Álgebra/Teoría de grupos/Clases laterales

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Clases laterales[editar]

Uno de los resultados más destacables de la sección anterior es el hecho de que todo subgrupo de un grupo cíclico es igualmente cíclico. Este resultado fue muy sencillo de demostrar. Sin embargo, la tarea general de determinar explícitamente los subgrupos de un grupo cualquiera resulta mucho más complicada, y no podremos concluirla hasta mucho después. No obstante, es relativamente fácil encontrar la relación que existe entre el orden de un grupo y el orden de sus subgrupos, y a eso nos dedicaremos en esta sección.


Nos serán útiles los conceptos siguientes:


Definición 1.24: Sea un grupo y un subgrupo de . Diremos que dos elementos y de son congruentes por la izquierda módulo si . Este hecho lo representaremos por . Similarmente, y serán congruentes por la derecha si , y lo denotaremos por .


Las relaciones de congruencia módulo un subgrupo por la izquierda y por la derecha son relaciones de equivalencia. Probaremos esto para el caso de la relación . Si es un grupo y , entonces , pues , luego es reflexiva. Si , entonces también , pero , de modo que y es simétrica. Si y , entonces también , y como , tenemos que , y con ello es transitiva. Esto prueba que la relación de congruencia módulo es una relación de equivalencia.


Tenemos entonces que, si es un grupo y , las relaciones de congruencia y definen cada cual una partición del grupo en clases de equivalencia. La clase de equivalencia de un elemento de por la relación de congruencia módulo por la izquierda es el conjunto



Efectivamente, pues si es uno de los elementos de la clase de equivalencia de por esta relación de congruencia, , es decir, para cierto de , lo que equivale a que . Similarmente se prueba que la clase de equivalencia de un elemento de por la relació de congruencia módulo por la derecha es el conjunto

.



Llamaremos clase lateral izquierda de y clase lateral derecha de según el subgrupo a los conjuntos y , respectivamente. Al conjunto cociente de todas las clases laterales (con ) lo representaremos por , mientras que al conjunto cociente de todas las clases laterales lo representaremos por

Tanto como tienen cardinal igual a , pues, por ejemplo, la aplicación



es claramente biyectiva, luego . Más aún, también es cierto que



La prueba de esto es que la aplicación dada por



está bien definida (hecho que puede verificar el lector) y es biyectiva.


Definición 1.25: Sea un grupo y un subgrupo de . Llamaremos índice de en al cardinal . Lo representaremos por



Por todo lo anterior, tenemos que se cumple el siguiente hecho


Teorema 1.26 (Lagrange): Si es un grupo finito y es un subgrupo de , entonces

,


así que el orden de todo subgrupo de es divisor del orden de .


Demostración: Efectivamente, pues hemos visto que todas las clases laterales tienen el mismo cardinal (que es también el cardinal de cualquier clase ), y si hay de estas clases, entonces el orden de es .


En realidad el teorema anterior puede generalizarse para grupos no necesariamente finitos:


Teorema 1.27: Sea un grupo y . Entonces



Demostración: Tenemos que


donde y y las clases laterales son disjuntas entre sí, al igual que lo son las clases . Además, nótese que y . Tenemos pues que

(1.3



Vamos a probar ahora que las clases laterales son disjuntas, es decir, que si y sólo si y . Supóngase pues que , de modo que



para cierto de . Ya que , tenemos que



para cierto de , luego , y entonces . Esto da paso a que sea



lo cual lleva claramente al hecho de que , luego también y así la unión (1.3)

es de clases mutuamente disjuntas, lo que implica que 



y el teorema queda demostrado.


Ahora el teorema 1.26 se convierte en un caso particular del teorema 1.27 cuando es finito y tomando .


Sea un grupo y . Se define



(Este conjunto puede no ser un grupo aún cuando y lo sean). Si, por ejemplo, y , entonces es la clase lateral izquierda de según el subgrupo . Si y , notar que .


Teorema 1.28 Si y son subgrupos finitos de un grupo , entonces



Demostración: Si , entonces es también un subgrupo de , aunque también lo es de ambos y , así que

(1.4


siendo esta unión disjunta y . Si multiplicamos (1.4)

por  y teniendo en cuenta que , obtenemos



siendo esta unión igualmente disjunta (pues si no lo fuera tampoco lo sería (1.4)

). Por tanto, , pero por el teorema de Lagrange , de donde se sigue el resultado que se buscaba.