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Parte I: Teoría de grupos


Capítulo 1: Introducción a la teoría de grupos


Semigrupos, monoides y grupos[editar]

Definición 1.1: Sea un conjunto. Una aplicación



se dice una operación binaria (o ley de composición interna) en . La imagen de cualquier par bajo la operación se representa por , en lugar de o de . Cuando el símbolo que representa la operación es , entonces la imagen de bajo la operación suele representarse también por .

Una operación binaria sobre un conjunto se dice asociativa si


para cualesquiera y de . Cuando para cualesquiera de se cumple , se dice que la operación es conmutativa. Por lo regular usaremos el símbolo para representar operaciones que sean conmutativas. En general, cuando hagamos uso de los símbolos o para representar operaciones diremos que nuestra notación es, respectivamente, multiplicativa o aditiva.


Definición 1.2: Sea un conjunto y una operación binaria en . Se dice que el par es un semigrupo si la operación es asociativa. Si, además, existe un elemento tal que


entonces el par se llama un monoide.

En lo sucesivo, cuando no haya lugar a confusión, nos referiremos a un monoide simplemente como el monoide , haciendo mención sólo del conjunto y dejando que la operación se deduzca del contexto.

El elemento aludido en la definición anterior se dice identidad o elemento neutro del monoide , y es único, pues si fuera otro elemento de con las mismas propiedades, entonces . Para representar identidades usaremos el símbolo 1 en notación multiplicativa y el símbolo 0 en notación aditiva.

Representaremos por al cardinal de un monoide . Si es el elemento de un monoide y es un entero positivo, definimos


Cuando nuestra notación sea aditiva escribiremos en lugar de .

Sea un monoide y elementos de con . Se define inductivamente el producto de como


Definimos


Con estas definiciones, se cumple el


Teorema 1.3 (Ley asociativa general): Sea un monoide y elementos de . Entonces


Demostración: Por inducción sobre . Para es evidente. Supuesto cierto para , vemos que

lo que demuestra el teorema.


Se dice que un monoide es conmutativo si su operación es conmutativa.


Teorema 1.4 (Ley conmutativa general): Sea un monoide conmutativo y elementos de . Sea una aplicación del conjunto sobre sí mismo. Entonces



Demostración: Por inducción sobre . Para es evidente. Supóngase cierto para . Sea el entero tal que . Entonces,

Con el propósito de aplicar el teorema 1.3, definimos la aplicación por

Así tenemos que

donde por hipótesis de inducción, y así



Definición 1.5: Sea un monoide. Un elemento de se dice invertible por la izquierda (resp. invertible por la derecha) si existe un elemento , llamado inverso izquierdo de (resp. inverso derecho de ), tal que (resp. ). Se llama invertible a un elemento que es invertible por ambos lados.

Si un elemento de un monoide es invertible, entonces su inverso izquierdo y su inverso derecho coinciden. En efecto, pues si y son, respectivamente, el inverso izquierdo y el inverso derecho de , entonces .

Definición 1.6: Se llama grupo a un monoide cuando todos sus elementos son invertibles, es decir, cuando para todo de existe de tal que


El elemento aludido en la definición anterior se llama inverso de y es único, pues si es otro inverso de , entonces . En notación multiplicativa y notación aditiva el inverso de se denota, respectivamente, por y .

Se define


En notación aditiva se escribe en lugar de .

Un grupo en el que se verifica la propiedad conmutativa, es decir, en el que para cualesquiera y de , se dice grupo abeliano.


El teorema siguiente recoge algunos hechos básicos acerca de los grupos

Teorema 1.7: Sea un grupo y elementos de . Se cumplen

(G-1) implica
(G-2) implica
(G-3)
(G-4)
(G-5)


Demostración: (G-1) Si , entonces . (G-2) Si , entonces al multiplicar ambos lados de la ecuación por se obtiene . (G-3) . (G-4) , de modo que es inverso de , pero éste es único, así es que ha de ser . (G-5) se sigue de (G-4) usando por inducción matemática.


Los dos teoremas siguientes muestran las condiciones que debe cumplir un semigrupo para ser un grupo.


Teorema 1.8: Un semigrupo es un grupo si y sólo si

  1. existe una identidad por la izquierda tal que para todo elemento de , ;
  2. todo elemento de tiene un inverso por la izquierda .


Demostración: La implicación es obvia. Por la otra parte, cumple también con (G-1) del teorema 1.7 (pues por hipótesis todo elemento suyo es invertible), así que, de


se deduce que , por lo que es también inverso de por la derecha. Además, , por lo que 1 es también una identidad por la derecha en , luego es un grupo.


Teorema 1.9: Un semigrupo es un grupo si y sólo si para cualesquiera y de las ecuaciones



tienen soluciones únicas en .

Demostración: Si es un grupo, entonces las soluciones de y en son y . Recíprocamente, si es un semigrupo en el que las ecuaciones y tienen soluciones únicas, entonces, tomando , tenemos que existen y tales que


y si es un elemento cualquiera de , entonces también existen y de tales que


de modo que

(1.1


y

(1.2


Puesto que es cualquier elemento de , podemos tomar en (1.1)

y  en (1.2)

, obteniendo y , luego es la identidad de . Ahora, si y son las soluciones de y , entonces y son, respectivamente, los inversos derecho e izquierdo de , y como vimos, debe de ser . Esto prueba que es un grupo.


Homomorfismos[editar]

Definición 1.10: Sean y dos grupos. Una aplicación se llama homomorfismo de grupos (o simplemente homomorfismo) si


para todo , de .


Es claro que si y son homomorfismos entonces es un homomorfismo.


Teorema 1.11: Sean y dos grupos y un homomorfismo. Se cumple que

  1. si y son las identidades de y , respectivamente, entonces ;
  2. si entonces .


Demostración: En efecto, pues , lo que implica . Además, , luego .


Se dice que un homomorfismo es un monomorfismo, un epimorfismo o un isomorfismo si es, respectivamente, inyectivo, sobreyectivo o biyectivo. Un homomorfismo de un grupo en sí mismo se dice un endomorfismo, mientras que un isomorfismo de un grupo en sí mismo se dice un automorfismo.

Dos grupos y se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos, hecho que representaremos por . Dos grupos que son isomorfos son, desde el punto de vista algebraico, indistinguibles, pues lo que vale para respecto de su operación de grupo vale también para respecto de su operación de grupo, y viceversa. Así, aunque desde el punto de vista conjuntista y sean dos conjuntos diferentes, desde el punto de vista algebraico y son el mismo objeto.

Sea un grupo. Denotaremos por al conjunto de todos los automorfismos del grupo . Puede probarse que es a su vez un grupo tomando como operación la composición de aplicaciones.


Definición 1.12: Sean y dos grupos y sea un homomorfismo entre ellos. El núcleo de se define como el conjunto


donde es la identidad de .


Teorema 1.13: Sean y dos grupos cualesquiera. La aplicación es monomorfismo si y sólo si es homomorfismo y .


Demostración: Si es un monomorfismo, entonces sólo puede existir un elemento de tal que , y por el teorema 1.11, ese elemento es , de modo que . Recíprocamente, si y , entonces , lo que implica , luego y así , por lo que es inyectiva y con ello un monomorfismo.


El teorema anterior resulta útil para probar que dos grupos son isomorfos, ya que para esto basta con mostrar que existe un epimorfismo entre ellos cuyo núcleo es trivial (en cuyo caso es también un monomorfismo y por tanto un isomorfismo).


Grupos generados y grupos cíclicos[editar]

Si y son dos subgrupos de un grupo , es fácil ver que es de nuevo un subgrupo de . Más aún, si es una familia de subgrupos de , entonces es también un subgrupo de .


Definición 1.16: Sea un grupo y . Se llama subgrupo generado por a la intersección de todos los subgrupos de que contienen a , y se representa por . Es decir,



donde es cualquier grupo que contenga al conjunto . Cuando sea un conjunto finito, digamos , escribiremos también en lugar de .

Equivalentemente, tenemos que se puede definir como el menor subgrupo de que contiene a .

En realidad, es posible saber explícitamente la forma que tienen los elementos de :


Teorema 1.17: Sea un grupo y . Defínase . Entonces es el grupo formado por todos los elementos que son el producto de un número finito de elementos de o de . En otras palabras,



Demostración: Sea . Sean y elementos de , de modo que



donde o y o para todo . El hecho de que se sigue inmediatamente de (G-5) del teorema 1.7, así que es un grupo que además, como es claro, contiene a , de modo que , pero también es claro que (pues los elementos de y sus inversos están en , luego cualquier producto entre ellos estará también en ), por lo que termina siendo .


El teorema siguiente es un caso particular del teorema anterior.


Teorema 1.18: Sea un grupo finito y . Entonces



Demostración: Si es finito, las potencias , , de cualquier de no pueden ser todas diferentes, por lo que deben existir enteros tales que , o sea que (donde ), de lo que se sigue (con ). Esto significa que todo elemento de tiene su inverso en , pues éste puede expresarse como un producto de elementos de .


Como consecuencia inmediata del teorema 1.17 tenemos también que


Corolario 1.19: Sea un grupo y . Entonces


Definición 1.20: Si es un grupo y es un elemento de tal que , i.e. si es generado por un sólo elemento suyo , se diceque es un grupo cíclico. Más en general, si con cada en , se dice que es un grupo finitamente generado.


Como un ejemplo de grupo cíclico, tenemos al grupo aditivo generado por su unidad (aunque también puede ser generado por ). Se trata de un grupo cíclico infinito, al igual que lo es el grupo aditivo

.



cuyo generador es . En general, forma un grupo cíclico infinito respecto de la adición, y cuyo generador es . Es muy fácil notar que y son isomorfos, siendo la aplicación , dada por



el isomorfismo entre ellos.

Otro ejemplo de grupo cíclico es el grupo aditivo , cuyos elementos son las clases de equivalencia surgidas a partir de la relación de congruencia módulo () sobre . Se trata en este caso de un grupo cíclico finito de orden .


Un ejemplo más de grupo cíclico: el grupo multiplicativo , generado por (o también por ).


170px

Figura: genera al grupo multiplicativo


El lector puede verificar que, como un hecho más general, el grupo multiplicativo de las raíces complejas de la unidad, , es un grupo cíclico.


A parte del corolario 1.19, hay otro hecho característico de los grupos cíclicos que nos va a interesar:


Teorema 1.21: Sea un grupo y un elemeno de . Entonces, si , el grupo consiste de los elementos y si y sólo si .


Demostración: Por el corolario 1.19, existe el menor entero tal que . Vemos entonces que los elementos son todos distintos, pues si con , entonces con , pero hemos supuesto que es el menor entero que cumple . Luego vemos que , , , etc., de modo que las potencias de comienzan a repetirse a partir de y así con . Además se observa que para cualesquiera enteros y , de modo que si y sólo si .


Por el teorema anterior, tenemos que si y , entonces .


Otra consecuencia del corolario 1.19 es que todo grupo cíclico es abeliano. En efecto, pues dos elementos de un grupo son de la forma y , y



Uno de nuestros propósitos principales en nuestro estudio de la teoría de grupos es determinar explícitamente las características de los subgrupos de un grupo dado. Para un grupo cualquiera, esta tarea resulta bastante complicada, y no podremos confrontarla realmente hasta después de haber obtenido una buena cantidad de resultados a cerca de grupos. Sin embargo, cuando el grupo en cuestión es cíclico, esta tarea resulta mucho más sencilla.


Teorema 1.22: Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.


Demostración: Sea un grupo cíclico. Si , entonces existen dos posibilidades: que sea trivial, en cuyo caso , o que exista un entero positivo mínimo tal que . En este último caso, claramente . Ahora bien, si , entonces es de la forma pues es un subgrupo de , y por el algoritmo de la división tenemos que , con y , o sea que



por lo que sólo puede ser ya que hemos supuesto que es el menor entero positivo para el cual , así que todo elemento de es de la forma , luego , y así concluimos que , lo que demuestra el teorema.


Como caso particular, tenemos que todo subgrupo del grupo aditivo es cíclico. Para ser exactos, todo subgrupo de es de la forma , donde, según el teorema anterior, es el menor entero positivo de .


Mostraremos ahora que, esencialmente, los únicos grupos cíclicos son el grupo aditivo (infinito) y los grupos aditivos (finitos) de la forma .


Teorema 1.23 (Teorema de clasificación de grupos cíclicos): Todo grupo cíclico infinito es isomorfo al grupo , y todo grupo cíclico finito de orden es isomorfo al grupo .


Demostración: Sea un grupo cíclico. La aplicación dada por



es un epimorfismo de grupos (lo cual puede verificar el lector) por el teorema <<Teorema pendiente>>. Por lo tanto, existen las siguientes dos posibilidades:

  1. , en cuyo caso es un isomorfismo por el teorema 1.13.
  2. contiene un menor entero positivo , y por el teorema 1.22, , pues . En este caso, podemos definir una aplicación dada por



Esta aplicación está bien definida, pues si y sólo si (con la unidad de ), es decir, si y sólo si , lo que equivale a que (pues ). Es claro que es un epimorfismo de grupos. Pero es además un monomorfismo de grupos, ya que si y sólo si , lo que equivale a , luego . Esto demuestra que es un isomorfismo.


Así pues, tenemos que un grupo cíclico es, o isomorfo a (en cuyo caso el grupo en cuestión es infinito), o isomorfo a un grupo de la forma (en cuyo caso el grupo en cuestión es finito y de orden ), luego hemos clasificado a todos los grupos cíclicos. En términos algebraicos, esto quiere decir que los únicos grupos cíclicos son y , pues todos los demás grupos cíclicos son isomorfos a ellos, y en realidad no existe ninguna distinción algebraica entre dos grupos isomorfos.


Álgebra/Teoría de grupos/Grupos de permutaciones


Clases laterales[editar]

Uno de los resultados más destacables de la sección anterior es el hecho de que todo subgrupo de un grupo cíclico es igualmente cíclico. Este resultado fue muy sencillo de demostrar. Sin embargo, la tarea general de determinar explícitamente los subgrupos de un grupo cualquiera resulta mucho más complicada, y no podremos concluirla hasta mucho después. No obstante, es relativamente fácil encontrar la relación que existe entre el orden de un grupo y el orden de sus subgrupos, y a eso nos dedicaremos en esta sección.


Nos serán útiles los conceptos siguientes:


Definición 1.24: Sea un grupo y un subgrupo de . Diremos que dos elementos y de son congruentes por la izquierda módulo si . Este hecho lo representaremos por . Similarmente, y serán congruentes por la derecha si , y lo denotaremos por .


Las relaciones de congruencia módulo un subgrupo por la izquierda y por la derecha son relaciones de equivalencia. Probaremos esto para el caso de la relación . Si es un grupo y , entonces , pues , luego es reflexiva. Si , entonces también , pero , de modo que y es simétrica. Si y , entonces también , y como , tenemos que , y con ello es transitiva. Esto prueba que la relación de congruencia módulo es una relación de equivalencia.


Tenemos entonces que, si es un grupo y , las relaciones de congruencia y definen cada cual una partición del grupo en clases de equivalencia. La clase de equivalencia de un elemento de por la relación de congruencia módulo por la izquierda es el conjunto



Efectivamente, pues si es uno de los elementos de la clase de equivalencia de por esta relación de congruencia, , es decir, para cierto de , lo que equivale a que . Similarmente se prueba que la clase de equivalencia de un elemento de por la relació de congruencia módulo por la derecha es el conjunto

.



Llamaremos clase lateral izquierda de y clase lateral derecha de según el subgrupo a los conjuntos y , respectivamente. Al conjunto cociente de todas las clases laterales (con ) lo representaremos por , mientras que al conjunto cociente de todas las clases laterales lo representaremos por

Tanto como tienen cardinal igual a , pues, por ejemplo, la aplicación



es claramente biyectiva, luego . Más aún, también es cierto que



La prueba de esto es que la aplicación dada por



está bien definida (hecho que puede verificar el lector) y es biyectiva.


Definición 1.25: Sea un grupo y un subgrupo de . Llamaremos índice de en al cardinal . Lo representaremos por



Por todo lo anterior, tenemos que se cumple el siguiente hecho


Teorema 1.26 (Lagrange): Si es un grupo finito y es un subgrupo de , entonces

,


así que el orden de todo subgrupo de es divisor del orden de .


Demostración: Efectivamente, pues hemos visto que todas las clases laterales tienen el mismo cardinal (que es también el cardinal de cualquier clase ), y si hay de estas clases, entonces el orden de es .


En realidad el teorema anterior puede generalizarse para grupos no necesariamente finitos:


Teorema 1.27: Sea un grupo y . Entonces



Demostración: Tenemos que


donde y y las clases laterales son disjuntas entre sí, al igual que lo son las clases . Además, nótese que y . Tenemos pues que

(1.3



Vamos a probar ahora que las clases laterales son disjuntas, es decir, que si y sólo si y . Supóngase pues que , de modo que



para cierto de . Ya que , tenemos que



para cierto de , luego , y entonces . Esto da paso a que sea



lo cual lleva claramente al hecho de que , luego también y así la unión (1.3)

es de clases mutuamente disjuntas, lo que implica que 



y el teorema queda demostrado.


Ahora el teorema 1.26 se convierte en un caso particular del teorema 1.27 cuando es finito y tomando .


Sea un grupo y . Se define



(Este conjunto puede no ser un grupo aún cuando y lo sean). Si, por ejemplo, y , entonces es la clase lateral izquierda de según el subgrupo . Si y , notar que .


Teorema 1.28 Si y son subgrupos finitos de un grupo , entonces



Demostración: Si , entonces es también un subgrupo de , aunque también lo es de ambos y , así que

(1.4


siendo esta unión disjunta y . Si multiplicamos (1.4)

por  y teniendo en cuenta que , obtenemos



siendo esta unión igualmente disjunta (pues si no lo fuera tampoco lo sería (1.4)

). Por tanto, , pero por el teorema de Lagrange , de donde se sigue el resultado que se buscaba.


Subgrupos normales[editar]

Si es un grupo y es un subgrupo de , no es cierto en general que , aunque claramente esto sí sucede cuando es abeliano. En realidad existen subgrupos de un grupo que cumplen esto mismo sin necesidad de que sea abeliano. En esta sección vamos a caracterizar tales subgrupos.


Definición 1.29: Sea un grupo y un subgrupo de . Se dice que es normal en si



para todo de . Este hecho lo representaremos por .


Equivalentemente tenemos que si y sólo si



Tenemos pues que si , entonces las relaciones de congruencia izquierda y derecha módulo coinciden, luego cualquiera de ellas da lugar al mismo conjunto cociente . Vamos a probar ahora que este conjunto cociente puede ser dotado de una estructura de grupo.


Teorema 1.30: Sea un grupo y . Entonces es un grupo, llamado grupo cociente de por , con la operación de grupo dada por




Demostración: Para comenzar, debemos probar que la operación en dada por tiene sentido, es decir, que si y , entonces . Esto es así, pues



con y (pues y ), así es que , pero como , también , luego , y entonces , lo que prueba que . Hemos probado que la operación definida en tiene sentido. Esta operación es asociativa. La identidad de es , y el inverso de todo de es . Con esto queda probado que es un grupo.



Si es un homomorfismo de grupos, entonces . En efecto, pues si y , entonces



luego , así que para todo de , luego podemos cambiar por y así tener que , luego para todo de se tiene



lo que demuestra que , completando la prueba de que .


Teorema 1.31: El núcleo de todo homomorfismo de grupos es un subgrupo normal del dominio de . Recíprocamente, todo subgrupo normal de un grupo es el núcleo de cierto homomorfismo cuyo dominio es .


Demostración: La primera parte del teorema ya ha sido probada. Si es un subgrupo normal de , la aplicación



es claramente un epimorfismo, y es llamado proyección canónica. Puesto que si y sólo si , i.e. si y sólo si , tenemos que .


Sea un grupo y , y defínanse los conjuntos



Llamaremos normalizador de al conjunto



Este conjunto es en realidad un grupo, pues es fácil ver que si (i.e. si y ) entonces también , y que además y .

Si es un subgrupo de , entonces claramente . Más aún, es el mayor subgrupo de en el cual es normal. En otras palabras,



Ahora bien, podemos definir un conjunto cuyas exigencias sean aún más fuertes que las que definen a un grupo normalizador. Para ser precisos, si es un grupo podemos definir un subgrupo cuyos elementos sean aquellos que conmuten con todos los elementos de un subconjunto de . A este conjunto se le llama centralizador de , y lo denotaremos por . Así pues,



Notar que

  1. ;
  2. equivale a decir que es abeliano.


Ahora vamos a enunciar un teorema que tiene consecuencias importantes.


Teorema 1.32 (Teorema fundamental de homomorfismos): Sea un homomorfismo de grupos y un subgrupo normal de tal que . Entonces existe un único homomorfismo tal que , donde es la proyección canónica. Además:

(1) es un epimorfismo si y sólo si lo es;
(2)
(3) es un monomorfismo si y sólo si


Demostración: Vamos a demostrar que el homomorfismo es la aplicación dada por



Primeramente observamos que esta aplicación está bien definida, pues si , entonces , y como , también , luego . Es fácil ver que es un homomorfismo, y puesto que está completamente determinada por , es el único homomorfismo que cumple . (1) es evidente. (2) . es un monomorfismo si y sólo si es el subgrupo trivial de , es decir, si y sólo si .


El teorema fundamntal de homomorfismos puede enunciarse también de la manera así: si es un homomorfismo de grupos y un subgrupo normal de tal que , entonces existe un único homomorfismo que da lugar al diagrama conmutativo siguiente:

Teo Fund Homo Diag.svg


Teorema 1.33 (Primer teorema de isomorfía): Si es un homomorfismo de grupos, entonces .


Demostración: El teorema anterior nos da un homomorfismo entre y , que se convierte en epimorfismo si en lugar de tomamos simplemente , pero por (3) del teorema anterior es también un monomorfismo, luego termina siendo un isomorfismo.


Teorema 1.34 (Segundo teorema de isomorfía): Si es un subgrupo normal de un grupo y es un subgrupo cualquiera de , entonces es normal en y .


Demostración: La aplicación


es un epimorfismo, y como , el primer teorema de isomorfía nos da un isomorfismo .


Teorema 1.34 (Tercer teorema de isomorfía): Si y son dos subgrupos normales en un grupo , con , entonces .


Demostración: Sea la proyección canónica. Tal aplicación es un epimorfismo de grupos, y por el teorema 1.31, , luego , así es que, de acuerdo con el teorema 1.32, existe un epimorfismo , pero si y sólo si , lo cual sucede si y sólo si , luego , así es que, por el primer teorema de isomorfía, existe un isomorfismo entre y .