Álgebra Fundamental/Conjuntos

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Definición[editar]

Un conjunto es una colección bien definida de objetos. Tales objetos se llaman elementos del conjunto, y estos pueden tener distinta naturaleza (números, países, autos, etc.).

De manera general, los conjuntos serán denotados por letras mayúsculas (), mientras que los elementos serán denotados por letras minúsculas ().

Ejemplos de conjuntos

  1. , el conjunto de los números dígitos.
  2. , el conjunto de los colores del aroíris.
  3. , el conjunto de las vocales.


Nota

Cuando un conjunto está descrito por sus elementos, y en éste algún elemento se repite más de una vez, tal elemento debe ser considerado solo una vez en la escritura final del conjunto.

Por ejemplo


Pertenencia[editar]

La pertenencia es el concepto que relaciona los dos conceptos básicos vistos (conjunto y elemento). El s'imbolo que representa la pertenencia es , y escribimos

  • si es que el elemento pertenece al conjunto .
  • si es que el elemento no pertenece al conjunto .


Ejemplo de pertenencia[editar]

Si , entonces podemos decir que

Conjuntos por Extensión y por Comprensión[editar]

Un conjunto está descrito por extensión cuando son exhibidos todos y cada uno de sus elementos.

Un conjunto está descrito por comprensión cuando lo que representa al conjunto es una propiedad que cumplen sus elementos.

Así, por ejemplo, el conjunto

está descrito primero por comprensión y luego por extensión.

Ejemplo Extensión[editar]

Escribir por extensión el conjunto .

Sol:

Ejemplo Comprensión[editar]

Escribir por comprensión el conjunto .

Sol:

Ejemplo Comprensión

Subconjunto[editar]

Sean conjuntos. Diremos que es subconjunto de , lo que denotaremos por , si y solo si todos los elementos del conjunto perteneces al conjunto .

Ejemplo

Consideremos los conjuntos y .

Podemos ver que , pues los tres elementos del conjunto están en el conjunto .

También, podemos ver que el conjunto no es subconjunto del conjunto , lo que denotamos por , pues hay dos elementos, 4 y 5, del conjunto que no están en el conjunto .

Si el conjunto es subconjunto del conjunto , gráficamente se ve de la siguiente forma

Igualdad de conjuntos[editar]

Sean y dos conjuntos. Diremos que el conjunto es igual al conjunto , lo que denotaremos por , si y solo si y .

Algunos conjuntos importantes[editar]

Conjunto Vacío[editar]

Es el conjunto que no contiene ningún elemento en su interior.

Es representado por el símbolo .

Conjunto Potencia[editar]

El conjunto potencia de un conjunto es el conjunto formado por todos los subconjuntos de , incluidos el conjunto vacío y el mismo conjunto .

El conjunto potencia de es denotado por .

Si el conjunto tiene elementos, entonces el conjunto potencia, tiene elementos.

Ejemplo[editar]

Consideremos el conjunto . Queremos describir a , el conjunto potencia de .

Sol:

Conjunto Universo[editar]

El conjunto universo es un conjunto de referencia, que se usa para el estudio de subconjuntos de elementos con alguna propiedad determinada.

Por ejemplo, si los conjuntos con los que se trabaja son conjuntos cuyos elementos son letras, entonces el conjunto universo , para este caso, es el conjunto formado por todas las letras del abecedario.

En tanto, si los conjuntos con los que se trabaja son conjuntos cuyos elementos son números, entonces el conjunto universo, para este caso, es el conjunto formado por todos los números reales.


Ejercicios Propuestos de Conjuntos[editar]

Desarrollar los siguientes ejercicios propuestos de conjuntos