Matemáticas/Cálculo en una variable/Continuidad

Definición formal

Distintas situaciones de una función en un punto.

F u n c i \overset{´}{o} n {\begin{matrix} C o n t i n u a {\begin{matrix} D e r i v a b l e \\ N o d e r i v a b l e \end{matrix} \\ D i s c o n t i n u a {\begin{matrix} E v i t a b l e \\ E s e n c i a l {\begin{matrix} D e p r i m e r a e s p e c i e {\begin{matrix} D e s a l t o f i n i t o \\ D e s a l t o i n f i n i t o \\ A s i n t \overset{´}{o} t i c a \end{matrix} \\ D e s e g u n d a e s p e c i e \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix}

Continuidad en un punto

Una función f(x) es continua en un punto $x_{0}$ si verifica que:

\forall ϵ > 0 \exists δ > 0 / | x - x_{0} | < δ \Rightarrow | f (x) - f (x_{0}) | < ϵ

Informalmente esta definición quiere decir que podemos hacer que la imagen de un punto sea todo lo cercana que queramos a $f (x_{0})$ tan solo acercando el punto x a $x_{0}$

Continuidad en un intervalo

Como resulta intuitivo, una función es continua en un intervalo si lo es en cada uno de sus puntos.

f(x) es continua en [a,b] $⟺ \forall x \in [a, b]$ f(x) es continua.

Propiedades

Sean f(x) y g(x) funciones continuas. Se verifica:

af(x) es continua $a \in ℝ$
f(x)+g(x) es continua
f(x)g(x) es continua
f(g(x)) es continua