Usuario:Pedro4134

El Vector Gradiente

Nótese en el teorema que la derivada direccional de una función derivable puede escribirse como el producto punto de so vectores: D_u f(x,y)=f_x (x,y)a+f_y (x,y)b =〖<f〗_x (x,y),f_y (x,y)>∙(a,b) =<f_x (x,y),f_y (x,y)>∙u Le da un nombre especial (el gradiente de f) y una notación especial (grad f o ∇f, que se lee “del f”).

</ref></ref> Ejemplo: Determine la derivada direccional de la función f(x,y)=x^2 y^3-4y en el punto (-2,-1) en la dirección del vector v=2i+5j. Solución Primero se calcula el vector gradiente (2,-1): ∇f(x,y)=2xy^3 i+(3x^2 y^2-4)j ∇f(2,-1)=-4i+8j Un vector unitario, pero como |v|=√29, el vector unitario es la dirección de v es u=v/(|v|)=2/√29 i+5/√29 j D_u f(2,-1)=∇f(2,-1)∙u=(-4i+8j)∙(2/√29 i+5/√29 j) =(-4∙2+8∙5)/√29=32/√29

Funciones de tres variables

Si f(x,y,z) es derivable y u=(a,b,c), el mismo método que se usó para comprobar el teorema puede emplearse para demostrar que D_u f(x,y,z)=f_x (x,y,z)a+f_y (x,y,z)b+f_z (x,y,z)c Para una función f de tres variables, el vector gradiente, denotado por ∇f es ∇f=(f_x,f_y,f_z )=∂f/∂x i+∂f/∂y j+∂f/∂z k Ejemplo Si f(x,y,z)=xsen(yz), Determine el gradiente de f Determine la derivada direccional del f en (1,3,0) en la dirección de v=i+2j-k

Solución El gradiente de f es ∇f(x,y,z)=<f_x (x,y,z),f_y (x,y,z),f_z (x,y,z)> =<sen(yz),xzcos(yz),xycos(yz)> En (1,3,0) se tiene ∇f(1,3,0)=<0,0,3>. El vector unitario en la dirección de v=i+2j-k es u=1/√6 i+2/√6 j-1/√6 k D_u f(1,3,0)=∇f(1,3,0)∙u =3k∙(1/√6 i+2/√6 j-1/√6 k) =3(-1/√6)=-√(3/2)