Álgebra/Álgebra conmutativa/Anillos conmutativos

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Definicion[editar]

Sea A un conjunto no vacío, y sean y las dos operaciones binarias en A. Se dice que el conjunto es un anillo conmuntativo por que se cumple con las siguientes propiedades:

1. A es cerrado bajo la operación de la suma .
2. La operación es asociativa.
3. La operación tiene a n como elemento neutro.
4. Existe un elemento simétrico para .

Estas cuatro condiciones definen un grupo. Una quinta condición define un grupo abeliano:

5. La operación es conmutativa.

Para definir un anillo, es necesario agregar tres condiciones más que hablan acerca de la segunda operación binaria:

6. A es cerrado bajo la operación .
7. La operación es asociativa.
8. La operación es distributiva respecto de .

Y agregando una novena condición, se define un anillo conmutativo:

9. La operación es conmutativa.

Si un anillo cuenta con un elemento neutro para la segunda operación se llama anillo unitario. A dicho elemento se le suele llamar la unidad (1) para diferenciarlo del elemento neutro de la primera operación (usualmente el 0).

Definición sintética[editar]

Un anillo R es un conjunto con dos leyes de composición, llamadas adición y multiplicación, cumpliendo las condiciones siguientes:

  • R1. R es grupo abeliano para la adición; el elemento neutro en esta adición se nombra cero del anillo, y se denota usualmente 0;
  • R2. R es un semigrupo para la multiplicación;
  • R3. La multiplicación () es distributiva (por los dos lados) respecto de la adición.

Anillo Conmutativo Unitario[editar]

Se considera unitario a todo anillo que contenga un elemento neutro en la multiplicación

Ejemplos[editar]

  • Todos los Números Racionales Q ,Reales R y Complejos C forman un anillo conmutativo unitario

Propiedades[editar]

  • Si f : RS es un homomorfismo de anillos entre R y S, S es conmutativo, y f es inyectiva (esto es, un monomorfismo), R también debe ser conmutativo, pues f(a·b) = f(af(b) = f(bf(a) = f(b·a).
  • Si f : RS es un homomorfismo de anillos entre R y S, con R es conmutativo, la imagen f(R) de R será también conmutativa; en particular, si f es |sobreyectiva (esto es, un epimorfismo), S será conmutativo también.

El mayor interés de los anillos conmutativos está en cuando además son unitarios, es decir, los anillos conmutativos unitarios.