Matemáticas/Álgebra Lineal/Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

Sea $\mathbb {K}$ un cuerpo. Una ecuación lineal con coeficientes en $\mathbb {K}$ es una expresión de la forma:

x, y, z, t...Es remarcable el hecho de que, al tratarse de una ecuación lineal, no pueden existir términos de incógnitas al cuadrado, todas las ecuaciones del sistema deben ser de primer grado.

Se llama solución general del sistema al conjunto de todas las soluciones del sistema. Decimos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución general, es decir, si sus soluciones coinciden. La clasificación de los sistemas de ecuaciones se hace en función de sus soluciones: si posee alguna solución, se llamará compatible; en caso contrario, se denomina incompatible. Además, los sistemas compatibles se dividen a su vez en: determinados, si la solución es única, e indeterminados en caso contrario. Se denomina discusión de un sistema al proceso de clasificación de un sistema dentro de los tipos anteriores. Decimos que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si los términos independientes son cero. Éste tipo de sistemas admiten una solución que se denomina trivial, ${a_{i}}=0\,$ , siendo por tanto compatible en cualquier caso.

Método de Gauss

El método de Gauss es un sistema -probablemente el más útil en dimensiones bajas- de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. La idea del método es conseguir, mediante un sistema dado, uno equivalente más sencillo, y aplicar el método reiterativamente hasta obtener un sistema de solución obvia.

Proposición 1: S Para el tercer predicado consideramos el sistema de ecuaciones lineales:

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+\dots &+a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&+\dots &+a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}&+\dots &+a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{matrix}}$

y lo que resulta de sumar ${\textstyle k}$veces la $j$-ésima ecuación a la $i$-ésima:

${\begin{matrix}a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}+k(a_{j1}x_{1}+a_{j2}x_{2}+\dots +a_{jn}x_{n}=b_{j})\end{matrix}}$

Ahora, debemos probar que ambos sistemas son equivalentes. Para ello, supongamos ${c_{1},c_{2},...,c_{n}}\,$como un conjunto de soluciones del primer sistema. Puesto que ambos sistemas sólo difierenen la $i$-ésima ecuación, basta ver que $x_{k}=c_{k}\,$, $\forall \,$ $k\in {1,2,...,n}$verifica la $i$-ésima ecuación del segundo sistema. Por se solución del primero, tenemos que:

$a_{i1}c_{1}+a_{i2}c_{2}+\dots +a_{in-1}c_{n-1}+a_{in}c_{n}=b_{i}$

$a_{j1}c_{1}+a_{j2}c_{2}+\dots +a_{jn-1}c_{n-1}+a_{jn}c_{n}=b_{j}$

y de aquí se obtiene:

$\sum _{h=1}^{n}(a_{ih}+ka_{jh})c_{h}=b_{i}+kb_{j}\,$

que implica que ${c_{1},c_{2},...,c_{n}}\,$ es solución del segundo sistema, como queríamos comprobar. El recíproco se comprueba fácilmente tomando como hipótesis la ecuación anterior y restando ${\textstyle k}$veces la fila $j$-ésima del primer sistema, con la solución introducida.

A continuación se explica el proceso conocido como método de Gauss, que tiene como objeto transformar un sistema de ecuaciones lineales dado en otro equivalente y más sencillo:

1. Primer paso. Intercambiando ecuaciones, se lleva al primer lugar la primera ecuación que tenga el coeficiente de $x_{1}\,$ no nulo.
2. Segundo paso. Dividimos la mencionada ecuación por $x_{1}\,$, obteniendo un 1 en ésta posición.
3. Tercer paso. Multiplicando la ecuación de forma conveniente, la restamos a las demás para eliminar la variable $x_{1}\,$ de ellas.

Repitiendo éste proceso con todas las variables, y asociando cada variable a una ecuación distinta, obtenemos al final un conjunto de valores que quedan igualadas a las incógnitas: la solución general del sistema.

Matrices

Dado un cuerpo $\mathbb {K}$, consideremos el siguiente sistema de $m$ ecuaciones lineales con $n$ incógnitas:

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{matrix}}$re de matriz de orden $m\times n$ con coeficientes en $\mathbb {K}$. Más en general, se denota al conjunto de todas las matrices de orden $m\times n$ con eficientes${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&|b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}&|b_{1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mn}&|b_{n}\end{pmatrix}}$por $M_{m\times n}$