Álgebra/Álgebra Lineal/Espacios Vectoriales

De Wikilibros, la colección de libros de texto de contenido libre.
Saltar a: navegación, buscar

Definicion[editar]

Un espacio vectorial sobre un campo , es un conjunto donde se cumplen 2 operaciones y

Donde:

Es una operacion binaria en el conjunto V conocida como suma de vectores

Es una operacion binaria del campo F y el conjunto V, al conjunto V conocida como multiplicacion por escalares


Y se cumplen las siguientes propiedades:

Propiedad 1.

Propiedad 2.

Propiedad 3.

Propiedad 4.

.

Propiedad 5.

Propiedad 6.

Propiedad 7.

Propiedad 8.


Donde y son las dos operaciones del campo F


A los elementos de V se les llama Vectores y a los elementos de F se les llama escalares.


No confundir con , el primero es suma de vectores y el segundo es suma de escalares; y recordadr que es producto de escalares por vectores y es multiplicacion de escalares


Ejemplos[editar]

1. es un espacio vectorial sobre el campo


2. (el conjunto de matrices de con entradas en ) es un espacio vectorial sobre el campo


3. (los polinomios de grado menor o igual que con coeficientes en ) son un espacio vectorial sobre el campo


4.

Teorema En un espacio vectorial siempre se cumplen las siguientes propiedades:

  1. ,

donde es el neutro de la operacion suma en F

  1. ,
  2. ,


Demostración

  1. y por cancelacion .
  2. . Como el simétrico (para la suma) de es único, tenemos .
  3. y por cancelación .