Matemáticas/Lógica/Argumentos

Usaremos las proposiciones simples y compuestas, y los resultados de las tablas de verdad ya vistas, para analizar argumentos y decidir si éstos son válidos o no.

Objetivos

Aplicar las tablas de verdad a argumentos
Determinar la validez de un argumento

Tautología. Contingencia. Contradicción

Consideremos las siguientes tablas de verdad, para cada una de las proposiciones dadas.

$p\vee (q\wedge r)$

$p$	$q$	$r$	$q\wedge r$	$p\vee (q\wedge r)$
V	V	V	V	V
V	V	F	F	V
V	F	V	F	V
V	F	F	F	V
F	V	V	V	V
F	V	F	F	F
F	F	V	F	F
F	F	F	F	F

$(p\wedge q)\wedge (\sim p\wedge \sim q)$

$p$	$q$	$\sim p$	$\sim q$	$p\wedge q$	$\sim p\wedge \sim q$	$(p\wedge q)\wedge (\sim p\wedge \sim q)$
V	V	F	F	V	F	F
V	F	F	V	F	F	F
F	V	V	F	F	F	F
F	F	V	V	F	V	F

$(p\wedge q)\leftrightarrow (q\wedge p)$

$p$	$q$	$p\wedge q$	$q\wedge p$	$(p\wedge q)\leftrightarrow (q\wedge p)$
V	V	V	V	V
V	F	F	F	V
F	V	F	F	V
F	F	F	F	V

Una tautología es una proposición cuyo valor de verdad es verdadero, independiente de los valores de verdad de las proposiciones que la componen.

La tabla 3 muestra una tautología.

Una contradicción es una proposición cuyo valor de verdad es falso, independiente de los valores de verdad de las proposiciones que la componen.

La tabla 2 muestra una contradicción.

Una contingencia es una proposición que toma valores de verdad verdaderos en unos casos y falsos en otros, dependiendo de los valores de verdad de las proposiciones que la componen.

La tabla 1 muestra una contingencia.

Argumentos

Un argumento es una relación entre un conjunto de proposiciones $p_{1},p_{2},...,p_{k}$ llamadas premisas, y otra proposición $q$ llamada conclusión.

Denotamos un argumento por

$\left\{{\begin{matrix}p_{1}\\p_{2}\\.\\.\\.\\p_{k}\\\therefore \\q\end{matrix}}\right.$

El símbolo $\therefore$ se lee por tanto.

Diremos que un argumento es válido si $q$ es verdadero cada vez que las premisas $p_{1},p_{2},...,p_{k}$ sean verdaderas.

Una manera práctica de decidir si un argumento es válido es observar la tabla de verdad:

si cuando cada premisa es verdadera se tiene que la conclusión también lo es, entonces el argumento es válido.
si cuando cada premisa es verdadera se tiene que la conclusión es falsa, entonces el argumento no es válido.

Un argumento que no es válido se llama falacia.