Apuntes matemáticos/Texto completo

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Sumario

Programa de Primer año de Ciclo Básico[editar]

Unidad 1: Los números.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Los números reales.
  • La recta Real.
  • Noción de relación de orden.
  • Distintas expresiones de un número real.
  • Valor absoluto de un número real.

Enlaces[editar]

para estudiar estos temas te indico los siguientes enlaces:

Unidad 2: Técnicas Operatorias con números.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre :

  • Adición y multiplicación de naturales, enteros y racionales.
  • Sustracción en el campo de los naturales, enteros y racionales.
  • Potenciación en el campo de los naturales, enteros y racionales, siempre con exponente natural.

Unidad 3: Divisibilidad en el conjunto de los Naturales.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • División exacta y entera con naturales.
  • Múltiplos, divisores, números primos y descomposición factorial.

Unidad 4: Proporcionalidad y porcentaje.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Relación de proporcionalidad directa.
  • Porcentaje. Porcentaje de porcentaje. Aumento y disminución porcentual.

Unidad 5: Introducción a la geometría en el plano. Simetrías[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Resolución de problemas que involucren el uso de conceptos geométricos y de instrumentos de dibujo y de medida.
  • Simetría Axial y Central. Aplicaciones.

Unidad 6: Geometría en el espacio.[editar]

en esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Rectas y planos en el espacio.
  • Descripción y representación de prisma, cilindro y pirámide.


Programa de Segundo año de Ciclo Básico[editar]

Unidad 1: Números.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Números enteros, racionales, reales. Expresiones decimales.
  • Orden. Operaciones : Adición. Sustracción. Multiplicación. División. Potenciación.
  • Raíz cuadrada, notación científica.
  • Uso de la calculadora.

Unidad 2: Ecuaciones e inecuaciones de primer grado.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Presentar las ecuaciones e inecuaciones en diferentes conjuntos numéricos.
  • Proponer problemas que requieran simbolizar las cantidades desconocidas que sean identificadas en una situación específica y usarlas para representar las situaciones a través de una ecuación.

Unidad 3: Expresiones algebraicas.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Polinomios de una variable. Grado. Valor numérico.
  • Adición, Sustracción y multiplicación.

Unidad 4: Funciones.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Funciones entre conjuntos numéricos.
  • Interpretación de gráficas.
  • Funciones cuya expresión analítica es de la forma f(x) = ax + b con a y b reales, definidas en diferentes dominios.

Unidad 5: Geometría del triángulo.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Figuras convexas. Ejemplos.
  • intersección de figuras convexas.
  • Triángulos. Definición como figura convexa. Revisión de Clasificación.
  • Relación entre los elementos del triángulo, entre ángulos, entre lados y entre lados y ángulos.
  • Líneas y puntos notables en el triángulo: Mediatrices, bisectrices, Medianas y Alturas. Circuncentro, Incentro, Baricentro y Ortocentro.
  • Construcción de triángulos.

Unidad 6: Funciones del plano en el plano.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • No isométricas. Homotecia.
  • Isométricas. Traslación (cuadriláteros y paralelogramos)
  • Rotación.

Unidad 7: Geometría del Espacio.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Revisión de las posiciones relativas entre rectas, entre rectas y planos y entre planos.
  • Paralelismo. Definiciones y estudio de algunas de sus propiedades.
  • Perpendicularidad; entre rectas, rectas y planos y entre planos.
  • Noción de ortogonalidad; en cubo y en pirámides regulares.
  • Representación del espacio en el plano. Proyecciones.
  • Nociones elementales sobre la representación perspectiva caballera.


Programa de Tercero año de Ciclo Básico[editar]

Unidad 1: Polinomios.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Factorización de polinomios, aplicaciones de Factor común y productos notables.
  • Bosquejo de la gráfica de funciones de segundo grado de la forma

f(x) = ax2; f(x) = ax2 + c; f(x) = ax2 +bx

  • Resolución de la ecuación completa de segundo grado.
  • Bosquejo gráfico de la función de la forma f(x)= ax2 + bx + c.

Unidad 2: Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Ecuación de primer grado con dos incógnitas.
  • Conjunto solución. Ecuación de la recta.
  • Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
  • Problemas de primer grado con dos incógnitas.

Unidad 3: Inecuaciones. Sistemas de inecuaciones.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Inecuación del semiplano.
  • Regiones del plano.
  • Sistema de Ecuaciones lineales.

Unidad 4: Resolución de problemas sobre triángulos y paralelogramos.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Resolución de problemas sobre triángulos y paralelogramos.

Unidad 5: Teorema de Thales. Teorema de Pitágoras.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Proporcionalidad directa; Criterio general.
  • Teorema de Thales.
  • Triángulo rectángulo. Teorema de Pitágoras
  • Proporcionalidad en el triángulo. Puntos medios y Paralela media.

Enlaces[editar]

Unidad 6: Trigonometría.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Relaciones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Unidad 7: Geometría del Espacio. Resolución de problemas.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Prisma recto. Cubo y Pirámide.

Unidad 8: Introducción a la Estadística.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Población. Muestra. Datos estadísticos.
  • Frecuencia Absoluta. Frecuencia relativa.
  • Representación de datos estadísticos.
  • Medidas de centralización y de dispersión de un conjunto de datos.

Unidad 9: Probabilidad.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Probabilidad de un susceso.
  • Sucesos equiprobables. Definición de Laplace.
  • Frecuencia Relativa y Probabilidad.
  • La ley de los grandes números.


Apuntes de Geometría[editar]

Clasificación de los ángulos[editar]

Otra clasificación de los ángulos[editar]

Complementarios: Son aquellos que su suma resultados 90º.

Complemento de ángulo: Es la medida que le falta al ángulo agudo para completar 90º.

Suplementarios: Son aquellos ángulos que su suma resultados 180º.

Suplemento de ángulo: Es la medida que le falta al ángulo agudo para completar 180º.

Ángulos consecutivos o contigüos: Son aquellos que tienen un lado en común.

Adyacentes: Son aquellos ángulos que tienen un lado en común y el otro lado sobre una misma recta. Dos ángulos adyacentes son son siempre suplementarios, su suma resultados 180º.

Opuestos por el vértice : Los dos ángulos son opuestos por el vértice cuando al prolongar los lados de un ángulo se forman los vértices de otro ángulo.

Coplenarios: Un ángulo convexo se prolonga mediante rayos opuestos por sus lados, el ángulo así formado está en una región limitada por un ángulo cóncavo. Estos ángulos suman 360º. Se les denomina coplenarios. El interior del cóncavo es el exterior del convexo, y el interior de este es el exterior del ángulo convexo.

Coplenado: Es la medida que le falta a un ángulo para igualar a 360º [1] [2]

Importancia: con los avances de la geometría computacional, el estudio de los polígonos simples, que conllevan ángulos cóncavos, exige un viraje en el enfoque ortodoxo de la geometría plana.[3]

Clasificación de los triángulos[editar]

Clasificación de los triángulos

Los triángulos se pueden clasificar considerando sus ángulos y/o sus lados. Considerando la longitud de sus lados tenemos:

  • Triángulo equilátero: que tiene sus tres lados de igual longitud.
  • Triángulo isósceles: que tiene solamente dos lados iguales y el tercero es diferente a los otros dos.
  • Triángulo escaleno: que tiene sus tres lados de diferente longitud.

Considerando la amplitud de sus ángulos tenemos:

  • Triángulo obtusángulo: El que posee un ángulo obtuso. (y los otros dos resultan agudos)
  • Triángulo rectángulo: El que posee un ángulo recto. ( y los otros dos resultan agudos)
  • Triángulo acutángulo: El que posee los tres ángulos agudos.

Referencias[editar]

  1. Bruño, Geometría superior
  2. Goñi Galarza: Geometría plana y del espacio
  3. De Figueiredo-Pinto Carvalho: Introduçao à geometria computacional


Diversos apuntos sobre temas Algebraicos[editar]

Introducción[editar]

Introducción[editar]

Para resolver ciertos problemas o explicarlos es necesario utilizar escrituras con operaciones que tienen a la vez números y letras (que representan números desconocidos o cantidades cambiantes).
A estas escrituras se les llama expresiones algebraicas y a las letras que en ella aparecen se les llama variables.
Ejemplo de expresiones algebraicas son las fórmulas para calcular áreas o volúmenes de figuras geométricas.

La sustitución de los números por letras permite generalizar la aritmética.
Existen dos tipos principales de igualdad; la identidad y la ecuación. Ambas tienen propiedades en común, aunque sus significados son diferentes.
Una identidad es una proposición de igualdad que es válida para todos los valores de las letras que aparecen en ella.
Una ecuación es una proposición de igualdad válida sólo para algunos valores de las letras que aparecen en ella.
Si importar si los números son decimales, enteros, fracciones, positivos o negativos; las operaciones que realizamos con ellos mantienen las mismas propiedades. Esta situación da origen al cálculo algebraico donde los números están representados genéricamente por letras.

A la adición, sustracción, multiplicación y división las hemos llamado operaciones racionales, porque son siempre realizables en el campo de los números racionales, los que se pueden representar con una fracción.
A estas cuatro operaciones, junto con la potencia (porque es una multiplicación abreviada) y con la extracción de raíces las llamamos operaciones algebraicas. Llamamos expresión algebraica al resultado de efectuar, con números fijos y números representados por letras, una cierta cantidad contable de operaciones algebraicas.
Una expresión algebraica es una combinación de números, variables y operaciones como la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Se llaman términos de una expresión algebraica las partes de ésta que se encuentran separadas por signos de + o de -.

Definiciones adjuntas[editar]

Términos semejantes son aquellos que difieren solamente en sus coeficientes numéricos.
Fijando valores numéricos determinados a las letras, si con ellos son posibles las operaciones indicadas, resultará un cierto número que se llama valor numérico de la expresión para los valores atribuidos a las letras.
La habilidad para manipular las expresiones algebraicas es un requisito para progresar satisfactoriamente en la aplicación del álgebra; esta habilidad sólo se puede adquirir por medio de la práctica.

Propiedades de las operaciones[editar]

La adición y la multiplicación poseen las propiedades conmutativa, asociativa y existencia de elemento neutro.

Funciones[editar]

Clasificación de funciones[editar]

Función[editar]

Llamamos función de A → B a toda relación desde A hacia B de manera que cada elemento del Dominio tiene una y solo una imagen en el Codominio.

Función Inyectiva[editar]

Cuando para todo elemento distinto del dominio corresponde distinta imágenes.

Función Sobreyectiva[editar]

Cuando su codominio es igual al conjunto imagen.

Función Biyectiva[editar]

Cuando es Inyectiva y Sobreyectiva a la vez.

Crecimiento en Funciones[editar]

Decimos que la función y = f(x) es estrictamente creciente en el punto a, siempre que exista un entorno del punto a (a-ε; a + ε) tal que para todos los elementos x del semientorno izquierdo a - ε < x < a los valores funcionales de f(x) son menores que f(a) y para todos los elementos x del semientorno derecho a < x < a + ε los valores funcionales de f(x) son mayores que f(a).

Extremos relativos[editar]

Máximo relativo[editar]

Decimos que el punto de coordenadas ( a, f(a)) es un máximo relativo cuando existe un entorno del punto a ( a - E; a + E ) tales que para los puntos que pertenecen al entorno reducido de centro a y radio E, los valores funcionales f(x) son menores que f(a)

Mínimo relativo[editar]

De forma análoga; decimos que el punto de coordenadas ( a, f(a)) es un mínimo relativo cuando existe un entorno del punto a ( a - E; a + E ) tales que para los puntos que pertenecen al entorno reducido de centro a y radio E, los valores funcionales f(x) son mayores que f(a)

Extremos absolutos[editar]

Cuando un máximo relativo, es máximo para todo el conjunto de los reales, es decir no existe ningún otro valor de x de todo el dominio que su imagen f(x) supere al valor de f(a), entonces se llama máximo absoluto. Razonando de forma similar definimos el mínimo absoluto.

Límites[editar]

Sucesión[editar]

Se llama sucesión a un conjunto infinito de números, dados ordenadamente, de modo que hay un primero, un segundo, un tercero, etc, es decir, de modo que se correspondan con los números naturales.

Términos[editar]

Los elementos de la sucesión se llaman términos y se suelen designar mediante letras, con los subíndices correspondientes a los lugares que ocupa en la sucesión: a1, a2, a3 El término que representa un lugar cualquiera se llama término general y se designa por an. En la mayoría de los casos, disponenmos de recursos para expresar el término general mediante una fórmula sn = f(n).

Sucesiones especiales[editar]

Progresión aritmética: cuando cada uno de los términos se obtiene del anterior sumándole un número, llamado diferencia. Progresión geométrica: cuando cada uno de los términos se obtiene del anterior multiplicándolo por un número, llamado razón.

Productos notables[editar]

Términos semejantes[editar]

Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal. Por ejemplo: –2a2b y 5a2b son semejantes.
Los términos semejantes se pueden sumar (o restar) sumando o restando los coeficientes y conservando la parte literal.
Por ejemplo:

–2a2b + 5a2b = 3a2b

10x2z3 – 22x2z3 = – 12x2z3

Si los términos no son semejantes, no se pueden sumar o restar:

La operación 12a2b + 13ab2 no se puede reducir más, debido a que los términos no son semejantes.

Eliminación de Paréntesis[editar]

Para eliminar paréntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientes reglas:

(1) Si aparece un signo “+” delante de un paréntesis (o ningún signo), se elimina el paréntesis conservando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis.

(2) Si aparece un signo “-” delante de un paréntesis, se elimina el paréntesis cambiando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis.

Ejemplo:

2ab – (a + ab) + (3a – 4ab) =

Aplicando las reglas anteriores, tenemos:

2ab – a – ab + 3a - 4ab, reduciendo términos semejantes:

-2ab + 2a - ab

Producto de expresiones algebraicas[editar]

Producto de monomios[editar]

Se multiplican los coeficientes entre sí, y para multiplicar potencias de igual base, ocupamos la propiedad: “para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes”.

Ejemplo: 2x2y3 z · 4x4y2 = 8x6y5z

Producto de monomio por polinomio[editar]

Se aplica la propiedad distributiva, esto es: “el monomio multiplica a todos los términos del polinomio”.

Ejemplo:

2ab (3a - ab2 + 4b2c2) = 2ab . 3a - 2ab . ab2 + 2ab . 4b2c2 = 6a2b – 2a2b3 + 8ab3c2

Producto de binomio por binomio[editar]

Se multiplican todos los términos del primer binomio con los términos del segundo binomio.

Ejemplo:

(2a - 3b2c) (4a2 + 5ab3) = 2a . 4a2 + 2a . 5ab3 – 3b2c . 4a2 – 3b2c . 5ab3 = 8a3 + 10 a2b3 – 12 a2b2c – 15 ab5c

Producto de polinomio por polinomio[editar]

Al igual que en el caso anterior, se multiplican todos los términos del primer polinomio con todos los términos del segundo.

(2x – 3y + 4z2). (5x + 2xy + 4xz2) = 2x . 5x + 2x . 2xy + 2x . 4xz2 – 3y . 5x – 3y . 2xy – 3y . 4xz2 + 4z2 . 5x + 4z2 . 2xy + 4z2 . 4xz2 = 10x2 + 4x2y + 8x2z2 – 15xy – 6xy2 – 12xyz2 + 20xz2 + 8xyz2 + 16xz4

Productos notables[editar]

Son productos que, dada la frecuencia con que aparecen, es necesario memorizarlos para poder realizarlos más rápidamente.

Suma por su diferencia:[editar]

(a - b) (a – c) = a2 - b2

Cuadrado de binomio:[editar]

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 – 2ab + b2

Multiplicación de binomios con término común:[editar]

a2b+5a2-8a2-3a2b

Cuadrado de trinomio:[editar]

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

Cubo de binomio:[editar]

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Puedes hallar un mapa conceptual acerca de los productos notables en:

Productos notables[editar]

Puedes estudiar la interpretación geométrica de los productos notables en los siguientes sitios: ( tema incompleto) (1/2a + 3)

Desarrollo productos notables[editar]

Factorización[editar]

Consiste en expresar adiciones y/o sustracciones en términos de multiplicaciones. Los casos de factorización que estudiaremos son los siguientes:

Factor común[editar]

Se aplica cuando todos los términos tienen un divisor común diferente de 1. Ejemplo:

15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3

Aquí el factor común es: 5xy2z2, por lo tanto, la expresión dada se puede colocar de la forma:

15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3 = 5xy2z2 (3xz – y + 2x3y2z), lo que corresponde a su factorización.

Diferencia de cuadrados[editar]

Toda diferencia se puede factorizar mediante el producto de la suma con la diferencia de las bases.

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

Ejemplo: 25a2 – 16b4

Esta expresión corresponde a la diferencia entre el cuadrado de 5a y el de 4b2 :

Por lo tanto: (5a)2 – (4b2)2 = (5a + 4b2) (5a — 4b2)

Factorización de trinomio cuadrático perfecto[editar]

Un trinomio cuadrático perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de un cuadrado de binomio, por lo tanto, su factorización es:

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Ejemplo: 16x2 – 24xy + 9y2

En este trinomio hay dos términos que son cuadrados perfectos: 16x2 = (4x)2 y 9y2 = (3y)2, por lo tanto, el trinomio dado puede provenir del desarrollo del binomio:

(4x - 3y)2, si se desarrolla esta expresión se constata que efectivamente coincide con la expresión dada.

Factorización de trinomio cuadrático no perfecto[editar]

En este caso hay dos subcasos:

Caso en que el coeficiente cuadrático es 1

Utilizando el producto notable “producto de binomios con término común”:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Nos da la forma de poder factorizar una expresión del tipo: x2 + px + q

Ejemplo: x2 – 10x + 24

El trinomio se factoriza de la forma: (x + a)(x + b), donde a y b son números tales que a + b = –10 y ab = 24. Estos números son: –4 y –6, por lo tanto:

x2 – 10x + 24 = (x – 4)(x – 6)

Caso en que el coeficiente cuadrático es diferente de 1

Ejemplo: 2x2 + 7x – 15

Para poder factorizar trinomios de este tipo, multiplicaremos y dividiremos (para que la expresión no cambie) por el coeficiente del término cuadrático:


El numerador se puede factorizar de la forma (2x + a)(2x + b), donde a y b son números tales que a + b = 7 y ab = –30. Estos números son: 10 y -3:

Diferencia de cubos[editar]

a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

Ejemplo:

125z3 – 64y6

La expresión 125z3 es el cubo de 5z y 64y6 es el cubo de 4y2, por lo tanto:

125z3 – 64y6 = (5z)3 – (4y2)3

Ocupando que a = 5z y b = 4y2 en la expresión dada, tenemos que:

(5z)3 – (4y2)3 = (5z – 4y2)(25z2 + 20y2z + 16y4)

Programación lineal[editar]

La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.

Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, que denominaremos función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.


Historia[editar]

El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.

Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantorovich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. Leonid Khachiyan en 1979 fue el primero en demostrar que el problema de la programación lineal se solucionaba en tiempo polinomial, sin embargo, el mejor avance en los principios teóricos y prácticos en el campo se produjo en 1984, cuando Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal.

El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa; el número de posibles configuraciones excede al número de partículas en el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptima mediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones óptimas que deberán ser revisadas.

Definiciones varias[editar]

Incógnita[editar]

La cantidad desconocida que se determina resolviendo una ecuación. Generalmente se representa con una letra.

Expresión algebraica[editar]

Es una concatenación de números y letras unidos por diversas operaciones.

Fracción algebraica[editar]

Cociente indicado de dos polinomios, a los que se llama numerador y denominador de la fracción. Las fracciones algebraicas se comportan de manera parecida a las fracciones numéricas. Se las puede simplificar, reducir a denominador común y operar (suma, resta, multiplicaciones y división. Las propiedades de éstas operaciones son parecidas a las de las fracciones numéricas.

Solución de una ecuación[editar]

Es un valor de la incógnita, o a un conjunto de valores de la incógnita. Una ecuación puede tener una, ninguna o varias soluciones.

Reducir[editar]

La sustitución de los números por letras permite generalizar la aritmética, así, aplicando las reglas básicas del cálculo con números es posible simplificar la escritura de ciertas expresiones literales. Se dice que en ese caso se "reduce" la expresión.

Factorizar[editar]

Cuando se transforma una suma en un producto de factores, se dice que se ha "factorizado" esa suma.

Desarrollar[editar]

Cuando se transforma un producto en una suma de términos, se dice que se ha "desarrollado" ese producto.

Introducción a ecuaciones[editar]

La idea de ecuación, no obstante lo sencilla que en sí es, representa un descubrimiento científico de incalculable valor para el progreso humano. Posibilitó el progreso de los métodos matemáticos, físicos y científicos en general.
La ecuación es indudablemente el instrumento principal del álgebra, y de ahí la necesidad de familiarizarse con su mecanismo. Gran parte de la resolución de problemas algebraicos lleva consigo, en una u otra forma, el planteamiento de una ecuación.
Una ecuación es simplemente la expresión de una igualdad. Para referirse al área de un triángulo se escribe (b x h ) / 2 , y para la expresión correspondiente al interés simple, I = CRT. Del mismo modo, otras igualdades, tales como 7.z = 35, 18 . n = 36, son ecuaciones. Además de las cantidades conocidas, en toda ecuación hay una o más cantidades desconocidas, que se denominan incógnitas, y cuyo valor debe averiguarse. En determinar el valor de cada una de las incógnitas consiste precisamente la resolución de la ecuación. En ciertos casos resulta sencilla. En el ejemplo anterior, en que 7.z = 35, no sería muy difícil comprender que si 7z valen 35 unidades, una sola de las z debe valer 7 veces menos, o la cantidad resultante de dividir 35 entre 7, es decir, 5. Podemos indicar, pues, que z = 5, con lo que queda resuelta la ecuación.

Resolución de ecuaciones[editar]

La idea básica, única y fundamental es que se debe despejar, es decir, dejar en uno de los miembros la incógnita aislada.

Los pasos para resolver una ecuación sencilla de primer grado son:

  1. Separar todos los términos de la ecuación, del primer y del segundo miembro.
  2. Trasponer los términos sin incógnita del primer miembro al segundo. Al trasponerlos invierten su signo;(de positivo a negativo y de negativo a positivo).
  3. Trasponer los términos que incluyen la incógnita que están en el segundo miembro para el primero. Al trasponerlos invierten su signo; (de positivo a negativo y de negativo a positivo).
  4. Reducir los términos semejantes (sumar y restar), quedando solamente un término con la incógnita en el primer miembro y un número solamente en el segundo miembro.
  5. El valor de la incógnita se obtiene dividiendo el número del segundo miembro entre el coeficiente de la incógnita.
  6. Para seguridad verificamos si el valor obtenido satisface la ecuación inicial.

Expresiones algebraicas, más profundo[editar]

Constantes y variables[editar]

Uno de las cosas que dan al álgebra su carácter general, es el uso de las variables. Una variable puede representar cualquier número dentro de un dominio. Para nosotros, las variables podrán representar cualquier número real. Las variables serán expresiones literales, como , , , , etc.


Por otra parte, las constantes representan un único número dentro de un dominio. Ejemplos de constantes son


Expresiones algebraicas[editar]

El resultado de aplicar una o más veces cualquier operación algebraica a dos o más números es una expresión algebraica. Por ejemplo, las siguientes son expresiones algebraicas

.


Una expresión algebraica se dice un término algebraico si sus constantes o variables están combinadas mediante cualquier operación algebraica excepto la adición y la sustracción. Las siguientes expresiones son términos algebraicos


.



En un término, se dice que cualquier factor es coeficiente de los factores restantes. Por ejemplo, en el término , el es coeficiente de , es coeficiente de y es coeficiente de . Los coeficientes que sean números (como el tres del ejemplo anterior) se dicen coeficientes numéricos, mientras que los coeficientes que sean letras se dicen coeficientes literales. Si dos términos se ditinguen tan solo por su coeficiente numérico, entonces estos se dice que son términos semejantes. Por ejemplo,


y


son términos semejantes.


Un término se dice racional entero si sus literales están combinadas solamente por la operación de multiplicación. Por lo tanto, todas las expresiones siguientes son términos racionales enteros:


.


El grado de un término racional entero es la suma de los exponentes de sus literales. Por ejemplo, , y son términos de grados , y respectivamente.


Una expresión que es tan solo un término se llama monomio. Dos términos combinados por adición o sustracción forman un binomio. Ejemplos de binomios son


.


Tres términos combinados por adición o sustracción forman un trinomio. Una combinación de cualquier número de términos forma lo que se conoce con el nombre general de multinomio. Cuando todos los términos de un multinomio son racionales enteros, entonces el multinomio puede llamarse también polinomio. Un ejemplo de polinomio es la expresión siguiente:


.


El grado de un polinomio será el grado de su término de mayor grado. Así, el grado del polinomio del ejemplo anterior es .

Un poco de Topología[editar]

La Topología (del griego τόπος, “lugar”, y λόγος, “estudio”) es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas.1 Es una disciplina que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas. La Topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar, entre otros múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, etcétera. (en breve será extendido el artículo)

Algo de Aritmética[editar]

Raíz cuadrada exacta[editar]

Se llama raíz cuadrada exacta de un número natural, al número cuyo cuadrado reproduce exactamente el primer número dado. Es posible calcular la raíz cuadrada exacta de un número cuando se le puede descomponer en factores primos que sean todos ellos potencias con exponentes pares, es decir, exponentes múltiplos de dos.

Raíz cuadrada no exacta[editar]

La raíz cuadrada de un número que no sea cuadrado perfecto es, con cierta aproximación, igual a un número racional de determinada cantidad de cifras decimales, tantas como las que se desee en cada caso.

Números positivos[editar]

Son todos los números mayores que cero, se les indica con un signo + delante de sus cifras. Si no se coloca ningún signo, se sobreentiende que es positivo. Por ejemplo + 5 ; se lee cinco positivo.

Números negativos[editar]

Son todos los números menores que cero, se les indica siempre con un signo – delante de sus cifras. Por ejemplo – 6 ; se lee seis negativo.

El Cero[editar]

El número cero no se clasifica ni como positivo ni como negativo.
Tomando las definiciones de número positivo y negativo se deduce que el cero es menor que cualquier número positivo y mayor que cualquier número negativo.
Usando lo anterior y tomando al cero como separador entre los dos conjuntos podemos indicar que cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.
En cuanto a la clasificación dentro de los números reales, el cero es real, racional, y entero. Quedando para otro espacio la discusión sobre si considerarlo un número natural o no. A grandes rasgos se puede aclarar que hay dos posturas bien fundamentadas, para considerar el cero como natural ( número que represente el cardinal del conjunto vacío) o considerarlo fuera del conjunto de los naturales, por lo que el uno sería el menor de los naturales ( ver Axioma original de Peano y todo lo relacionado con inducción completa). Aunque incluso dentro del tema axioma de Peano se podría modificar sus bases para incluir al cero. (Todo un tema que en breve se agregará una sección aparte para tratarlo en este libro)

Valor absoluto[editar]

Se llama valor absoluto o valor aritmético y también módulo de un número, a la diferencia de valor que tiene dicho número con el cero. Este valor nunca es negativo; siempre es positivo o incluso cero. El valor absoluto de un número positivo es el mismo número. Ejemplo: valor absoluto de + 8,3 = + 8,3 El valor absoluto de un número negativo es el opuesto de dicho número. Ejemplo: valor absoluto de – 6,45 = + 6,45 De dos números positivos será mayor que tenga mayor módulo o valor absoluto.



Después de procedimiento de lectura esperamos que te ayude a entender el valor absoluto de los numeros.

!buena suerte¡

Números Irracionales[editar]

Números reales de infinitas cifras decimales, no periódicas y que no pueden ser iguales a números racionales, o sea su valor no se puede representar como una fracción o como resultado de una división entre dos números enteros.

esperamos que te ayude en tu trabajo

Densidad en la recta numérica[editar]

Entre dos números racionales cualesquiera hay siempre un número racional. El conjunto de puntos racionales es Denso en la recta numérica.

Suma de números (positivos y/o negativos)[editar]

  • Para sumar dos números que tienen el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos) se suman sus valores absolutos y dicha suma se le coloca el signo común ( positivo o negativo; el que tienen ambos sumandos).
  • Para sumar dos números que tienen signos contrarios (uno positivo y el otro negativo) se restan los valores absolutos y a la diferencia se le coloca el signo de la cantidad que tiene mayor valor absoluto.

(+ 5 ) + ( + 2 ) = + ( 5 + 2 ) = + 7
(– 3 ) + ( – 6 ) = – ( 3 + 6 ) = – 9
(+ 6 ) + ( – 4 ) = + ( 6 – 4) = + 2
(– 2 ) + ( + 5 ) = + ( 5 – 2) = + 3
(– 6 ) + ( + 2 ) = – ( 6 – 2) = – 4
(+ 1 ) + ( – 6 ) = – ( 6 – 1) = – 5

Suma de varios números[editar]

Se comprende fácilmente que el razonamiento anterior es aplicable a cualquier cantidad de sumandos que haya por lo tanto:

  • La suma de varios números (positivos y/o negativos) se obtiene agregando a la suma de los dos primeros, el tercero, al nuevo resultado se le agrega el cuarto, etc. hasta terminar con el último sumando.

Propiedades de la adición[editar]

Propiedad Conmutativa[editar]

  • El valor de la suma no cambia si se altera el orden de los sumandos.

Propiedad Asociativa[editar]

  • El valor de una suma no cambia si se sustituyen dos o más sumandos por su suma efectuada.

Suma de varios sumandos[editar]

Se puede también utilizar la propiedad conmutativa de la adición ( reordenando los sumandos según su signo, primero todos los positivos y luego todos los negativos) y la propiedad asociativa de la adición ( asociando en un único resultado todos los sumandos positivos entre sí y todos los sumandos negativos entre sí) de la siguiente forma:

  • La suma de varios números (positivos y/o negativos) se realiza agrupando por un lado todos los sumandos positivos y obteniendo un resultado parcial; agrupando todos los sumandos negativos por otro lado y obteniendo un segundo resultado parcial y finalmente sumando los dos resultados parciales para obtener el resultado final.

Propiedad Disociativa[editar]

  • Si dos o más sumandos están encerrados dentro de paréntesis precedidos del signo +, se pueden quitar dichos paréntesis.
  • En lugar de agregar una suma de varios sumandos, pueden agregarse sucesivamente los respectivos sumandos.
  • Una suma no altera si se introducen o se suprimen paréntesis precedidos del signo de +.

Otra regla[editar]

Como aplicación de las propiedades conmutativa y asociativa, tendremos también:

  • La suma de varios números relativos se obtiene sumando por un lado los positivos y por otro los negativos, luego se restan los valores absolutos de estas dos sumas, y se pone al resultado el signo que tenga la suma de mayor valor absoluto de estas dos.

Números Opuestos[editar]

Dos números son opuestos cuando tienen igual valor absoluto pero uno es positivo y el otro negativo. La suma de dos números opuestos es nula, es decir resulta cero. De una suma de muchos sumados, se pueden suprimir dos sumados opuestos sin que altere el resultado. Esta operación se llama reducción de términos opuestos. o si no también aveces viene en otros casos

Potencias[editar]

Definiciones relacionadas[editar]

Positivo[editar]

Todo número mayor que cero.

Negativo[editar]

Todo número menor que cero.

Múltiplos[editar]

Un múltiplo es un número que contiene a otro , varias veces exactamente.
Los múltiplos de un número son aquellos que resultan de multiplicarlo por la secuencia de números enteros.
Datos: para saber si un número es múltiplo de otro, hay que hacer una división entre los dos y que el resto sea cero, o nulo, y que el cociente sea un número entero.

Divisor[editar]

Se llama divisor a aquel número que es contenido una cantidad exacta de veces en otro número.
Divisor: Número que divide exactamente a otro número.
También se utiliza la palabra submúltiplo.

Potencia[editar]

Producto de una cantidad por sí misma, una cantidad determinada de veces.
Es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.
El factor que se repite se llama base y el superíndice que indica la cantidad de veces que se repite se llama exponente.
Consiste en multiplicar un número por sí mismo las veces que indique el exponente.
Elevar un número al cuadrado es multiplicarlo por sí mismo.

Exponente[editar]

Número o expresión algebraica colocada a la derecha y arriba de otro número o expresión algebraica (como superíndice) que indica cuántas veces ha de multiplicarse una magnitud por sí misma.

Raíz cuadrada[editar]

es la operación inversa de elevar al cuadrado un número.
La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado resulta el primero mencionado.
La raíz cuadrada de cero tiene por resultado al cero.
La raíz cuadrada de un número positivo tiene por resultados dos valores opuestos.
No se puede calcular la raíz cuadrada a un número negativo.

Notación científica[editar]

Es la manera rápida de representar un número utilizando potencia de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar muy fácilmente números muy grandes o muy pequeños.
También llamada notación índice estándar.
Los números se escriben como producto.

Números Primos[editar]

Introducción.[editar]

En el siglo III a.c. Eratótenes ideó la primera talba para saber si un número es primo o compuesto.
Se denomina Criba por el original método que siguió para construirla; escribió en una lámina metálica los primeros cuatro mil números naturales, y luego hizo agujeros sobre los que eran múltiplos de 2, 3, etc. eliminando de esta manera los números compuestos. Los números que quedaban sin agujerear resultaban ser los primos.
La lámina al final de la tarea presenta muchos agujeros por lo que parece un colador o criba, de ahí su nombre.

Criba de Eratóstenes[editar]

Algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado N.
Se forma una tabla con todos los números tachando los números que son primos de la siguiente manera.
Se forma una tabla con todos los números naturales desde 2 hasta N.
Comenzando con el 2, y tachando todos sus múltiplos siguientes. Cada vez que se encuentre un número entero que no ha sido tachado, se señala como primo y se procede a tachar todos sus múltiplos siguientes. El proceso termina cuando del cuadrado del mayor número confirmado como primo supera a N.

Números Complejos[editar]

Suma de Vectores[editar]

Sean los vectores:



Su suma vectorial será:


Para que la suma entre dos o más vectores sea posible, los vectores deben tener el mismo tamaño, y el vector resultante será la suma de componente a componente de cada vector.


  • Ejemplo en :





  • Ejemplo en :



Propiedades de la Suma entre Vectores[editar]

Para la suma entre vectores se utilizan varias propiedades algebraicas provenientes de la suma entre reales.

Sean U, V,W vectores en :


Propiedad Conmutativa.


Propiedad Asociativa.


Todo vector sumado con cero no se verá afectado y el resultado será el mismo vector.


Todo vector sumado con su opuesto da como resultado 0

Suma Grafica de Vectores[editar]

Para sumar gráficamente dos vectores o mas vectores existen dos métodos, el método del paralelogramo y el método del triangulo:

Método del Paralelogramo[editar]

Se representa los vectores(U,V) como puntos en el plano y en los cuales sus orígenes generalmente coincidan en el punto(0,0) del plano cartesiano; luego en el extremo o cabeza del vector U, se grafica una paralela al vector V y en el extremo del vector V se grafica una paralela del vector U. La diagonal del paralelogramo que se forma es el vector suma o la respuesta.

Suma de vectores.svg

Método Poligonal[editar]

Se pone gráficamente el vector A como continuación del vector B, es decir, el origen del vector B coincide con la cabeza o extremo final del vector A. Luego se traza una diagonal que une el inicio del vector "a" con el resto de los extremos.

Vector addition2.svg


Para sumar más de dos vectores gráficamente con cualquiera de los dos métodos, se realiza primero la suma de dos en dos de los vectores, el vector resultante se suma a un tercero o n vectores aplicando la ley conmutativa de la suma de vectores.

Resta de Vectores[editar]

Restar dos vectores es sumar al primero ,el resultado de la multiplicación por el escalar (-1) del segundo vector o más claramente su opuesto porque :



  • Ejemplo:


Resta Grafica de Vectores[editar]

Gráficamente, U - V es el vector que se forma donde su origen es el extremo de V y su extremo es el extremo de U Resta de vectores.JPG En la imagen se puede ver V + (U-V)= U

Bibliografía[editar]

1.LAY, David C. ÁLGEBRA LINEAL Y SUS APLICACIONES (Tercera Edición). Pearson Educación, México, 2007. ISBN 978-970-26-0906-3 2.George Nakos / David Joyner. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Thomson Editores,Buenos Aires,1999

Programa del curso de 2º año Administración - Estadística[editar]

Población: Colección, ya sea de un número finito de mediciones o incluso una colección grande, virtualmente infinita de datos acerca de algo de interés.
Muestra: Subconjunto representativo seleccionado de una población. Una buena muestra es aquella que refleja las características esenciales de la población de la cual se obtuvo.
Técnicas de muestreo: Método para obtener una muestra. Su objetivo es asegurar que cada observación en la pobalción tiene una oportunidad igual e independiente de ser incluida en la muestra.
Estos procesos conducen a la muestra aleatoria.
Las observaciones de la muestra aleatoria se usan para calcular ciertas características de ma muestra, denominada Estadísticas.
Los problemas estadísticos se caracterizan por los siguientes cuatro elementos:

  1. La población de interés y el procedimiento científico que se empleó para muestrear la población.
  2. La muestra y el análisis de su información.
  3. Las inferencias estadísticas que resulten del análisis de la muestra.
  4. La probabilidad de que las inferencias sean correctas.



Medidas numéricas descriptivas[editar]

Tendencia central: Disposición de los datos a agruparse alrededor del centor o de ciertos valores numéricos. Variabilidad: Es la dispersión de las observaciones en el conjunto.

Medidas de tendencia central[editar]

  • Media
  • Moda
  • Mediana

Medidas de dispersión o variación[editar]

  • Varianza
  • Desviación estándar
  • Desviación media
  • Desviación mediana


Varianza[editar]

Es el promedio del cuadrado de las distancia entre cada observación y la media del conjunto ().
Notación: Var(X), o también (la letra griega sigma al cuadrado)




El valor de la varianza suele sufrir un gran cambio por la existencia de algunos valores extremos.

Desviación estándar[editar]

Es la raíz cuadrada positiva de la varianza.





Desviación media[editar]

Es el promedio de los valores absolutos de las diferencias entre cada observación y la media del conjunto.





Desviación mediana[editar]

Es el promedio de los valores absolutos de las diferencias entre cada observación y la mediana del conjunto.








Programa del curso de 1º año Administración - Matemática Financiera[editar]

Unidad 1: Proporcionalidad.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:
Contenidos.

  • Razones y proporciones.
  • Magnitudes directamente proporcionales e inversamente proporcionales.
  • Regla de tres simple: directa e inversa. Regla de tres compuesta mixta.
  • Repartos proporcionales: simple directo e inverso, compuesto. Regla de sociedad o compañía.
  • Porcentaje. Aplicaciones: Bonificaciones, Recargos, Comisiones, Ganancia o Perdida sobre precio de costo y sobre precio de venta.
  • Tipo de Cambio. Arbitrajes.


Competencias específicas.

  • Distinguir el concepto de magnitud, cantidad de magnitud y medida de cantidad de magnitud.
  • Definir y distinguir magnitudes directa e inversamente proporcionales.
  • Resolver problemas de regla de tres simple directa e inversa usando proporciones.
  • Resolver problemas de regla de tres compuesta directa, inversa y mixta.
  • Relacionar comprensivamente los distintos modos de repartos proporcionales y resolver problemas de repartos proporcionales compuestos.
  • Convertir porcentajes a decimales, a fracciones y viceversa.
  • Calcular el porcentaje de una cantidad respecto de otra.
  • Utilizar fluidamente el concepto de tanto por uno, tanto por ciento, tanto por mil, etc.
  • Desglosar el IVA.
  • Distinguir el concepto de Ganancia o Perdida sobre Precio de Costo y sobre Precio de Venta en una operación comercial. Resolver problemas.



Unidad 2: Funciones lineales, exponenciales y logarítmicas.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:
Contenidos.

  • Función lineal y afín. Dominio. Cero y signo.
  • Ecuaciones de primer grado. Resolución de problemas de aplicación.
  • Sistemas de ecuaciones lineales.
  • Función exponencial. Estudio y representación gráfica.
  • Logaritmo. Definición. Logaritmo decimal y logaritmo natural. Propiedades.
  • Función logarítmica. Dominio, cero y signo.


Competencias específicas.

  • Reconocer una función lineal y una función afín, e investigar el concepto de proporcionalidad.
  • Representar gráficamente la función lineal y la función a fin.
  • Vincular la función lineal a fórmulas usadas en las distintas arreas tecnológicas ( V(i)=R.i , F(a)=m.a , D(m)=m/v, Is(n) = Co.i.n, Is(T) = (Co.T) / Δ )
  • Definir comprensivamente el concepto de solución de una ecuación.
  • Conocer operativamente el concepto de ecuaciones equivalentes.
  • Aplicar adecuadamente las reglas para resolver una ecuación de primer grado.
  • Resolver algebraicamente sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.
  • Analizar gráficamente sistemas compatibles determinados, sistemas incompatibles y sistemas compatibles indeterminados.
  • Resolver problemas cuya solución conduce a un sistema de ecuaciones lineales y comprobar la validez de su solución en el contexto del problema que lo generó.
  • Caracterizar la función exponencial en relación a su base. Representación gráfica.
  • Identificar el logaritmo decimal y natural.
  • Aplicar las propiedades del logaritmo a la resolución de ejercicios sencillos.
  • Representar gráficamente la función logarítmica.
  • Extraer conclusiones sobre la distinta rapidez de variación de las funciones : lineal, logarítmica y exponencial graficándolas conjuntamente.
  • Graficar la función lineal y exponencial en un mismo par de ejes a los efectos de poder comparar los métodos de capitalización simples y compuesto.
  • Usar fluidamente la calculadora.




Unidad 3: Operaciones con Interés Simple.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:
Contenidos.

  • Concepto de Interés Simple. Deducción de su fórmula. Deducción de la formula reducida y formula de divisores fijos para Interés Simple.
  • Tasas Proporcionales.
  • Monto a Interés Simple.
  • Descuento Comercial y Racional.
  • Comparación entre Descuento Comercial y Racional.
  • Vencimientos de Documentos Comerciales, equivalencia de Documentos.

Competencias específicas.

  • Diferenciar el concepto de Razón o Tanto por Ciento del concepto de Tasa o Tanto por Uno.
  • Reconocer la proporcionalidad directa entre Interés Simple y Capital, entre Interés Simple y Tasa y entre Interés Simple y Tiempo.
  • Convertir una tasa anual en otras proporcionales a ella en distintas unidades de tiempo (meses, bimestres, trimestres, semestres) y viceversa.
  • Elegir la fórmula de Interés Simple más adecuada para dar solución al problema al que esta enfrentado.
  • Despejar Capital, Tasa y Tiempo de la fórmula de Interés Simple y de la de Monto a Interés Simple.
  • Graficar Monto en función de Tiempo.
  • Investigar la proporcionalidad entre Monto y Tiempo.
  • Conocer el concepto de Actualización, Valor Actual, Valor Nominal.
  • Distinguir Descuento Comercial Simple de Descuento Racional Simple.
  • Aplicar convenientemente la equivalencia de Documentos Comerciales a problemas genuinos del Comercio.



Unidad 4: Operaciones con Interés Compuesto.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:
Contenidos.

  • Concepto de Interés Compuesto.
  • Deducir la fórmula de Monto a Interés Compuesto.
  • Comparación entre Interés Simple e Interés Compuesto.
  • Tasas de interés: Nominal, Proporcional, Efectiva, Equivalente. Relación entre ellas.
  • Descuento Comercial y Racional a Interés Compuesto.


Competencias específicas.

  • Deducir la fórmula de Monto a Interés Compuesto.
  • Calcular Capital, Tasa y Tiempo a partir de la fórmula de Monto a Interés Compuesto, usando propiedades de la radicación y logaritmación.
  • Usar tablas financieras y calculadora para los distintos cálculos requeridos con la exactitud adecuada.
  • Graficar Monto a Interés Compuesto en función del tiempo.
  • Comparar gráficamente Monto a Interés Simple y Monto a Interés Compuesto para un mismo Capital inicial.
  • Identificar y reconocer las diferentes tasas usadas en instituciones bancarias y financieras en moneda nacional y en moneda extranjera.
  • Conceptualizar el Descuento Comercial y el Descuento Racional a Interés Compuesto.



Unidad 5: Sucesiones y Progresiones.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:
Contenidos.

  • Sucesión: Definición. Sucesión creciente, decreciente, oscilante, constante.
  • Progresión aritmética. Término general. Interpolación. Suma.
  • Progresión geométrica. Término general. Interpolación. Suma.
  • Problemas de aplicación.


Competencias específicas.

  • Representar sobre una recta los términos de una sucesión.
  • Conocer y saber expresar el concepto de sucesión como una función de dominio natural y codominio real.
  • Conocer el concepto de progresión aritmética y progresión geométrica.
  • Deducir la fórmula del término general y de la suma de una progresión aritmética y de una progresión geométrica.
  • Construir una progresión aritmética y una progresión geométrica según un criterio dado.
  • Interpolar términos en progresiones aritméticas y geométricas.
  • Resolver ejercicios de progresiones aritméticas y geométricas.



Unidad 6: Anualidades.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:
Contenidos.

  • Imposiciones a Interés Compuesto vencidas y adelantadas.
  • Amortizaciones a Interés Compuesto vencidas y adelantadas.
  • Cálculo de la cuota.
  • Problemas.


Competencias específicas.

  • Comprender la aplicación de sucesiones al cálculo de Anualidades.
  • Reconocer la aplicación de Imposiciones y Amortizaciones.
  • Distinguir situaciones problemáticas de la vida real donde aplicará distintos métodos de Amortización de préstamos.
  • Usar tablas financieras y calculadora para los distintos cálculos requeridos (anualidades, cuotas), expresando los resultados con la exactitud adecuada.



Unidad 7: Nociones básicas sobre Evaluación de las Inversiones.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:
Contenidos.

  • Concepto de Inversión.
  • Métodos para la evaluación de Inversiones.
  • Método VAN (Valor Actual Neto).
  • Método TIR (Tasa Interna de Retorno).
  • Equivalencia entre VAN y TIR.


Competencias específicas.

  • Conocer y saber expresar el concepto de Inversión e Inversión Productiva.
  • Conocer la existencia de los modelos estáticos y dinámicos como métodos para la evaluación de inversiones.
  • Aplicar el método VAN para la evaluación de una Inversión.
  • Aplicar el método TIR para la evaluación de una Inversión.
  • Estudiar la viabilidad de proyectos de inversión mediante los métodos VAN y TIR.



Unidad 8: Nociones elementales sobre Rentas.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:
Contenidos.

  • Concepto de Rentas.
  • Clasificación de Rentas.
  • Empréstitos. Seguros de Vida. Rentabilidad.


Competencias específicas.

  • Clasificar las Rentas en: constantes y variables, temporarias y perpetuas, inmediatas, diferidas y anticipadas.
  • Resolver problemas sencillos de aplicación.
  • Conocer el concepto de Empréstito, Seguros de Vida y Rentabilidad por ejemplo de las AFAPs.




Biografías[editar]

Pitágoras de Samos(580 a.C- 520 a.C.)[editar]

Busto de Pitágoras
Símbolo, Pentágono con diagonales
Números cuadrados y piramidales
Números triangulares
Sección Áurea


Filósofo griego nacido en La Isla de Samos y muerto en Metaponto. Muy conocido por el Teorema de Pitágoras. Se lo considera el primer matemático puro, aunque no haya quedado ninguno de sus escritos. La sociedad que lideró estaba regida por códigos secretos que hace que su figura sea muy misteriosa.
La figura de Pitágoras está envuelta en un hato de Leyenda, misticismo y hasta de culto religioso. Y no es tan extraño si pensamos que fue contemporáneo de Buda, de Confucio y de Lao-Tse estos fundadores de las principales religiones orientales.
Se pueden distinguir tres etapas en su vida: la primera en el mundo griego, la segunda de viajes a Babilonia y Egipto y La tercera en Lo que más tarde Se Llamó la Magna Grecia , con un intermedio en Samos entre la segunda y la tercera etapa.
Tres filósofos se encontraban entre sus maestros. Uno fue Pherekydes. Los otros dos filósofos son Thai es y su discípulo Anaximandro, ambos vivían en Mileto, quienes lo introdujeron en las ideas matemáticas.
Pitágoras conoce a Thales en Mileto entre Los 18 y 20 años. En este época, Thales era un anciano y contribuyó al interés de Pítágoras por la Matemática y La Astronomía y le aconseja viajar a Egipto para profundizar estos temas. Anaximandro Le dio clases de Geometría y Cosmología y muchas de sus ideas influyeron en Pitágoras.
Pitágoras viaja a Egipto en el 535 a.C. Esto es unos años antes de que el tirano Policrates tomara el control de Samos. Pitágoras va a Egipto con una carta de recomendación de Policrates, de quien era amigo. Había una alianza y estrechos vínculos políticos, en esa época, entre Egipto y Samos. Allí visitó muchos templos y se vincutó con los sacerdotes, de quienes tomó muchas ideas que impuso posteriormente a su sociedad.
En el 525 a.C. Cambíses, invadió Egipto. Polícrates abandonó su alianza con Egipto y envió 40 barcos para unirse a Los persas en su invasión. Después que Cambises II ganó La Batalla de Pelusium en el Delta del Nilo, y capturó Hlliápolis y Menfis, Los egipcios fueron derrotados y Pitágoras fue tomado prisionero y Llevado a Babilonia.
En el 520 Pitágoras retorna a Samos desde Babilonia. No se sabe como obtuvo su liberación de Babilonia. Policrates fue asesinado en 522 a.C. y en el verano del mismo año murió Cambises II. La muerte de estos dos tiranos debe haber sido la razón por la cual Pitágoras regresó. Darío de Persia tomó el control Samos después de la muerte de Polícrates. Pitágoras hizo un breve viaje a Creta luego de su regreso a Samos para estudiar el sistema de leyes vigentes. Cuando retornó a Samos, Pitágoras se trasladó a La polis (ciudad-estado) Crotona42, colonia griega en el sur de Italia, alrededor del 518 a.C. Estas colonias gozaban entonces de una gran prosperidad Potícrates de Samos (reinó entre 535 a.C.-522 a.C.) fue un gobernante sabio y popular.
La Sociedad que fundó (Hermandad Pitagórica) tenía un credo muy estricto y un rígido código de conducta, pero era igualitaria e incluía varias mujeres. Una de ellas era Teano, la hija de Milán con quien Pitágoras se casó.
Los pitagóricos dividieron el saber científico en cuatro ramas: La aritmética o ciencia de los números -su lema era todo es número -, la geometría, La música y la astronomía.
La perfección numérica, para los pitagóricos, dependía de los divisores del número.
Los pitagóricos estudiaron propiedades de los números que nos son familiares actualmente, como Los números pares e impares, números perfectos, números amigos, números primos, números figurados: triangulares, cuadrados, pentagonales. Estos últimos solo conservan un interés histórico.
Pero para los pitagóricos los números tenían otras características que no se aceptan en La actualidad, sostenían que cada número tenían su propia personalidad, masculina o femenina, perfecto o incompleto, hermoso o feo. El diez era el mejor número porque contiene en sí mismo (os cuatro primeros dígitos, 1+2+3+4=10, y estos escritos en forma triangular forman un triángulo perfecto.

El número de oro fue descubierto en La antigua Grecia, por Pitágoras. El símbolo de la Escuela de Pitágoras y por medio del cual se reconocían entre sí el símbolo de esta hermandad era la estrella de 5 puntas inscripta en un pentágono que ellos llamaban pentalfa (cinco alfas). Calcularon la relación que existía entre una diagonal y un lado del pentágono y encontraron que era siempre La misma. Lo llamaron razón áurea.

La razón áurea[editar]

Calcularon la relación que existía entre una diagonal y un lado del pentágono y encontraron que era siempre La misma. Lo llamaron razón áurea. Este cociente o razón se Llama La razón áurea. El número que resulta F = 1,61803398875... se llama número áureo o número de oro. (A F también se le representa por La Letra griega "fi")

Definiciones[editar]

Enunciado de una hipótesis o suposición, y de una tesis o conclusión, que es consecuencia de la hipótesis. Axioma es una proposición evidente en sí misma y por lo tanto, no necesita demostración. Teorema es una proposición que para ser evidente necesita demostración.

TEOREMA DUAL[editar]

El principio de dualidad afirma que a partir de cualquier teorema o construcción de geometria proyectiva podemos obtener otro, conocido como teorema dual, sólo cabe intercambiar las palabras punto y recta, modificando también las relaciones entre los puntos y las rectas. Entonces, por este principio,

  • Un punto se convierte en una recta.
  • Puntos alineados se convierten en rectas que pasan por un punto.
  • Rectas tangentes se convierten en el punto de tangencia.
  • Un círculo circunscrito se convierte en un círculo inscrito.
  • ...etc, etc.

ejemplo: El teorema dual del teorema de Pascal es el teorema de Brianchon.

TEOREMAS ESPECIALES[editar]

TEOREMA DE FEUERBACH - La circunferencia de Euler o de los 9 puntos, es tangente a las circunferencias inscrita y exinscrita al triángulo.

TEOREMA DE GAUSS - Los puntos medios de las diagonales de un cuadrilátero completo están en línea recta.

TEOREMA DE EULER - En cualquier poliedro convexo, el número de caras más el número de vértices es igual al de aristas más dos. (caras + vértices = aristas + 2).

TEOREMA DE BRIANCHON - Las diagonales de un hexágono circunscrito a una cónica se cortan en un punto.

TEOREMA DE PASCAL - Cualquier hexágono inscrito en una circunferencia, los puntos de intersección de los lados opuestos están en línea recta. Postulado es una proposición que se admite sin demostración, aunque sin la evidencia del axioma. Por ejemplo: Por un punto exterior a una recta sólo se puede dibujar una sola paralela a la recta. Lema es un teorema preliminar que sirve de base para demostrar otras proposiciones. Corolario o consecuencia es un teorema la verdad del cual se deduce simplemente de otro ya demostrado. Escolio es una advertencia o nota que se hace a fin de aclarar, ampliar o restringir proposiciones anteriores.

PROBLEMA[editar]

Problema es una cuestión que se propone con la finalidad y ánimo de aclararla o resolverla utilitzando una metodología determinada.

PROBLEMA DE APOLONIO - Dados tres objetos que pueden ser, cada uno de ellos, puntos, rectas o circunferencias, dibujar una circunferencia tangente a las tres.

Euclides fue un gran matemático y filósofo de la antigüedad. Ideó un procedimiento para obtener el máximo común divisor (MCD) de dos números.

Dados dos números enteros A y B se divide el mayor entre el más pequeño. Si el resto R de la división es 0, el divisor B es el MCD, en caso contrario, B se convierte en dividendo y R en divisor. Volvemos a hacer la división, si el resto de esta nueva división es 0, el divisor R es el MCD, en caso contrario, el divisor se convierte en dividendo y el resto de la división en divisor, y volvemos a hacer la división. Haciendo esto sucesivamente encontraremos alguna vez resto 0, en este momento, el divisor de la división será el MCD.

El fichero de entrada contendrá los dos números enteros y el archivo de salida contendrá el MCD.

Eje Radical de dos circunferencias[editar]

El eje radical de dos circunferencias no concéntricas está formado por los puntos cuya potencia es la misma respecto de las dos circunferencias.

  • Cuando las circunferencias no se cortan, una forma de dibujar el eje radical es dibujar dos circunferencias que corten a las dos circunferencias dadas y unir los puntos de intersección tal como se muestra en la figura.
  • Cuando las circunferencias son secantes, el eje radical es la recta que pasa por dos puntos de intersección.
  • Como caso límite de este último, si las circunferencias son tangentes, el eje radical será la perpendicular común a ambas circunferencias.

Centro radical de tres circunferencias[editar]

Dadas tres circunferencias, si dibujamos los ejes radicales de las circunferencias dos a dos, veremos que los tres ejes radicales se cortan en un punto, que se llama centro radical de las tres circunferencias.

Centro de Homotecia[editar]

Consideremos dos circunferencias no concéntricas, con centros P y Q.

Dibujamos los radios paralelos PA y QB en el mismo sentido, siendo los punto A y B pertenecientes a cada circunferencia. Trazando una recta que contenga los dos puntos A y B, y otra recta que contenga los centros P y Q. En la intersección de dichas rectas, es decir, AB y PQ obtenemos el punto K, conocido como centro de homotecia externo de las dos circunferencias.

Si tomamos radios paralelos de sentidos opuestos, Pa y QC, y realizando procedimiento análogo, es decir: Trazando una recta que contenga los dos puntos A y C, y otra recta que contenga los centros P y Q. En la intersección de dichas rectas, es decir, AC y PQ obtenemos el punto K, conocido como centro de homotecia interno de las dos circunferencias.

Circunferencia de los 9 puntos[editar]

La circunferencia de los 9 puntos de un triángulo, llamada así por JV Poncelet, queda definida por el siguiente teorema:

  • En cualquier triángulo, los pies de las tres alturas, los puntos medios de los lados y los puntos medios de los segmentos que unen los vértices con el ortocentro, están en una misma circunferencia, el radio de la que es la mitad del radio de la circunferencia circunscrita.

En la circunferencia de los 9 puntos se la conoce también como circunferencia de Euler (Leonhard Euler, 1707-1783) o circunferencia de Feuerbach (Karl Feuerbach, 1800 a 1834).

En la siguiente figura, en la que hemos dibujado el triángulo ABC, las alturas AA ', BB' y CC 'se cortan en el ortocentro H y P, Q y R son los puntos medios de los lados AB, BC y CA. Asimismo, U, V y W son los puntos medios de los segmentos AH, BH y CH. La circunferencia de los 9 puntos está dibujada en rojo.

En esta figura podemos observar algunas propiedades. Por ejemplo,

  • El centro N de la circunferencia de los 9 puntos está situado en la recta de Euler, equidistante del ortocentr H y del circuncentre O.

Recordemos que la recta de Euler contiene al ortocentro, baricentro y circuncentro de cualquier triángulo.

Circunferencia de los 9 puntos[editar]

La circunferencia de los 9 puntos de un triángulo, llamada así por JV Poncelet, queda definida por el siguiente teorema:

  • En cualquier triángulo, los pies de las tres alturas, los puntos medios de los lados y los puntos medios de los segmentos que unen los vértices con el ortocentro, están en una misma circunferencia, el radio de la que es la mitad del radio de la circunferencia circunscrita.

En la circunferencia de los 9 puntos se la conoce también como circunferencia de Euler (Leonhard Euler, 1707-1783) o circunferencia de Feuerbach (Karl Feuerbach, 1800 a 1834).

En la siguiente figura, en la que hemos dibujado el triángulo ABC, las alturas AA ', BB' y CC 'se cortan en el ortocentro H y P, Q y R son los puntos medios de los lados AB, BC y CA. Asimismo, U, V y W son los puntos medios de los segmentos AH, BH y CH. La circunferencia de los 9 puntos está dibujada en rojo.

En esta figura podemos observar algunas propiedades. Por ejemplo,

  • El centro N de la circunferencia de los 9 puntos está situado en la recta de Euler, equidistante del ortocentr H y del circuncentre O.

Recordemos que la recta de Euler contiene al ortocentro, baricentro y circuncentro de cualquier triángulo.

Árbelos[editar]

El Arbelos es una figura que se obtiene quitando a un semicírculo de diámetro AB los semicírculos de diámetros AC y CB, asiento C un punto intermedio entre A y B. El nombre de Arbelos viene del griego y quiere decir cuchillo de zapatero. Esta figura fue estudiada por Arquímedes (287-221 aC). Muchas propiedades del Arbelos aparecen en su Libro de los Lemas (Liber Assumptorum).

Potencia de un punto respecto de una circunferencia[editar]

Si desde un punto P trazamos una secante a una circunferencia C con centro O, que corta a la circunferencia en los puntos A y B, el producto PA · PB se mantiene constante independientemente de la secante dibujada. A este producto se le llama potencia del punto P respecto de la circunferencia C.

Llamando a la distancia del punto P al centro O ir al radio de la circunferencia, se obtiene, si P es exterior a la circunferencia, Puede (P, C) = d2 - r2 mientras que si P es interior: Puede (P, C) = r2 - d2

Programa del Curso de Segundo año Bachillerato en Administración[editar]

Unidad 1: Conjuntos.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Definición de conjunto, elemento, pertenencia, inclusión.
  • Operaciones: Unión, Intersección, Complemento, Diferencia.
  • Partición, Familia de partes.
  • Cardinal de un conjunto y de su familia de partes.
  • Conocer la terminología básica de la teoría de conjuntos.
  • Conocer las definiciones y notaciones simbólicas correspondientes a las nociones desarrolladas de Teoría de conjuntos.
  • Aplicar las nociones de Teoría de Conjuntos para Expresar: Espacio muestral, sucesos, etc.

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Unidad 2: Técnicas de conteo.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Reglas de la suma y el producto. Diagrama de Árbol.
  • Utilizar el diagrama de árbol en la resolución de problemas de conteo.
  • Arreglo, combinaciones y permutaciones. Definiciones y fórmulas de cálculo.
  • Conocer los conceptos de Arreglos, permutaciones y combinaciones.
  • Simplificar expresiones racionales factoriales.
  • Calcular números combinatorios.
  • Aplicaciones a problemas de conteo, resolviéndolos utilizando números combinatorios.

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Unidad 3: Probabilidad.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Espacios muestrales finitos. Definición de Probabilidad según Laplace.
  • Propiedades de la Probabilidad.
  • Probabilidad condicional. Probabilidad Compuesta. Independencia.
  • Definir experimento aleatorio.
  • Obtener el espacio muestral de un experimento aleatorio dado.
  • Calcular la Probabilidad de un suceso, aplicando la regla de Laplace.
  • Calcular la probabilidad de un suceso, complementario de otro dado.
  • Calcular la probabilidad de la unión e intersección de sucesos.
  • Enunciar y aplicar las propiedades de Probabilidad.
  • Aplicar la Ley de la Adición de la probabilidad para "n" sucesos.
  • Definir probabilidad condicional de un suceso.
  • Resolver problemas que involucren la probabilidad condicional de un suceso.
  • Definir independencia de sucesos.

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Unidad 4: Variable Aleatoria y Distribuciones de Probabilidad.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Concepto de Variable Aleatoria.
  • Distribuciones de Probabilidad de una variable Aleatoria Discreta. Distribución Binomial.
  • Distribuciones de Probabilidad de una variable Aleatoria Contínua. Distribución Normal.
  • Definir Variable Aleatoria Discreta y Función de Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta.
  • Obtener la Función Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta.
  • Obtener la probabilidad de eventos haciendo uso de la función de probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta.
  • Graficar la Función de Probabilidad Acumulada de una Variable Aleatoria Discreta, dada su Función de Probabilidad.
  • Obtener las probabilidades de sucesos haciendo uso de la función de Distribución Acumulada.
  • Definir la Función de probabilidad de las Variables Aleatorias Discretas que tienen Distribución Binomial.
  • Reconocer las condiciones bajo las cuales se pueden aplicar la distribución binomial en la resolución de problemas.
  • Resolver problemas que involucren variables de distribución binomial.
  • Definir variable aleatoria continua y función de densidad de una variable aleatoria continua.
  • Verificar que una función dada es función de Densidad.
  • Obtener la probabilidad de sucesos que involucren una variable aleatoria continua.
  • Obtener probabilidades de sucesos que involucren una variable aleatoria continua haciendo uso de su función de distribución acumulada.
  • Definir la función de densidad de la variable aleatoria normal.
  • Calcular probabilidades para sucesos relacionados con una variable normal.
  • Resolver problemas que involucren la variable aleatoria normal.

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Unidad 5: Concepto de Estadística Descriptiva.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:
Definiciones:

  • Recolección y clasificación de la información.
  • Población, Individuo y Muestra.
  • Variables cualitativas y cuantitativas; variables continuas y discretas.
  • Frecuencia, Frecuencia relativa y frecuencia acumulada.
  • Medida de tendencia central; Moda, Mediana, Media artimética, media geométrica, media armónica y media cuadrática.
  • Relación entre los valores absolutos de los distintos tipos de medias.
  • Medidas de dispersión, propiedades de cálculo. Amplitud, Desviación media, Varianza, Desviación típica, coeficiente de variación y coeficiente de disimetría. Cuartiles, deciles y centiles.
  • Definir los conceptos de Población, muestra y muestra aleatoria.
  • A partir de un conjunto de datos no agrupados. Calcular la media aritmética, la mediana, la moda, los cuartiles, la varianza. la desviación estándar, etc.

Gráficas y tablas:

  • Representación gráfica de variables discretas: diagrama de Barras, diagrama poligonal.
  • Representación gráfica de variables continuas: Histograma, curvas de frecuencia.
  • Diagrama acumulativo.
  • Construir la tabla de frecuencias absolutas, frecuencia relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas a partir de un conjunto de datos.
  • Presentar la información gráficamente, a través de histogramas, polígonos de frecuencias, ojivas, etc

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Unidad 6: Muestreo Aleatorio.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:
Definiciones:

  • Población. Muestra aleatoria.
  • Estadísticas muestrales.
  • Distribución muestral de estadísticos.
  • Definir parámetros estadísticos, estimación y estimadores puntuales.

Teoremas:

  • Enunciado del teorema central del límite.
  • Enunciar el teorema del límite central. Ejemplificar.

Aplicaciones:

  • Reconocer la importancia de una muestra aleatoria para realizar inferencias sobre una población.
  • Conocer distintas técnicas de muestreo.
  • Realizar una simulación de un muestreo por métodos computacionales.

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Unidad 7: Estimación.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Estimación por puntos.
  • Estimación de un parámetro poblacional por intervalos de confianza.
  • Prueba de Hipótesis.
  • Conocer la definición de estimación puntual.
  • Definir estimador insesgado. Ejemplificar con estimadores insesgados de una proporción poblacional, de la media de una población y de la varianza de una población.
  • Definir eficiencia relativa de un estimador insesgado con relación a otro.
  • Reconocer si un estimador es insesgado y/o eficiente.
  • Construir intervalos de confianza para la media de una población normal dada una muestra no pequeña ("n" mayor o igual a 30)
  • Construir intervalos de confianza para la varianza de una población normal.
  • Establecer la hipótesis nula y alternativa en un problema dado.
  • Identificar los tipos de errores que se pueden cometer al probar la hipótesis nula.
  • Resolver problemas de pruebas de Hipótesis para la media de una población, mediante el estadístico Z, dado un nivel de significación.

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Unidad 8: Regresión y Correlación.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Relación entre las variables dependientes. Regresión.
  • Regresión lineal.
  • Correlación.
  • Otros ajustes.
  • Conocer las hipótesis del análisis de regresión.
  • Calcular la pendiente y la ordenada en el origen de la regresión lineal por el método de los mínimos cuadrados.
  • Calcular valores de la variable dependiente utilizando la ecuación de la regresión lineal.
  • Calcular el coeficiente de correlación.
  • Utilizar la calculadora científica y/o la computadora para los cálculos estadísticos anteriormente nombrados.

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Programa del curso de 2º año Instalaciones Eléctricas[editar]

Unidad 1: Elementos geométricos.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:
Elementos geométricos.

  • Exploración de los elementos geométricos de esta unidad
  • Enfoque de los conceptos primitivos de la geometría desde el punto de vista formal.
  • comprender como abstracciones los conceptos, punto, recta, semirrecta, segmento, plano, semiplano y ángulo.


Relaciones.

  • Conocer e identificar las relaciones de incidencia entre puntos, rectas y planos en el espacio.
  • Conocer e identificar las posiciones relativas de dos rectas en el espacio, de dos planos y de rectas en el plano.
  • Dibujar y definir rectas secantes, paralelas, perpendiculares.
  • Reconocer las posiciones relativas de rectas y planos en cuerpos geométricos y en modelos reales (cotidianos)
  • Conocer operativamente las principales propiedades del paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos.


Aplicaciones.

  • Resolver problemas sobre incidencia, paralelismo, perpendicularidad entre rectas y/o planos en el espacio.
  • Proyecciones de un punto y una recta sobre un plano.
  • Distancia. Cálculo de distancia, de ángulos y sus aplicaciones a situaciones reales.


Ángulos.

  • Ángulo. Clasificación. Medida.
  • Ángulos entre rectas y planos.
  • Ángulos diedro. Sección recta de un diedro.
  • Recta de máxima pendiente de un plano.
  • Representar y reconocer los ángulos: Cóncavos, convexos, consecutivos, adyacentes, opuestos por el vértice, determinados por dos paralelas y una secante.
  • Incorporar los conceptos de ángulo plano, ángulo diedro, su rectilíneo y su distancia.
  • Enunciar y aplicar el teorema de las tres perpendiculares.

Unidad 2: Figuras en el plano.[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:
Triángulos.

  • Exploración de las figuras planas.
  • Triángulo, Clasificación. Rectas y puntos notables en ellos.
  • Suma de ángulos. Desigualdad triangular.
  • Teorema de Pitágoras. Concepto de lugar geométrico.
  • Construcción. Cálculo de perímetros y áreas.
  • Definir construir y reconocer las propiedades de las líneas y puntos notables de un triángulo.
  • Aplicar el teorema de Pitágoras al cálculo de perímetros y áreas.
  • Teorema del Seno y del Coseno. Resolución de triángulos.


Demostraciones.

  • Conjeturar y demostrar las propiedades de la suma de los ángulos interiores de un triángulo.
  • Demostrar la propiedad del ángulo exterior de un triángulo.


Aplicaciones.

  • Aplicaciones. Descomposición y composición de vectores.
  • Descomponer un vector en dos de direcciones perpendiculares entre sí.
  • Hallar el módulo del vector suma o resta aplicando el teorema del coseno.
  • Aplicar los teoremas del seno y del coseno en la resolución de triángulos incluidos o no en otros polígonos, así como el cálculo de perímetros, diagonales, ángulos.


Cuadriláteros y polígonos varios.

  • Clasificación de los cuadriláteros. Propiedades de los cuadriláteros convexos.
  • Cálculo de perímetros y áreas.
  • Polígonos. Clasificación. Suma de ángulos de un polígono convexo.
  • Polígonos regulares. Propiedades y simetrías. Perímetros y áreas.
  • Reconocer y clasificar un polígono según los criterios dados.
  • Definir, construir y reconocer las propiedades de las líneas y puntos notables de los cuadriláteros y polígonos regulares (apotema)
  • Resolver problemas de construcción de polígonos, registrar los pasos seguidos e incluso findamentar construcción. Discutir cantidad de soluciones.
  • Reconocer las formas poligonales en los cuerpos geométricos en observaciones del entorno natural, arquitectónico, artístico y tecnológico.
  • Utilizar con soltura los instrumentos geométricos en la construcción de figuras.


Circunferencia y Círculo.

  • Longitud de la circunferencia y número Pi. Área del círculo, Sector y segmento circular.
  • Inscribir correctamente un triángulo en una circunferencia y viceversa.
  • Definir circunferencia y círculo. sus elementos y las posiciones relativas de una recta y una circunferencia. Aplicar estos conceptos a la construcción de lugares geométricos sencillos.
  • Conocer y aplicar la fórmula de la longitud de la circunferencia y de cualquier arco de amplitud conocida, a la resolución de ejercicios.
  • Conocer las fórmulas de las áreas del círculo y sus porciones (corona, sector, segmento, trapecio circular) y aplicarlas a la resolución de problemas manejando distintas unidades de longitud y amplitud.
  • Conjeturar acerca del área del círculo, considerando un polígono regular inscripot de un número finito de lados.
  • Ángulos ocn vértice en la circunferencia y central. Arco capaz. Aplicaciones sencillas a lugares goemétricos.
  • Definir, construir y reconocer un arco capaz.
  • Conocer y aplicar al cálculo a la cosntrucción y a la resolución de probleas, las propiedades de los ángulos inscriptos, semiinscripto y centrales en la circunferencia.


Transformaciones.

  • Simetrías.
  • Representación a escala de figuras de dimensiones dadas en el Sistema Métrico Decimal.
  • Aplicaciones a cálculos involucrados al área tecnológica correspondiente al curso.
  • Conocer el concepto de lugar geométrico y su importancia en aplicaciones técnicas.
  • Reconocer lugares geométricos ya estudiados.
  • Reconocer simetrías axiales y centrales en las figuras estudiadas.
  • Aplicar las propiedades de las simetrías en la construcción de figuras.


Medidas.

  • Lograr un manejo solvente en la lectura de escalas, como en su aplicación a la representación de figuras, evidenciando dominio del sistema métrico decimal, el inglés y sus equivalencias.
  • Deducir una escala apropiada para representar una figura bajo un marco determinado.
  • Calcular las medidas de distancias y ángulos reales de una figura dada a escala.
  • Usar correctamente las propiedades de las potencias de diez para pasar de unas unidades a otras en el sistema métrico decimal.
  • Resolver problemas aplicados al cálculo de : Perímetros, área, apotema, altura, lados, diagonales, ángulos, etc. en triángulos cuadriláteros convexos y polígonos regulares, usando distintas unidades de medida.

Unidad 3: Superficies y cuerpos en el Espacio[editar]

En esta unidad aprenderás todo sobre:

  • Exploración de sólidos.
  • Definiciones, descripciones, relaciones métricas en cubo, ortoedro, prisma, pirámide, cilindro, esfera y cono.
  • Desarrollos.
  • Áreas y volúmenes.
  • Secciones planas.
  • Generación de cuerpos de revolución. Incluso Paraboloide, Elipsoide, Hiperboloide.
  • Aplicaciones de los cálculos involucrados en esta unidad al área tecnológica correspondiente al curso.
  • Identificar regularidades y propiedades en cuerpos y configuraciones geométricas especiales.
  • Utilizar la terminología y la notación adecuadas para describir con precisión situaciones, formas y propiedades y configuraciones goemétricas en el espacio.
  • Reconocer un poliedro y un cuerpo de revolución, describiendo sus elementos, y relacionarlos. Encontrar modelos reales y discutir su ajuste al concepto geométrico.
  • Conocer las cuádricas y algunas de sus aplicaciones.
  • Desarrollar y construir con materiales adecuados algunos de los cuerpos estudiados.
  • Conjeturar y mostrar las fórmulas de área lateral, total y volumen de un prisma, una pirámide, un cilindro y de un cono.
  • Conocer y utlizar las fórmulas del área y volumen de una esfera.
  • Expresar un volumen en distintas unidades del sistema internacional y del sistema inglés.
  • Comprender la razón y la practicidad de la multiplicación (o división) por potencias de diez, para pasar de una a otras unidades de volumen en el sistema métrico.
  • Resolver ejercicios y problemas aplicados al cálculo de áreas y volúmenes de poliedros y cuerpos de revolución estudiados, incorporando el teorema de Pitágoras y los conceptos de trigonometría en los mismos.
  • Conocer y describir las cónicas como resultado de la intersección de planos con un cono de revolución.