Cursos/Tabla a reubicar

Contradicción

¿Bajo qué condiciones de p y q la proposición

$[(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q]\rightarrow (p\wedge \sim q)$

es falsa?

Sol: Este ejercicio se puede resolver de dos formas:

Primera forma, tabla de verdad.

En este caso, las proposiciones simples son dos, p y q. Luego, la tabla de verdad tiene $2^{2}=4$ filas.

Empezando por llenar las columnas de las proposiciones simples, la tabla queda de la forma

$p$	$q$	$\sim q$	$p\leftrightarrow q$	$(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q$	$p\wedge \sim q$	$[(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q]\rightarrow (p\wedge \sim q)$
V	V
V	F
F	V
F	F

Luego, llenando la tercera columna, que es la negación de la segunda, tenemos

$p$	$q$	$\sim q$
V	V	F
V	F	V
F	V	F
F	F	V

La cuarta columna la llenamos usando el bicondicionante para las columnas uno y dos. Tenemos

$p$	$q$	$\sim q$	$p\leftrightarrow q$
V	V	F	V
V	F	V	F
F	V	F	F
F	F	V	V

Llenamos la quinta columna usando la conjunción para las columnas cuatro y tres. Tenemos

$p$	$q$	$\sim q$	$p\leftrightarrow q$	$(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q$
V	V	F	V	F
V	F	V	F	F
F	V	F	F	F
F	F	V	V	V

Para llenar la sexta columna usamos la conjunción para las columnas uno y tres. Tenemos

$p$	$q$	$\sim q$	$p\leftrightarrow q$	$(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q$	$p\wedge \sim q$
V	V	F	V	F	F
V	F	V	F	F	V
F	V	F	F	F	F
F	F	V	V	V	F

Finalmente, para llenar la séptima y última columna de la tabla, usamos la condicionante para las columnas quinta y sexta, teniéndose que

$p$	$q$	$\sim q$	$p\leftrightarrow q$	$(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q$	$p\wedge \sim q$	$[(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q]\rightarrow (p\wedge \sim q)$
V	V	F	V	F	F	V
V	F	V	F	F	V	V
F	V	F	F	F	F	V
F	F	V	V	V	F	F

De esta forma, vemos que para que la proposición compuesta $[(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q]\rightarrow (p\wedge \sim q)$ tenga valor de verdad falso, debe cumplirse que cada proposición simple, p y q, deben tener valor de verdad falso.

Segunda forma, descomposición en proposiciones simples.

Vemos que en la proposición compuesta $[(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q]\rightarrow (p\wedge \sim q)$ el conectivo importante es el condicionante $\rightarrow$ .

Por la tabla asociada, vemos que la única combinación que hace al condicionante tener valor de verdad falso, es cuando el antecedente tiene valor de verdad verdadero, y el consecuente tiene valor de verdad falso.

Luego, se debe tener que

$[(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q]\equiv V\ {\textrm {y}}\ (p\wedge \sim q)\equiv F$

Del hecho que la proposición compuesta $[(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q]$ tiene valor de verdad verdadero, se debe tener entonces que tanto la proposición $(p\leftrightarrow q)$ como la proposición $(\sim q)$ deben tener valor de verdad verdadero.

Así, como $\sim q\equiv V$ , entonces tenemos que $q\equiv F$ .

Ahora, como $(p\leftrightarrow q)\equiv V$ y $q\equiv F$ , se tiene que la proposición simple $p\equiv F$ .

Luego, ambas proposiciones simples p y q deben tener valor de verdad falso.

Número de combinaciones

Partiendo de un número n de variables, cada una de las cuales puede tomar el valor verdadero: V, o falso: F, por combinatoria, podemos saber que el número total de combinaciones: C, que se pueden presentar es:

C=2^{n}

el número de combinaciones que se pueden dar con n variable, cada una de las cuales puede tomar uno entre dos valores lógicos es de dos elevado a n, esto es, el número de combinaciones: C, tiene crecimiento exponencial respecto al número de variable n:

{\begin{array}{r|r}n&C\\\hline 0&1\\1&2\\2&4\\3&8\\4&16\\5&32\\\ldots &\ldots \\n&2^{n}\end{array}}

Si consideramos que un sistema combinacional de n variables binarias, puede presentar un resultado verdadero: V, o falso: F, para cada una de las posibles combinaciones de entrada tenemos que se pueden construir un número de funciones: F con n variables de entrada, donde:

F=2^{C}=2^{2^{n}}

Que da como resultado la siguiente tabla:

{\begin{array}{r|r}n&F\\\hline 0&2\\1&4\\2&16\\3&256\\4&65_{.}536\\5&4_{.}294.967.296\\\ldots &\ldots \\n&2^{2^{n}}\end{array}}

Para componer una tabla de verdad, pondremos las n variables en una línea horizontal, debajo de estas variables desarrollamos las distintas combinaciones que se pueden formar con V y F, dando lugar a las distintas C, número de combinaciones. Normalmente solo se representa la función para la que se confecciona la tabla de verdad, y en todo caso funciones parciales que ayuden en su cálculo, en la figura, se pueden ver todas las funciones posibles F, que pueden darse para el número de variables dado.

Así podemos ver que para dos variables binarias: A y B, n= 2 , que pueden tomar los valores V y F, se pueden desarrollar cuatro combinaciones: C= 4, con estos valores se pueden definir dieciséis resultados distintos, F= 16, cada una de las cuales seria una función de dos variables binarias. Para otro número de variables se obtendrán los resultados correspondientes, dado el crecimiento exponencial de F, cuando n toma valores mayores de cuatro o cinco, la representación en un cuadro resulta compleja, y si se quiere representar las combinaciones posibles F, resulta ya complejo para n= 3.