Usuario discusión:REX130767

Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.

Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. En resumen, el área de esta especie de "loncha" sería A(x+h) − A(x).

Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.

Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(x)·h ≈ A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como límite.

Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene

{\displaystyle f(x)\approx {\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}.} f(x) \approx \frac{A(x+h)-A(x)}{h}.

Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no estar h presente.

Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área A(x) es la antiderivada de la función original.

Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.

Primer teorema fundamental del cálculo[editar] Dada una función f integrable sobre el intervalo {\displaystyle [a,b]} [a,b], definimos F sobre {\displaystyle [a,b]} [a,b] por {\displaystyle F(x)={\int _{a}^{x}f(t)dt}} F(x) = {\int_{a}^x f(t)dt}. Si f es continua en {\displaystyle c\in (a,b)} c \in (a,b), entonces F es derivable en {\displaystyle c} c y F'(c) = f(c).

Usando la Regla de la cadena obtenemos como consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\int _{a(x)}^{b(x)}f(t)dt}=f(b(x))\cdot b'(x)-f(a(x))\cdot a'(x)} \frac{d}{dx}{\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt} = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)

Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables.

[Contraer]Demostración del teorema fundamental del cálculo

• Lema

Sea {\displaystyle f} f integrable sobre {\displaystyle [a,b]} [a,b] y {\displaystyle m\leq f(x)\leq M\;\forall x\in [a,b]} m \leq f(x) \leq M \; \forall x \in [a,b] Entonces {\displaystyle m(b-a)\leq {\int _{a}^{b}f(t)dt}\leq M(b-a)} m(b-a) \leq {\int_a^b f(t)dt} \leq M(b-a) Demostración del lema Está claro que {\displaystyle m(b-a)\leq L(f,P)\ {\hbox{y}}\ U(f,P)\leq M(b-a)} m(b-a)\leq L(f,P) \ \hbox{y}\ U(f,P) \leq M(b-a) para toda partición {\displaystyle P} P. Puesto que {\displaystyle \int _{a}^{b}f=\sup {L(f,P)}=\inf {U(f,P)}} \int_{a}^{b}f = \sup {L(f,P)}=\inf{U(f,P)}, la desigualdad se sigue inmediatamente. Demostración del terorema Por definición se tiene que {\displaystyle F'(c)={\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}}} F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} }. Sea h>0. Entonces {\displaystyle F(c+h)-F(c)={\int _{c}^{c+h}f(t)dt}} F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt}. Se define {\displaystyle m_{h}} m_h y {\displaystyle M_{h}} M_h como: {\displaystyle m_{h}=\inf\{f(x)|c\leq x\leq c+h\}} m_h = \inf\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}, {\displaystyle M_{h}=\sup\{f(x)|c\leq x\leq c+h\}} M_h = \sup\{f(x)| c\leq x \leq c+h\} Aplicando el 'lema' se observa que: {\displaystyle m_{h}\cdot h\leq {\int _{c}^{c+h}f(t)dt}\leq M_{h}\cdot h} m_h \cdot h \leq {\int_c^{c+h} f(t)dt} \leq M_h \cdot h. Por lo tanto, {\displaystyle m_{h}\leq {\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}\leq M_{h}} m_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq M_h Sea {\displaystyle h<0} h < 0. Sean {\displaystyle {m^{*}}_{h}=\inf\{f(x)|c+h\leq x\leq c\}} {m^*}_h = \inf \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}, {\displaystyle {M^{*}}_{h}=\sup\{f(x)|c+h\leq x\leq c\}} {M^*}_h = \sup \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}. Aplicando el 'lema' se observa que: {\displaystyle {m^{*}}_{h}\cdot (-h)\leq {\int _{c+h}^{c}f(t)dt}\leq {M^{*}}_{h}\cdot (-h)} {m^*}_h \cdot (-h) \leq {\int_{c+h}^c f(t)dt } \leq {M^*}_h \cdot (-h) . Como: {\displaystyle F(c+h)-F(c)={\int _{c}^{c+h}f(t)dt}=-{\int _{c+h}^{c}f(t)dt}} F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt} = -{\int_{c+h}^{c} f(t)dt}, entonces, {\displaystyle {M^{*}}_{h}\cdot h\leq F(c+h)-F(c)\leq {m^{*}}_{h}\cdot h} {M^*}_h \cdot h \leq F(c+h)-F(c) \leq {m^*}_h \cdot h. Puesto que {\displaystyle h<0} h < 0, se tiene que: {\displaystyle {m^{*}}_{h}\leq {\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}\leq {M^{*}}_{h}} {m^*}_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq {M^*}_h. Y como {\displaystyle f} f es continua en c se tiene que {\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}m_{h}=\lim _{h\rightarrow 0}M_{h}=\lim _{h\rightarrow 0}{m^{*}}_{h}=\lim _{h\rightarrow 0}{M^{*}}_{h}=f(c)} \lim_{h \rightarrow 0} m_h = \lim_{h \rightarrow 0} M_h = \lim_{h \rightarrow 0} {m^*}_h = \lim_{h \rightarrow 0} {M^*}_h = f(c), y esto lleva a que {\displaystyle F'(c)={\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}}=f(c)} F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} } = f(c).