Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Funciones

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1.7.1. Sean e dos conjuntos cualesquiera. Cualquier subconjunto del producto cartesiano que cumpla

( F-1 ) para todo existe tal que y

( F-2 ) y implica ,

se dice función de en . Para indicar que es una función de un conjunto en otro , es común escribir .


1.7.2. Sean dos conjuntos e , y sea una función de en . Si se dice que es antecedente de por medio de , y que es imagen de por medio de . Por definición, un elemento no puede tener ni más ni menos que una sola imagen , que representaremos por (de modo que si y solo si ). El conjunto se dice dominio de la función , y se representa comúnmente por , mientras que el subconjunto tal que para todo existe tal que (i.e. el subconjunto de que contiene solo las imágenes de los elementos de por medio de ) se dice rango de la función , y se representa por .


1.7.3. Claramente dos funciones y son iguales si y solo si



para todo .


1.7.4. Tenemos también que si e son dos conjuntos, y si es cualquier función de en , entonces , y así . Luego, si es el conjunto de todas las funciones , , de modo que .


1.7.5. Sea un conjunto cualquiera, y sea . Claramente .


1.7.6. Sea un conjunto. La función


,


que envía un elemento de con un subconjunto de , se denomina familia de subconjuntos de indicada por . El conjunto se denomina en este caso conjunto de índices (por lo que cada se dice un índice), y la imagen de cualquier por medio de esta función se representa por .


Por ejemplo, considérese el conjunto


,


y el conjunto de índices . Existen varias familias de subconjuntos de indicadas por . Una de estas puede ser la función


,


dada por


.


Otra puede ser la que viene dada por


.


1.7.7. Sea la función de un conjunto en otro ; Si

(F-3) para cualesquiera y implica ,

es decir, si cualesquiera distintos elementos de tienen distintas imágenes en , se dice que es una función inyectiva o que es una inyección.

Si

(F-4) para todo existe tal que ,

es decir, si (i.e. si todo es imagen), se dice que es una función sobreyectiva (o suprayectiva), que es una función de sobre , o que es una sobreyección.

(F-5) Una función que es a la vez inyectiva y sobreyectiva se dice función biyectiva o biyección.


1.7.8. Sea , y sea un subconjunto de (i.e. un elemento de ). El conjunto dado por


existe tal que ,


se dice imagen del subconjunto por . Es decir, es el conjunto de todos los que son imagen de algún elemento de . Así pues,



y, en particular,


.


Nótese que, si , entonces



es un conjunto con un solo elemento, a saber, la imagen de por .


1.7.9. Por otra parte, si , entonces se define el conjunto por


,


y se llama a este conjunto imagen recíproca de por . Así pues,


.


Puesto que todo elemento de tiene una imagen en , tenemos que, como caso particular,


.


Sin embargo, debemos tener presente que, si bien , donde , siempre es un conjunto con un solo elemento, el conjunto con puede ser vacío, ya que la definición de función no garantiza que todo elemento de tenga un antecedente en . Sin embargo esto si esta garantizado cuando es sobreyectiva, de modo que, en ese caso, el conjunto



contiene cualquier elemento de cuya imagen sea . Si es además inyectiva, entonces es biyectiva, de modo que es la imagen de solo un elemento de , y así contiene solo a tal elemento .


1.7.10. Veamos ahora algunas propiedades generales de las funciones. Para esto definimos una función y dos familias e de subconjuntos de e respectivamente. Convenimos también en que , e , representan, respectivamente, subconjuntos de y subconjuntos de .

Tenemos que

(a) implica .

Demostración: Sea pues . Si , entonces, por definición (véase ¿?), existe tal que , pero en tal caso , pues , de modo que . QED

(b) implica .

Demosracón: Si , entonces , puesto que , se tiene , luego , y así . QED


(c) .

Demostración: Sea . La imagen de por , , está en el conjunto , y así . QED


Si, en particular, la función es inyectiva, entonces

(d) .



(e) .


Demostración: Si , entonces es la imagen de algún , y así . QED


Si, en particular, es sobreyectiva, entonces

(f) .

(g) implica .

Demostración: En vista de (d), solo queda demostrar que, si , entonces . Esto es fácil considerando que solo contiene elementos que son imágenes, y por tanto esto también es cierto para , de modo que si , , luego , con lo que la prueba termina. QED

(h)] .

Demostración: Sea . Así, existe tal que , pero en ese caso , de modo que , y con esto . Solo falta demostrar que , lo que consiste de seguir los pasos anteriores en el sentido opuesto. QED


Si, en particular, es inyectiva, se cumple

(i) .

Demostración: Sea . Entonces, puesto que es inyectiva, existe un único tal que . Luego, , de modo que , y así . QED

Debemos hacer énfasis en que el resultado anterior no se cumple para cualquier función a menos que esta sea inyectiva. Por ejemplo, si no es inyectiva, puede ser , pero esto no es suficiente para garantizar que , por que al no ser inyectiva, podría existir un tal que , caso en el cual la imagen de está en por que es la misma imagen de un elemento que si esta en .


Si, en particular, la función es sobreyectiva, tenemos

(j) .

Demostración: Si , tenemos que , por lo que no tiene ningún antecedente en . Notemos que, por ser una sobreyección, tiene por lo menos un antecedente en . Sea cualquiera de estos antecedentes de , es decir, sea . Tenemos que , por lo que , lo que demuestra lo que se quería. QED


Si la función es biyectiva (es decir, si es tanto inyectiva como sobreyectiva), se cumple, en vista de (h) e (i), lo siguiente

(k) .


1.7.11. Sea una familia de subconjuntos de un conjunto . Es común llamar simplemente unión de a la unión de los conjuntos del rango de , que se representa por y que se define (véase 1.3.4) naturalmente por


.


1.7.12. Sea una función . Se cumplen:

(a) .

Demostración: Si , entonces existe al menos un tal que , y de esta manera , y con ello , para almenos un . Así, , lo que demuestra . Invertir todos los pasos de esta prueba para demostrar que se deja como ejercicio para el lector. QED

(b) .

La demostración se deja como ejercicio para el lector.

1.7.13. Por otra parte, la intersección de los conjuntos del rango de la familia , que se representa por , se dice simplemente intersección de . Así pues (véase 1.3.5),


.


1.7.14. Sea una función . Se cumplen

(a) .

Demostración: Sea . Entonces existe tal que , con para todo índice . Por esta razón, para todo , con lo que . QED

(b) .

Demostración: Si , es el antecedente de un único , es decir, . Pero si , entonces para todo índice . Así para todo , luego . Esto demuestra que . Demostrar que se deja como ejercicio al lector. QED


Si la función es además inyectiva, se cumple

(c) .

Demostración: En vista de (a), solo queda demostrar que, en caso de que sea inyectiva, . Para esto, sea , de manera que para todo índice . Puesto que es inyectiva, no es imagen más que de un único elemento a, y que, al ser para todo índice , cumple con para todo , con lo que . Así , lo que demuestra lo que se quería. QED


Resaltamos que el enunciado (c) se cumple solo en caso de que la función sea inyectiva. La razón es que un elemento puede no estar en para todo , y sin embargo, puede que su imagen si esté en todos los conjuntos debido a que es la imagen de algún otro elemento contenido en los conjuntos que no tienen a . Por ejemplo, supóngase , cuya imagen es , no está en para algún , pero que este conjunto contiene otro elemento cuya imagen es también , de tal manera que para cualquiera que sea el índice sin necesidad de que para todo . En ese caso (cuando es no inyectiva) tenemos


.


1.7.15. La función dada por



para todo , y que por tanto envía cada elemento de consigo mismo, se llama función identidad.


Es claro que, siendo ,


y .


Si , esto se reduce a


.


1.7.16. Sean e dos conjuntos y considérese una función . Sea un subconjunto de . La función dada por


,


se dice restricción de a . Esto es,


,


por lo que la restricción de a es una función que resulta de 'recortar' el dominio de . Es claro que .


1.7.17. Sea un conjunto y un subconjunto de . La aplicación



dada por


,


e.i. la restricción , se llama inyección canónica de en x.


1.7.18. Sea una aplicación de un conjunto en otro , y sea una aplicación de en un conjunto . La aplicación



dada por



se dice composición de y . Esto es, resulta de aplicar seguida de , por lo que si envía un elemento con un elemento y envía a con un elemento , entonces envía directamente el elemento con el elemento (Refiérase a la figura de abajo).


1.7.19. Sean las funciones , y . Tenemos que . Para convencernos de ello es suficiente ver que



y que


.


1.7.20 Si es una función biyectiva, puede definirse la función , llamada función inversa de , por


si y solo si .


Es decir,


si y solo si .

1.7.21 Es inmediato que

.


1.7.22. Además, se observa que



y


,


por lo que


y .


Si , esto se simplifica a


.


1.7.23. Nótese también que, siendo ,


.


1.7.24. Es claro que existe cuando es biyectiva. Además la función inversa de una función es única. Para probar esto, supóngase que y son dos funciones inversas de una función . Entonces

,

y

,

y por tanto .

1.7.25. Sean las funciones y . Entonces


.


En efecto, pues es función inversa de , y


                                  
                                  
                                  
                                  

con lo que es también función inversa de , y así y han de ser la misma función (pues la inversa de cualquier función es única). Otra forma de demostrar que es el argumento siguiente: Sea . Se sigue que , y de esto que para un tal que , o sea que y , de modo que y , y por tanto . Esto prueba que , y probar que resulta de recorrer todos los pasos anteriores de forma invertida.


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