Álgebra/Álgebra Lineal/Espacios Vectoriales 2

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Definición[editar]

Un espacio vectorial sobre un cuerpo es un conjunto no vacío sobre el que se definen 2 operaciones internas y 8 propiedades inherentes, a saber:

   (Cerradura bajo la operación   de dos elementos de )

   (Cerradura ante  de un elemento del cuerpo  y un elemento de )


  • Propiedad Conmutativa

  • Propiedad Asociativa

  • Existencia de elemento neutro ante

  • Existencia de elemento opuesto ante

  • Propiedad Asociativa

,

  • Propiedad distributiva para la opearación (+) entre escalares

,

  • Propiedad distributiva para la operación entre elementos de

  • Existencia de elemento neutro ante la operación

Ejemplos[editar]

  1. es un espacio vectorial sobre

En efecto:

     

     

Ante la suma


:

      (ley conmutativa ante la operación interna suma)

:

      (ley asociativa ante la operación interna suma)

:

      (existencia de elemento neutro aditivo)

:

      ( existencia de elemento opuesto)

Ante el producto por escalares

se cumple:

    (ley asociativa ante el producto por escalares)

se tiene:

    (ley distributiva)

se satisface:

    (ley distributiva)

:

     (existencia de neutro multiplicativo).

2.El conjunto de todos los polinomios

3.El conjunto de todas las funciones continuas

Matrices[editar]

Definición[editar]

Una matriz es un ordenamiento de elementos de un cuerpo, representado por filas y columnas, por ejemplo:

Donde: representa al conjunto de matrices de de un cuerpo .

Normalmente la -ésima entrada de una matriz de se representa por .


Ejemplos de matrices:[editar]

Si m=n la matriz se suele llamar cuadrada, por ejemplo:

Que tiene por entrada

En particular:

Si se desprenden casos importantes como:

que en particular puede representar un vector en , de hecho es el conjunto mencionado.

Como podemos observar la condensación de notación en forma matricial es una ventaja imprescindible, pues, al trabajar con grandes cantidades numéricas se ahorra memoria al igual que trabajo en sí mismo.

Ahora vamos a exponer un método para operar con matrices.

Estructura de matrices[editar]

Definición.

Sean y dos matrices con respectivas entradas y será igual a si poseén las mismas entradas, es decir, si: .

Definición.

Sean y matrices con entradas y respectivamente, la adición de y , se define:

Observación: notar que la adición se genera entrada con entrada.

Ejemplo:

Definición:

Considere un matriz de con entrada y sea se define la matriz como:

Observación:

En las dos definiciones anteriores la cerradura se debe a que son elementos de un cuerpo, el cual, posee esta propiedad.

Sin mucha dificultad se puede demostrar que el conjunto es un espacio vectorial sobre el cuerpo referido().

Definición:

Sea una matriz con entrada y una matriz de con entrada se define que es la multiplicación de por como sigue:

generando una matriz con entrada .

Observación:

Es importante que las filas coincidan con las columnas o viceversa en la multiplicación de matrices ya que si no fuese así no se puede definir ninguna multiplicación entre estas.


Propiedades inmediatas:

Sea matriz con entrada , un matriz con entrada y , entonces se cumple:

1..

2.


Definición. Sea un matriz con entrada la traspuesta de es una matriz que "invierte" las m-columnas por las n-filas, así que podemos esperar una matriz de la cual se representa como y tiene por entrada .

Ejemplo:


Propiedades:

1.,

2.

3. y ,se satisface:

4., se cumple:


Teorema[editar]

Todo sistema de m-ecuaciones lineales con n-incógnitas ()con coeficientes en un cuerpo se puede escribir en forma matricial.

Demostración:

Básicamente lo que necesitamos recordar es cómo se representa a tal sistema, por ejemplo se tiene:

Observemos cuidadosamente que los coeficientes corresponden a la entrada de una cierta matriz de .Sea esta:

Notemos que la primera ecuación es de la forma y posee la característica de la primera entrada de la multiplicación de A con una matriz con entrada entonces:

Que esto evidentemente tiene que ser igual a una matriz ,sea esta matriz B con entrada , por tanto, se puede terminar la representación matricial del sistema lineal de la siguiente forma: