Ejercicio1

Demuestre que los circulos $x^{2}+y^{2}-4x-2y-11=0$ y $x^{2}+y^{2}+20x-y+72=0$ no se intersectan. Sugerencia: Encuentre la distancia entre los circulos.

¿Que me dan?

Ecuaciòn de dos circulos:

$x^{2}+y^{2}-4x-2y-11=0$ $x^{2}+y^{2}+20x-y-72=0$

Nos afirman que no se intersectan los circulos

Nos dan como referencia hallar la distancia entre los centros de las circunferencias

¿Que me piden?

Demostrar que la afirmacion es cierta.

¿Como relaciono lo que me dan con lo que me piden?

^^^^^ Como nos dan las ecuaciones de estos dos circulos podemos deducir que no tienen centro en el origen porque son de la forma $Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+F=0$ y tenemos que llegar a la forma simplificada $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

Simplificando cada una de las ecuaciones tendremos:

$x^{2}+y^{2}-4x-2y-11=0$

x^{2}-4x+4)+(y^{2}-2y+1)=11+4+1

(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=16

(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=4^{2}

C=(2,1)

r=4

$x^{2}+y^{2}+20x-12y+72=0$

(x^{2}+20x+100)+(y^{2}-12y+32)=-72+100+36

(x+10)^{2}+(y-6)^{2}=64

(x+10)^{2}+(y-6)^{2}=8^{2}

C=(-10,6)

r=8

Al tener estos valores graficamos y al trazar una linea de centro a centro formando un triangulo rectangulo tendremos que la distancia horizontal es de 12 unidades y la distancia vertical es de 5 unidades para poder hallar la hipotenusa del triangulo formado por estos dos catetos por medio del teorema de pitagoras:

x=13

Sumando los valores de los 2 radios tenemos $r_{1}+r_{2}=4+8$ dando como resultado 12 el cual sera restado al valor obtenido anteriormente(13) para asi tener la distancia real desde donde termina cada borde de las circunferencias:

x-r

13-12=1

Podemos deducir que la afirmaciones es cierta puesto que hay una diferencia de 1 unidad antes de que se toquen las superficies de los circulos.