (o sea, este caso no se puede dar).
  • Si , entonces como y , sería , contradicción (o sea, que este caso tampoco se puede dar).
Esto prueba que no es posible que ocurran a la vez , , y . Este caso, entonces, nunca se da.
  • y : obviamente llegamos a la misma contradicción que en el caso anterior (o sea, este caso tampoco se puede dar).
  • y : entonces es .

Con lo cual hemos demostrado que la relación es antisimétrica.

Sean de forma que y que . Tenemos las siguientes posibilidades:

  • y : entonces es , esto es, .
  • y : entonces es , esto es, .
  • y : entonces es , esto es, .
  • y :
  • Si , es entonces transitivo. Como , y es transitivo, entonces es , esto es, .
  • Si , tenemos los siguientes casos:
  • : tenemos que , y es transitivo, luego . Como , , y es transitivo, concluimos que , i.e., . Contradicción. Así que este caso no se puede dar.
  • : tendríamos que , y transitivo, luego sería . Pero , luego resultaría , contradicción. Este caso tampoco es posible, y por lo tanto nunca se da.
  • , y . Entonces es , , y como es ordinal, es relación de orden en , luego es transitiva, y al ser , concluimos que .

Así, es relación transitiva en , y por todo lo anterior es un conjunto ordenado.

Ahora resta por comprobar que es un buen orden en , es decir, que todo subconjunto no vacío de tiene elemento mínimo según la relación .

Sea pues con . Si , entonces es elemento mínimo de . Supongamos que . Entonces y . Entonces tiene primer elemento para la relación en , y por la propia definición de , es claro que es también primer elemento para la relación en . Por último, si y , entonces y . Así, existe un de forma que es elemento mínimo de . Como , entonces es , luego , y es elemento mínimo de .

Q.E.D.

Ejemplos de ordinales.[editar]

La proposición anterior nos dota de una herramienta para construir ordinales. en efecto, es inmediato comprobar que es un ordinal. Por la proposición anterior, es también un ordinal. Así, calculando sucesivamente los sucesores de cada ordinal obtenido, obtenemos que son también ordinales: , ,...

Definición[editar]

Diremos que un conjunto es un ordinal sucesor si existe un conjunto de forma que sea un ordinal y que .

Diremos que un conjunto ordinal es un número natural si se cumple que para cada , o bien es o bien es es un ordinal sucesor.