Apuntes matemáticos/Álgebra/Productos Notables

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Términos semejantes de polinomios[editar]

Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal. Por ejemplo: –2a2b y 5a2b son semejantes.
Los términos semejantes se pueden sumar (o restar) sumando o restando los coeficientes y conservando la parte literal.
Por ejemplo:

–2a2b + 5a2b = 3a2b

10x2z3 – 22x2z3 = – 12x2z3

Si los términos no son semejantes, no se pueden sumar o restar:

La operación 12a2b + 13ab2 no se puede reducir más, debido a que los términos no son semejantes.


Eliminación de Paréntesis[editar]

Para eliminar paréntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientes reglas:

(1) Si aparece un signo “+” delante de un paréntesis (o ningún signo), se elimina el paréntesis conservando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis.

(2) Si aparece un signo “-” delante de un paréntesis, se elimina el paréntesis cambiando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis.

Ejemplo:

2ab – (a + ab) + (3a – 4ab) =

Aplicando las reglas anteriores, tenemos:

2ab – a – ab + 3a - 4ab, reduciendo términos semejantes:

-3ab + 2a

Producto de expresiones algebraicas[editar]

Producto de monomios[editar]

Se multiplican los coeficientes entre sí, y para multiplicar potencias de igual base, ocupamos la propiedad: “para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes”.

Ejemplo: 2x2y3 z · 4x4y2 = 8x6y5z

Producto de monomio por polinomio[editar]

Se aplica la propiedad distributiva, esto es: “el monomio multiplica a todos los términos del polinomio”.

Ejemplo:

2ab (3a - ab2 + 4b2c2) = 2ab . 3a - 2ab . ab2 + 2ab . 4b2c2 = 6a2b – 2a2b3 + 8ab3c2

Producto de binomio por binomio[editar]

Se multiplican todos los términos del primer binomio con los términos del segundo binomio.

Ejemplo:

(2a - 3b2c) (4a2 + 5ab3) = 2a . 4a2 + 2a . 5ab3 – 3b2c . 4a2 – 3b2c . 5ab3 = 8a3 + 10 a2b3 – 12 a2b2c – 15 ab5c

Producto de polinomio por polinomio[editar]

Al igual que en el caso anterior, se multiplican todos los términos del primer polinomio con todos los términos del segundo.

(2x – 3y + 4z2). (5x + 2xy + 4xz2) = 2x . 5x + 2x . 2xy + 2x . 4xz2 – 3y . 5x – 3y . 2xy – 3y . 4xz2 + 4z2 . 5x + 4z2 . 2xy + 4z2 . 4xz2 = 10x2 + 4x2y + 8x2z2 – 15xy – 6xy2 – 12xyz2 + 20xz2 + 8xyz2 + 16xz4

Productos notables[editar]

Son productos que, dada la frecuencia con que aparecen, es necesario memorizarlos para poder realizarlos más rápidamente. Por lo tanto se simplifica en sus apuntes, mientras estudia para su examen de mañana, viej@ vago.

Suma por su diferencia:[editar]

(a + b) (a – b) = a2-b2

Cuadrado de binomio:[editar]

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 – 2ab + b2

Multiplicación de binomios con término común:[editar]

(x+a) (x+b) = x2 +(a+b)x + ab

binomio conjugado:[editar]

(a+b)= a2 + b2

Cubo de binomio:[editar]

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Puedes hallar un mapa conceptual acerca de los productos notables en:

Productos notables[editar]

Puedes estudiar la interpretación geométrica de los productos notables en los siguientes sitios: ( tema incompleto) (1/2a - 3)

Desarrollo productos notables[editar]

Factorización[editar]

Consiste en expresar adiciones y/o sustracciones en términos de multiplicaciones. Los casos de factorización que estudiaremos son los siguientes:

Factor común[editar]

Se aplica cuando todos los términos tienen un divisor común diferente de 1. Ejemplo:

15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3

Aquí el factor común es: 5xy2z2, por lo tanto, la expresión dada se puede colocar de la forma:

15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3 = 5xy2z2 (3xz – y + 2x3y2z), lo que corresponde a su factorización.

Diferencia de cuadrados[editar]

Toda diferencia se puede factorizar mediante el producto de la suma con la diferencia de las bases.

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

Ejemplo: 25a2 – 16b4

Esta expresión corresponde a la diferencia entre el cuadrado de 5a y el de 4b2 :

Por lo tanto: (5a)2 – (4b2)2 = (5a + 4b2) (5a — 4b2)

Factorización de trinomio cuadrático perfecto[editar]

Un trinomio cuadrático perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de un cuadrado de binomio, por lo tanto, su factorización es:

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Ejemplo: 16x2 – 24xy + 9y2

En este trinomio hay dos términos que son cuadrados perfectos: 16x2 = (4x)2 y 9y2 = (3y)2, por lo tanto, el trinomio dado puede provenir del desarrollo del binomio:

(4x - 3y)2, si se desarrolla esta expresión se constata que efectivamente coincide con la expresión dada.

Factorización de trinomio cuadrático no perfecto[editar]

En este caso hay dos subcasos:

Caso en que el coeficiente cuadrático es 1

Utilizando el producto notable “producto de binomios con término común”:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Nos da la forma de poder factorizar una expresión del tipo: x2 + px + q

Ejemplo: x2 – 10x + 24

El trinomio se factoriza de la forma: (x + a)(x + b), donde a y b son números tales que a + b = –10 y ab = 24. Estos números son: –4 y –6, por lo tanto:

x2 – 10x + 24 = (x – 4)(x – 6)

Caso en que el coeficiente cuadrático es diferente de 1

Ejemplo: 2x2 + 7x – 15

Para poder factorizar trinomios de este tipo, multiplicaremos y dividiremos (para que la expresión no cambie) por el coeficiente del término cuadrático:


El numerador se puede factorizar de la forma (2x + a)(2x + b), donde a y b son números tales que a + b = 7 y ab = –30. Estos números son: 10 y -3:

Diferencia de cubos[editar]

a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

Ejemplo:

125z3 – 64y6

La expresión 125z3 es el cubo de 5z y 64y6 es el cubo de 4y2, por lo tanto:

125z3 – 64y6 = (5z)3 – (4y2)3

Ocupando que a = 5z y b = 4y2 en la expresión dada, tenemos que:

(5z)3 – (4y2)3 = (5z – 4y2)(25z2 + 20y2z + 16y4)