Aritmética/Propiedades de la División/Mínimo Común Multiplo

Definicion

El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero.

En matemáticas, el mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m) de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo común de todos ellos (o el ínfimo del conjunto de los múltiplos comunes). Este concepto ha estado ligado históricamente con números naturales, pero se puede usar para enteros negativos o enteros gaussianos.

Cálculo del mínimo común múltiplo (m.c.m)

Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar todos los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia

Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números debemos de descomponer el número en factores primos.

Por ejemplo:

Buscaremos en mínmo común multiplo de 40 y 60.

1. Descomponemos en factores primos el 40:

${\begin{array}{r|l}40&2\\20&2\\10&2\\5&5\\1&\end{array}}$

En este paso hemos dividido 40:2=20. Ahora buscaremos el mínimo divisor de 20 que es 2 y hacemos lo mismo 20:2= 10. Y seguiremos haciendo lo mismo con todos los anteriores.

Por lo tanto,el 40 se descompone en:

$40=2^{3}\times 5\,$

2. Una vez descompuesto el 40, haremos lo mismo con el 60.

${\begin{array}{r|l}60&2\\30&2\\15&3\\5&5\\1&\end{array}}$

Por lo tanto, el 60 se descompone en:

$60=2^{2}\times 3\times 5,$

3. Para hallar el mínimo común divisor (mcd) de 40 y 60, para ello, tenemos que coger los comunes y no comunes al mayor exponente.

Por lo que se quedaria:

$mcm(40,60)=2\times 2\times 2\times 3\times 5=120$

Por lo que el mínimo común multiplo de 40 y 60 sería 120.

Otros ejemplos del mínimo común múltiplo (mcm)

Ejemplo 1: Averiguar el m.c.m. de Sacar el M.C.D. de 20 y 10:

20 = 20, 40, 60, 80..... 10= 10, 20, 30, 40....

20 es el múltiplo menor que es común a ambos números.

Múltiplos: los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5.....

Ejemplo 2: múltiplos del 7: 7x0 = 0; 7x1 = 7; 7x2 = 14; 7x3 = 21; 7x4 = 28; 7x5 = 35 ....

O sea son múltiplos del 7: 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 48, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168...

Ejemplo 3: Calcular el m. c. m. de 4, 5 y 6.

Se hace la descomposición de factores (que ya la explicamos en el máximo común divisor). Lo hacemos de la siguiente forma:

4= 2x2 5= 5 6= 2x3

Se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y se multiplican: 2x2 x3 x5 = 60. El mcm de 4, 5 y 6 es 60.

Propiedades básicas

1. Si a es un entero, entonces [a, a] = a
2. Cuando a y b son enteros, [a, b] = b si, sólo si b es múltiplo de a.
3. (a,b) = [a,b] si son iguales u opuestos.
4. [a, b] = [ab] si, sólo si (a,b)= 1
5. [a/d, b/d] = [m/a, m/b] donde m = mcm y d = mcd.
6. [ma,b]= m[a,b] si ([a,b]/a,m) = 1
7. [a,b,c]= [[a,b], [b,c]]
8. [a, b, c]|abc, donde abc ≠ 0
9. [a,b,c] = abc (a,b,c)/(a,b)(b,c)(c,d)

• Si el producto de dos números lo dividimos por su máximo común divisor dicho cociente es el mínimo común múltiplo.

A y B que descompuestos en números primos será A=(p₁·p₂)·p₃·p₄ y B=(p₁·p₂)·p₅·p₆ donde si m.c.d. es (p₁·p₂) y el producto de A·B=(p₁·p₂)·p₃·p₄·(p₁·p₂)·p₅·p₆ donde vemos que (p₁·p₂) está repetido dos veces, luego si dividimos ese total por (p₁·p₂) tendremos el total menor que contiene a A y B siendo su mcm

• El mínimo común múltiplo de dos números, donde el menor divide al mayor, será el mayor. Es lógico ya que un múltiplo de ambos inferior al mayor sería imposible ya que no sería múltiplo del mayor.
• El mínimo común múltiplo de dos números primos es el total de su multiplicación. Esto es lógico ya que su máximo común divisor es 1.
• El mínimo común múltiplo de dos números compuestos será igual al cociente entre su producto y el m.c.d de ellos. Es evidente según la propiedad 1 de este tema.
• El máximo común divisor de varios números es un divisor del mínimo común múltiplo de tales números.
• Sea mZ el conjunto de los múltiplos del entero m, nZ el del entero n. Entonces el conjunto nZ∩mZ está formado por los múltiplos comunes de m y n; en otra notación es el conjunto [m,n]Z.