Álgebra/Ecuaciones/Ecuación Diofántica

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Se llama ecuación diofántica a cualquier ecuación algebraica, de dos o más incógnitas, cuyos coeficientes recorren el conjunto de los números enteros, de las que se buscan soluciones enteras, esto es, que pertenezcan al conjunto de los números enteros.[1]

Ejemplo[editar]

Un ejemplo de ecuación diofántica es:

Esta ecuación tiene infinitas soluciones en los números enteros. Como regla general, sin embargo, las ecuaciones que aparecen en los problemas tienen restricciones que nos ayudan a limitarnos a un pequeño número de casos e incluso a una única solución.

Por ejemplo, en nuestra ecuación, si restringimos los posibles valores de e a los enteros positivos, tenemos 4 soluciones para :

(1, 4) (2, 3) (3, 2) (4, 1)

Un problema matemático muy famoso que se resuelve por medio de ecuaciones diofánticas es el del mono y los cocos.

Ecuación diofántica lineal[editar]

La ecuación diofántica o identidad de Bézout tiene solución si y solo si d = mcd(AB) (máximo común divisor) es un divisor de C. En ese caso la ecuación tiene una infinidad de soluciones.

Similarmente la ecuación tiene solución si y solo si d = mcd(a1a2,...,an) es un divisor de C.

Solución general[editar]

Supongamos la ecuación diofántica . Solo tiene solución si . Para buscar el empleamos el algoritmo de Euclides. Si una ecuación diofántica tiene solución, necesariamente tiene infinitas soluciones y todas son de la forma:


Donde y e son una solución particular de la ecuación.

Esta solución para números enteros contrasta con la solución de la misma ecuación cuando se considera que A, B, C, x e y son números reales, que está formada por infinitas soluciones de la forma: y = (C - x*A)/B (suponiendo B diferente de cero).

Solución particular[editar]

Para encontrar una solución particular usamos la identidad de Bézout junto al algoritmo de Euclides. Esto nos da e . Veamos el ejemplo:

Tenemos la ecuación diofántica 6x + 10y = 104

  1. Buscamos el d = mcd(6, 10). A través del algoritmo de Euclides encontramos que d  = 2.
  2. Como d|C (donde "|" significa "divide a"), es decir, 2|104, Calculamos una solución particular mediante la Identidad de Bézout: x1 = 2 e y1 = -1. La ecuación quedaría así: 6 · 2 + 10 · (-1) = 2.
  3. Ahora tenemos una solución para la ecuación 6x + 10y = 2. Con x1 = 2 e y1 = -1. Si multiplicamos cada parte de la ecuación por C/d (104 / 2 = 52), tendremos la solución particular de nuestra ecuación original (6x + 10y = 104). La ecuación quedaría así: 6 · 2 · 52 + 10 · (-1) · 52 = 104
  4. Con lo que hemos visto arriba, buscamos la solución general:

Notas y referencias[editar]

  1. Julián Espinoza de los Monteros ( Coordinador general).Diccionario de matemáticas, edición 2001, Cultural, S.A. Madrid. ISBN 84-8055-355-3

Bibliografía[editar]

Enlaces externos[editar]